Lesson Video: Série Geométrica

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Série Geométrica

Neste vídeo, aprenderemos como determinar se uma série geométrica é convergente e, se houver, como determinar o seu valor. A série geométrica é um exemplo importante de uma série. Pode determinar este tipo de série ao lidar com processos físicos, como a altura de uma bola a saltitar, ou em outras áreas da matemática, como a geometria fratal. As séries geométricas podem ser escritas da seguinte forma utilizando a notação de somatório. Lemos esta afirmação matemática como a soma de 𝑛 igual a um até infinito de 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. Agora, também pode ver isto representado como a soma de 𝑛 igual a zero até infinito de 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛.

Deve saber que esta é apenas uma forma equivalente, mas estamos perante uma mudança de índice. Neste vídeo, a definição com a qual escolheremos trabalhar é a soma que começa em 𝑛 igual a um. Ok, então a forma geral das séries geométricas será a soma dos seguintes termos. Lembre-se, como esta é uma série infinita, teremos um número infinito de termos. Observe que podemos caracterizar a nossa série geométrica utilizando duas coisas. Temos o nosso primeiro termo, que é 𝑎, e temos uma razão, que é 𝑟. Observando as nossas séries, vemos que cada termo sucessivo pode ser obtido multiplicando o termo anterior pela razão comum. Esta é a característica de todas as séries geométricas. Também é importante notar que, como resultado direto desta característica, podemos determinar a razão dividindo qualquer termo pelo termo anterior. Vamos agora considerar um exemplo de série geométrica para nos dar um contexto.

Imagine que tínhamos uma série geométrica em que o primeiro termo 𝑎 era igual a três e a razão 𝑟 era igual a um meio. Os termos da nossa série de exemplos começariam, é claro, com o primeiro termo, que é três. E multiplicá-lo-íamos pela razão, que é um meio para obter cada termo sucessivo. Certamente, este padrão continuaria por infinitos termos. Utilizando a nossa notação sigma, poderíamos expressar esta série da seguinte maneira: a soma de 𝑛 igual a um até infinito de três vezes um meio elevado a 𝑛 menos um. Ok, em geral, ao trabalhar com uma série, gostaríamos de poder determinar o valor da série. Se uma série é divergente, é claro, não podemos atribuir-lhe um valor finito. No entanto, se uma série é convergente, podemos. Mas, na prática, às vezes é muito difícil determinar esse valor. Para séries geométricas, no entanto, temos uma fórmula útil que pode ser utilizada. Vamos trabalhar para determiná-lo.

Primeiro, precisamos de resolver alguns casos. Considere o caso em que o nosso primeiro termo é 𝑎 igual a zero e a nossa razão 𝑟 assume qualquer valor. Como o nosso primeiro termo é zero e o multiplicamos pela razão para obter termos sucessivos, isso significaria que todos os nossos termos seriam zero. Obviamente, não faz muito sentido criar uma soma de zeros. E, a partir de agora, assumiremos que o caso trivial de 𝑎 igual a zero será ignorado para todos os valores de 𝑟 que explorarmos. E o caso em que a nossa razão 𝑟 é igual a um. Aqui, 𝑎 não é igual a zero, mas assume qualquer valor final. Bem, obviamente, o nosso primeiro termo é 𝑎 um. Como cada termo sucessivo é obtido multiplicando o termo anterior por um, todos os nossos termos seriam os mesmos que o primeiro termo.

Para avançar, vamos agora pensar no conceito de uma soma parcial. Se a soma parcial, 𝑆 𝑛, for definida como a soma dos primeiros 𝑛 termos de uma série, a parte parcial da série geométrica que estamos a considerar com uma razão de um seria 𝑛 vezes 𝑎 um. Como todos os nossos termos são iguais, simplesmente multiplicamos o primeiro termo 𝑎 um pelo número de termos que temos. Agora podemos utilizar este resultado em conjunto com uma técnica comum para determinar o valor de uma série. E é considerar o limite quando 𝑛 tende para infinito da soma parcial. Agora, deve ser bastante fácil convencer-nos de que, quando 𝑛 tende para infinito, o limite também tende para mais ou menos infinito, dependendo do sinal de 𝑎 um. E, claro, esta é uma maneira particular de escrever que o limite não existe.

Aqui, provámos de maneira um tanto vaga que, se a razão de uma série geométrica é igual a um, não podemos determinar o seu valor. E, portanto, a série é divergente. Agora, poderíamos estender esta conclusão um pouco mais com alguma lógica. E se a nossa razão 𝑟 fosse maior que um? Isso significaria que cada termo sucessivo ficaria cada vez maior em magnitude. Novamente, deve ser bastante fácil convencer-nos de que, se isto acontecer, a nossa série será divergente. Portanto, uma série geométrica com uma razão 𝑟 maior que um também é divergente. E não podemos atribuir valor a isto. Ok, já chega da série à qual não podemos atribuir um valor. E aquelas às quais podemos?

