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Nesta fase, deve sentir-se confiante a esboçar curvas para determinar através da
equação 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥. Pode procurar assíntotas, interseções, pontos críticos e intervalos onde é crescente
e decrescente para o fazer.
Nesta aula, aprenderemos a representar graficamente curvas definidas utilizando um
terceiro parâmetro 𝑡. Vemos que estas curvas são definidas parametricamente pelas equações 𝑥 igual a 𝑓 de
𝑡 e 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡. Imagine que uma partícula se move no plano 𝑥O𝑦 ao longo de uma curva 𝑐, como se
apresente. Seria impossível definir esta curva da maneira habitual, 𝑦 como uma função de 𝑥,
pois falha no teste de linha vertical. Ou seja, cada objeto único pode ter mais que uma imagem. Por outras palavras, para um valor de 𝑥 igual a 𝑎, podemos ter mais que uma imagem
𝑦.
Então, em vez disso, procuramos maneiras alternativas de descrever curvas desta
forma. E fazemos isso introduzindo um novo parâmetro para o tempo 𝑡. E as nossas coordenadas 𝑥 e 𝑦 são funções do tempo tais que 𝑥 é 𝑓 de 𝑡 — 𝑥 é
uma função no tempo — e 𝑦 é 𝑔 de 𝑡 — 𝑦 é uma função diferente no tempo. Cada ponto da nossa curva será agora descrita por um par ordenado, 𝑓 de 𝑡, 𝑔 de
𝑡. E como 𝑡 varia, traçamos a nossa curva 𝑐, que chamamos de curva paramétrica. Uma das principais habilidades é conseguir esboçar estas curvas. E fazemo-lo identificando pontos-chave. Obviamente, existem algumas curvas cuja forma podemos aprender. E também consideraremos estas.
Considere as equações paramétricas 𝑥 de 𝑡 igual a 𝑡 ao quadrado mais dois e 𝑦 de
𝑡 igual a três 𝑡 menos um, que é maior que menos dois e menor que um. Qual das alternativas a seguir é o esboço da equação fornecida?
Aqui, deram-nos um par de equações paramétricas e pedem-nos para esboçar a curva no
intervalo aberto para 𝑡 de menos dois a um. Vamos precisar de determinar alguns pares de coordenadas que satisfaçam as nossas
equações paramétricas. E embora não desejemos incluir 𝑡 igual a menos dois e 𝑡 igual a um, sabemos que 𝑡
se aproxima de ambos os valores. Portanto, utilizaremos a substituição direta para determinar o par de coordenadas
para o qual a nossa curva se aproxima nos pontos extremos do nosso intervalo
aberto.
Agora, estamos apenas à procura de identificar qual dos gráficos é o esboço da nossa
equação. Então, eu escolhi sete valores de 𝑡. Se pretendermos esboçar o gráfico do zero, podemos escolher mais valores de 𝑡,
talvez optando por subir em intervalos de 0.25 como 0.5.
Para determinar as nossas coordenadas 𝑥 e 𝑦, substituiremos cada valor de 𝑡 nas
equações paramétricas. Por exemplo, quando 𝑡 é menos dois, 𝑥 é igual a menos dois ao quadrado mais dois,
que é seis. E quando 𝑡 é igual a menos dois, 𝑦 é igual a três vezes menos dois menos um, que é
sete negativo. Quando 𝑡 é igual a menos 1.5, 𝑥 é igual a menos 1.5 ao quadrado mais dois, que é
4.25. E quando 𝑡 é igual a menos 1.5, 𝑦 é igual a três vezes menos 1.5 menos um, o que
nos dá um valor de 𝑦 de menos 5.5.
Continuamos este processo, substituindo 𝑡 é igual a menos um em 𝑥 para obter três e
em 𝑦 para obter menos quatro. Quando substituímos 𝑡 igual a menos 0.5, obtemos 𝑥 igual a 2.25 e 𝑦 igual a menos
2.5. Quando 𝑡 é zero, o nosso par de coordenadas é dois, menos um. E os dois valores finais de 𝑡 dão-nos pares de coordenadas de 2.25, 0.5 e três,
dois.
Agora, podemos esboçar cada par ordenado num par de eixos. Mas é claro que estamos à procura de descobrir qual dos esboços dados representa o
nosso par de equações paramétricas. A primeira coordenada que vamos procurar é seis, menos sete. Aqui está. Em seguida, procuramos encontrar 4.25, menos 5.5, que estão por aqui. E, de facto, como seria de esperar, as cinco coordenadas restantes realmente estão
nesta linha esboçada.
Observe como as setas descrevem a direção na qual o gráfico está a ser esboçado. Portanto, a nossa curva é esboçada para valores crescentes de 𝑡 de menos dois a 𝑡
igual a um. O esboço que representa as equações paramétricas 𝑥 de 𝑡 igual a 𝑡 ao quadrado mais
dois e 𝑦 de 𝑡 igual a três 𝑡 menos um é C.