Para essas, vamos mudar o foco para a nossa soma parcial 𝑆 𝑛. Podemos escrever os termos da nossa soma parcial da maneira familiar. No entanto, como esta não é uma soma infinita, teremos um termo final, que é 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. O nosso próximo passo será multiplicar a nossa soma parcial pela razão 𝑟. E verá por que fizemos isso daqui a pouco. Fazer isto significa que cada um dos termos anteriores será multiplicado por 𝑟. Temos um conjunto quase idêntico de termos, mas podemos imaginar que cada um deles foi deslocado num único local. Não temos mais um termo no início, que é apenas 𝑎 por si só. Mas ganhamos um termo no final, que é 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. Se imaginarmos a nossa primeira linha como a equação um e nossa segunda linha como a equação dois, vamos ver o que acontece quando subtraímos dois de um, ou seja 𝑆 𝑛 menos 𝑟 vezes 𝑆 𝑛.

Como todos os nossos termos do meio são idênticos, anulam-se. O que nos resta é 𝑎 menos 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛. Podemos fatorizar esta equação e depois podemos dividir por um menos 𝑟. Ótimo, obtivemos um resultado útil para a soma parcial de até 𝑛 termos. Mas e uma soma infinita, como as séries infinitas que estamos a considerar? Vamos abrir espaço para continuar. Vamos utilizar a mesma técnica de considerar o limite quando 𝑛 tende para infinito da soma parcial. Ok, isto pode ser um pouco complicado, mas vamos considerar o seguinte. Se a nossa razão 𝑟 for maior que menos um, mas menor que um, então, quando 𝑛 tende para infinito, 𝑟 elevado a 𝑛 tende para zero. Isso acontece porque estamos a multiplicar um número que é menor que um em magnitude várias vezes. Então, ficará cada vez menor.

Podemos escrever isto na forma de limite quando 𝑛 tende para infinito de 𝑟 elevado a 𝑛 é igual a zero. Lembre-se, isto só é verdade no caso específico em que esta desigualdade é satisfeita. Na verdade, é mais comum ver esta desigualdade escrita como a magnitude ou o módulo de 𝑟 menor que um. Ok, vamos voltar aos nossos cálculos e aplicar o que descobrimos. A primeira coisa que podemos fazer é fatorizar 𝑎 dividido por um menos 𝑟 do nosso limite. Em seguida, sabemos que quando 𝑛 tende para infinito 𝑟 elevado a 𝑛 tende para zero, assumindo que o módulo de 𝑟 seja menor que um. Isso significa que podemos reescrever o nosso limite como um menos zero. Obviamente, um menos zero é apenas um. O que acabámos de descobrir é que, neste caso específico, quando o módulo de 𝑟 é menor que um, o limite quando 𝑛 tende para o infinito da soma parcial igual a 𝑎 dividido por um menos 𝑟.

Lembre-se, estávamos a utilizar este limite para determinar o valor da nossa série geométrica. Como o limite existe e é finito, isto significa que a nossa série geométrica é convergente. E o seu valor também será 𝑎 dividido por um menos 𝑟. Observe que se tivéssemos considerado o caso em que o módulo de 𝑟 fosse maior ou igual a um, teríamos descoberto que o limite de tempo não existia e, portanto, a nossa série geométrica seria divergente. Ok, agora chegámos à nossa conclusão.

Então, vamos resumir estas informações para facilitar o processo. Aqui, temos uma representação geral de uma série geométrica para o primeiro termo de 𝑎 e uma razão 𝑟. A série é convergente se o módulo da razão 𝑟 for menor que um. E o valor da soma neste caso é 𝑎 dividido por um menos 𝑟. Se, em vez disso, o módulo de 𝑟 for maior ou igual a um, a série é divergente. Ok, já passámos por muita coisa aqui, mas espero que esta secção final tenha detalhado as informações importantes. Vamos agora examinar alguns exemplos para ver como podemos aplicar o nosso conhecimento.

A série 884 mais 884 dividido por nove mais 884 dividido por 81 e assim por diante é convergente ou divergente?

Para esta questão, deram-nos uma série. Agora, não nos deram muitos termos. Mas se olharmos para o que nos foi dado, parece que cada termo sucessivo pode ser determinado multiplicando o termo anterior por um sobre nove. Esta é a característica de uma série geométrica. A representação geral para uma série geométrica é a apresentada aqui. Esta é a soma de 𝑛 igual a um até infinito de 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. Uma série geométrica pode ser caracterizada pelo primeiro termo 𝑎 e pela razão 𝑟. Novamente, sabemos que termos sucessivos podem ser determinados multiplicando o termo anterior pela razão. E poderíamos estender esta lógica para dizer que a razão pode ser determinada dividindo-se qualquer termo pelo termo que vem antes desse.

Se tentarmos combinar as séries dadas na nossa questão com a forma geral de uma série geométrica, podemos ver que temos um primeiro termo 𝑎 de 884. E temos uma razão 𝑟 de um sobre nove. Se quiséssemos escrever as séries dadas na nossa questão utilizando a notação de somatório, substituiríamos 𝑎 por 884 e 𝑟 por um sobre nove da nossa representação geral de uma série geométrica. Agora, ao trabalhar com séries geométricas, podemos utilizar a seguinte regra. Se módulo da razão 𝑟 é menor que um, a série é convergente. E se o módulo de 𝑟 for maior ou igual a um, esta série é divergente. Agora, temos uma razão 𝑟 de um sobre nove e vemos claramente que o módulo de um sobre nove é menor que um. Isso permite-nos concluir que as séries dadas na nossa questão são convergentes. Com esta lógica, respondemos à questão e concluímos que a série dada é convergente.

Vamos agora passar para outro exemplo.

Determine a razão de uma série geométrica, dado que a soma é 52 e o primeiro termo é 14.

Para esta questão, fomos solicitados determinar a razão de uma série geométrica. A primeira coisa que devemos observar é que sucessões e séries estão intimamente interligadas. Disseram-nos que a soma da nossa série é 52. Neste ponto, lembramos que a soma de uma série é o que define uma série infinita. Em essência, precisamos de utilizar as ferramentas para uma série geométrica infinita para esta questão. A primeira coisa que podemos fazer é recuperar a forma geral de uma série geométrica. Este tipo de série pode ser caracterizado por um primeiro termo 𝑎 e uma razão 𝑟 para os quais termos sucessivos são determinados multiplicando o termo anterior pela razão.

Agora, uma regra geral que podemos utilizar para séries geométricas é que se o módulo da razão 𝑟 for menor que um, a série será convergente. Se for este o caso, o valor da soma é igual ao primeiro termo 𝑎 dividido por um menos 𝑟, a razão. Se o módulo de 𝑟 for maior ou igual a um, a série será divergente. E, é claro, para uma série divergente, não podemos atribuir um valor para essa soma. Agora, voltando à nossa questão, a primeira coisa que podemos observar é que a questão realmente atribuiu à soma um valor finito. Isso implica que a série é convergente e podemos ignorar o caso de uma série divergente. Isso também significa que a nossa soma pode ser escrita como 𝑎 dividido por um menos 𝑟. E, claro, isto é igual a 52.

A outra informação que nos foi dada na nossa questão é que o primeiro termo é 14. Isto é ótimo, pois podemos utilizar o valor dado para 𝑎 para determinar o valor desconhecido de 𝑟 utilizando a nossa equação. Primeiro substituímos 𝑎 igual a 14. Agora resolvemos 𝑟, que é a razão que a questão está a pedir. Podemos multiplicar ambos os membros por um menos 𝑟, multiplicar ambos os termos entre parênteses por 52. Subtraímos 52 de ambos os membros da nossa equação. E para nossa etapa final, podemos dividir os dois membros por menos 52. Fazendo isto, descobrimos que o valor de 𝑟, a razão, é 19 dividido por 26. Com esta etapa, respondemos à nossa questão. Utilizamos as informações fornecidas e o nosso conhecimento de séries geométricas e como estas se relacionam com sucessões geométricas para descobrir que a razão é 19 sobre 26.

Como uma observação rápida, se a questão nos pedisse para escrever a série, poderíamos ter feito isto utilizando a notação de somatório, como apresentado aqui. Vamos agora seguir para um exemplo em que nos é pedido para determinar o valor de uma série.

A série da soma de 𝑛 é igual a um até infinito de três vezes um sobre 10 elevado a 𝑛 menos um converge ou diverge? Se convergir, determine o valor da série.

A primeira coisa que devemos reconhecer nesta questão é que nos deram uma série geométrica. A forma geral deste tipo de questão é apresentada aqui utilizando a notação de somatório, como nesta questão. Observe que este tipo de série é caracterizado por um primeiro termo 𝑎 e uma razão 𝑟. Uma regra geral que utilizamos para séries geométricas é que, se o módulo da razão for menor que um, a série será convergente. E o valor da soma é igual ao primeiro termo 𝑎 dividido por um menos a razão 𝑟. Se, em vez disso, o módulo da razão for maior ou igual a um, a série é divergente e não podemos atribuir à sua soma um valor. Tudo bem, tudo isto é interessante, mas vamos ver como isto se aplica à nossa questão.