Agora, de facto, parece que temos parte de uma parábola. Poderíamos utilizar um sistema de equações para eliminar 𝑡. E quando o fazemos, de facto obtemos a equação da nossa parábola, ou é uma parábola
de lado. Há várias equações paramétricas especiais para as quais podemos aprender a forma.
Considere as equações paramétricas 𝑥 de 𝑡 igual a dois sen 𝑡 e 𝑦 de 𝑡 igual a
três cos 𝑡, onde 𝑡 é maior que zero e menor que três 𝜋. Qual das alternativas seguintes é o esboço das equações dadas?
Aqui, deram-nos um par de equações paramétricas e pedem-nos para determinar o esboço
da curva no intervalo aberto de 𝑡 de zero a três 𝜋. Vamos precisar de determinar alguns pares de coordenadas que satisfaçam as nossas
equações paramétricas. Agora, embora tecnicamente não desejemos incluir 𝑡 igual a zero e 𝑡 igual a três
𝜋, sabemos que 𝑡 se aproxima desses dois valores. Então, utilizaremos a substituição direta para determinar o par de coordenadas para o
qual a nossa curva se aproxima nos pontos extremos do nosso intervalo aberto.
Vamos escolher intervalos de 𝜋 sobre dois radianos. Agora, se estávamos realmente a tentar esboçar a curva, podemos escolher, digamos, 𝜋
sobre quatro como o nosso subintervalo. Mas estamos apenas à procura de comparar as nossas coordenadas com os gráficos
dados. Para determinar o primeiro par ordenado, substituímos 𝑡 igual a zero em cada uma das
nossas equações paramétricas. Isto dá-nos 𝑥 igual a dois sen zero e 𝑦 igual a três cos zero. O nosso primeiro par ordenado é zero, três.
Em seguida, substituímos 𝑡 igual a 𝜋 sobre dois. E obtemos 𝑥 igual a dois sen de 𝜋 sobre dois e 𝑦 igual a três cos de 𝜋 sobre
dois. Isso dá-nos 𝑥 igual a dois e 𝑦 igual a zero. Continuamos o padrão substituindo 𝑡 igual a 𝜋 para obter dois sen 𝜋 sobre 𝑥 e
três cos 𝜋 sobre 𝑦, dando-nos um par ordenado de zero, menos três. Substituindo 𝑡 é igual a três 𝜋 sobre dois em cada equação, e obtemos 𝑥 igual a
menos negativos e 𝑦 igual a zero. Para 𝑡 igual a dois 𝜋, obtemos o par ordenado zero, três. E os nossos dois últimos pares ordenados ocorrem quando 𝑡 é igual a cinco 𝜋 sobre
dois e três 𝜋. E estes são dois, zero e zero, menos três, respetivamente.
Vamos compará-los com cada um dos nossos esboços. E precisamos de garantir que nos movemos para valores crescentes de 𝑡. Ou seja, começamos com 𝑡 igual a zero e avançamos até 𝑡 igual a três 𝜋. Isto deixa-nos com B ou C. E, de facto, movemo-nos em sentido horário. Então, na verdade, estamos interessados em C. E deve ter notado que os próprios valores se repetem. Agora deve ficar bem claro que, devido à natureza da forma da nossa curva, este
padrão continuará para sempre. O esboço das equações 𝑥 de 𝑡 é igual a dois sen 𝑡 e 𝑦 de 𝑡 é igual a três cos 𝑡
é C.
Agora pode prever como seria o nosso gráfico se a nossa equação para 𝑥 fosse de
facto três sen 𝑡? Os valores para 𝑡 são 𝜋 sobre dois, 𝑡 é três 𝜋 sobre dois e 𝑡 é cinco 𝜋 sobre
dois mudariam para três, menos três e três, respetivamente. Comparando-os com as nossas curvas, vemos que isto nos dá uma circunferência. Agora podemos confirmar isso eliminando 𝑡 e utilizando a identidade sen ao quadrado
de 𝑥 mais cos ao quadrado de 𝑥 igual a um. Aplicamos o quadrado a ambas as equações para 𝑥 e 𝑦. E vemos que 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a nove sen ao quadrado 𝑡 mais
nove cos ao quadrado 𝑡. Evidenciando nove, podemos reescrever este segundo membro como nove sen ao quadrado
𝑡 mais cos ao quadrado 𝑡. E como o sen ao quadrado de 𝑡 mais cos ao quadrado de 𝑡 será igual a um, isso
torna-se nove vezes um, que é nove.
Isso corresponde à equação geral para uma circunferência com centro na origem e um
raio 𝑟. E vemos que, comparando o nosso gráfico com a nossa equação, temos de facto uma
circunferência com um centro na origem e um raio de três. Em geral, podemos dizer que as equações paramétricas de uma circunferência centrada
na origem com o raio 𝑟 são 𝑥 igual a 𝑟 cos 𝑡 e 𝑦 igual a 𝑟 sen 𝑡. 𝑡 assume valores de zero a dois 𝜋. E depois disso, o padrão repete-se.
Isto pode ser mais generalizado. E vemos que as equações paramétricas de uma circunferência com centro em 𝑥 zero, 𝑦
zero e um raio 𝑟 são 𝑥 igual a 𝑥 zero mais 𝑟 cos 𝑡, e 𝑦 igual a 𝑦 zero mais
𝑟 sen 𝑡, para 𝑡 é maior ou igual a zero e menor ou igual a dois 𝜋. No nosso exemplo final, consideraremos uma curva muito especial representada por
equações paramétricas. É chamada de cardióide.
Esboce a curva definida pelas equações paramétricas 𝑥 igual a dois cos 𝑡 menos cos
dois 𝑡 e 𝑦 igual a dois sen 𝑡 menos sen dois 𝑡, onde 𝑡 é maior que ou igual a
zero e menor que ou igual a dois 𝜋.
Aqui foi-nos dado um par de equações paramétricas e foi-nos solicitado esboçar uma
curva no intervalo fechado de 𝑡 de zero a dois 𝜋. Começaremos por determinar alguns pares de coordenadas que satisfazem as nossas
equações paramétricas. E como pretendemos esboçar a curva desta vez, em vez de apenas identificar o gráfico,
escolhi os valores de 𝑡 em subintervalos de 𝜋 sobre quatro radianos. Então é zero, 𝜋 sobre quatro, 𝜋 sobre dois, três 𝜋 sobre quatro até dois 𝜋.
Começamos substituindo 𝑡 igual a zero em 𝑥. É dois cos de zero menos cos de dois vezes zero, o que é igual a um. Em seguida, substituímos zero na equação por 𝑦. É dois sen de zero menos sen de dois vezes zero, que é zero. Substituindo 𝑡 igual a 𝜋 sobre quatro em 𝑥, obtemos dois cos de 𝜋 sobre quatro
menos cos de dois vezes 𝜋 sobre quatro. E duas vezes 𝜋 sobre quatro é 𝜋 sobre dois. Isto é simplesmente a raiz de dois.
Repetindo este processo para 𝑦, obtemos dois sen de 𝜋 sobre quatro menos sen de 𝜋
sobre dois, que é menos um mais a raiz de dois. De facto, será mais fácil esboçá-las se estiverem na forma decimal. Então, arredondado a três casas decimais, temos 1.414 e 0.414. Os pares de coordenadas restantes nos quais estamos interessados são um, dois;
menos 1.414, 2.414; menos três, zero; e assim por diante.
Esboçá-los num par de eixos de coordenadas dá-nos algo que se parece um pouco com
isto. Em seguida, juntamos os pontos conforme apresentado e adicionamos setas para mostrar
a direção na qual a curva é traçada. Lembre-se, fazemos isto seguindo os valores de 𝑡 do menor para o maior. E esboçamos a curva definida pelas equações paramétricas 𝑥 igual a dois cos 𝑡 menos
cos dois 𝑡 e 𝑦 igual a dois sen 𝑡 menos sen é dois 𝑡. Esta curva tem um nome especial. É chamada de cardióide.
Pode notar que este nome é semelhante à palavra “cardíaco”, que significa
coração. E é uma forma fascinante que pode ser criada seguindo o lugar geométrico de um ponto
numa circunferência, à medida que essa circunferência gira em torno de outra
circunferência de igual raio.
Agora geralmente utilizamos a forma polar para representá-las. Mas, em geral, a equação do que chamamos de cardióide horizontal, como este, na forma
paramétrica é 𝑥 igual a 𝑎 vezes dois cos 𝑡 menos cos dois 𝑡, 𝑦 igual a dois sen
𝑡 menos sen dois 𝑡. Inverter 𝑥 e 𝑦 para que 𝑥 fosse igual a 𝑎 dois sen 𝑡 menos sen dois 𝑡 e 𝑦
igual a 𝑎 dois cos 𝑡 menos cos dois 𝑡 dar-nos-ia um cardióide vertical. Esta é uma curva que se parece um pouco com o coração na orientação habitual que
esperamos.
Neste vídeo, aprendemos que podemos esboçar uma curva paramétrica criando uma tabela
de valores e esboçando a direção na qual a curva é traçada. Vimos que as equações paramétricas de uma circunferência com centro 𝑥 zero, 𝑦 zero
e um raio 𝑟 são 𝑥 igual a 𝑥 zero mais 𝑟 cos 𝑡 e 𝑦 igual a 𝑦 zero mais sen 𝑡
para valores de 𝑡 no intervalo fechado de zero a dois 𝜋. E, finalmente, vimos como uma forma fascinante chamada cardióide acontece com as
equações na forma dada. E que, se revertermos as equações para 𝑥 e 𝑦, acabaremos com um cardióide com uma
orientação diferente.