Se olharmos para a nossa questão, podemos ver que a série que nos deram corresponde exatamente à forma geral de uma série geométrica com a qual devemos estar familiarizados. Temos um primeiro termo 𝑎 de três. E temos uma razão 𝑟 de um sobre 10. Observe que o índice de 𝑛 é igual a um em ambas as somas, assim como os expoentes na nossa razão 𝑛 menos um. Se o número do índice não corresponder, talvez seja necessário realizar uma mudança de índice. E se os expoentes não corresponderem, talvez seja necessário realizar uma fatorização. Para nossa sorte, este não é o caso e, por isso, continuamos seguros, sabendo que a nossa razão é de um sobre 10.

Para avançar, o nosso primeiro passo é bastante simples. Observamos que o módulo da nossa razão 𝑟 é menor que um. Isso permite-nos concluir que a série é convergente. Também nos diz que podemos determinar o valor da nossa soma utilizando esta fórmula. Se aplicarmos isso à nossa série, O valor de s é 𝑎 dividido por um menos 𝑟. É claro que, substituindo 𝑎 é ​​igual a três e 𝑟 é igual a um sobre 10, obtemos três dividido por um menos um sobre 10. É o mesmo que três dividido por nove sobre 10, que é três vezes 10 sobre nove. Ou, se anularmos o fator comum de três na parte superior e inferior da nossa fração, ficaremos com 10 sobre três. Se arrumarmos o nosso trabalho, veremos que agora respondemos à questão. Utilizando o nosso conhecimento de séries geométricas, concluímos que a série dada na questão é convergente e tem um valor de 10 sobre três.

Agora, antes de terminarmos, esta questão tem uma característica interessante que vale a pena mencionar. Vamos olhar para a nossa série e escrever os termos. Obviamente, no osso primeiro termo é três. Podemos obter o nosso próximo termo multiplicando pela razão um sobre 10 para obter três sobre 10. Continuando este padrão, obtemos três sobre 100 três sobre 1000 e assim por diante. Agora, se representássemos estas frações na forma decimal, poderíamos começar a ver um padrão emergindo. Como começamos com três e multiplicamos por um mais de 10 para cada termo sucessivo, teremos três em todas as posições após a vírgula decimal. E quando dizemos todas as posições, isso é realmente verdade. Como estamos a lidar com uma série, nunca ficaremos sem termos. E assim o nosso três realmente se repete para sempre.

De facto, o que criamos aqui é uma dízima infinita periódica, especificamente 3.3 periódico. Agora, isto é muito interessante para nós, pois representamos essencialmente a nossa série geométrica como uma dízima infinita periódica. Não entraremos em muitos detalhes neste vídeo, mas basta dizer que o processo inverso também pode ser conduzido. Se nos fosse dada uma dízima infinita periódica, poderíamos representá-la como uma série geométrica. Ok, mas por que fazer isto? Bem, acabámos de mostrar que a nossa série é convergente e que podemos determinar o seu valor. O valor que determinámos foi a fração conveniente de 10 sobre três. Portanto, segue-se que a nossa série geométrica é igual a 3.3 periódico, que também é igual a 10 sobre três. Portanto, para concluir, pode não parecer a princípio, mas as séries geométricas dão-nos uma maneira de representar dízimas infinitas periódicas. Se estendermos um pouco mais este conceito, também nos permitirão escrever dízimas infinitas periódicas como frações, o que às vezes é muito mais conveniente.

Ok, para finalizar este vídeo, vamos ver alguns pontos-chave. A forma geral de uma série geométrica infinita é a seguinte. Leríamos isto como a soma de 𝑛 igual a um até infinito de 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. Também pode determinar a forma alternativa, que é a soma de 𝑛 igual a zero até infinito de 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛. Uma série geométrica pode ser caracterizada por 𝑎 primeiro termo 𝑎 e uma razão 𝑟. Termos sucessivos de uma série geométrica podem ser determinados multiplicando o termo anterior pela razão 𝑟.

Se o módulo da razão 𝑟 for menor que um, a série será convergente. Neste caso, o valor da série é finito e é igual ao primeiro termo 𝑎 dividido por um menos a razão 𝑟. Se, em vez disso, o módulo da razão for maior ou igual a um, a série será divergente. E, é claro, neste caso, não podemos encontrar seu valor. As séries geométricas infinitas também nos fornecem uma maneira de representar dízimas infinitas periódicas e uma maneira de escrevê-las como uma fração. Mas observe que não explorámos este conceito específico com muito detalhe neste vídeo. Talvez seja um tópico que queira investigar mais.