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Limites Laterais

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Limites Laterais

Neste vídeo, aprenderemos como determinar o valor dos limites laterais, tanto graficamente quanto algebricamente. Como o nome indica, os limites laterais envolvem a aproximação a um ponto, digamos 𝑥 igual a 𝑎, a partir de uma direção. Ou seja, a direção positiva ou a negativa. Agora, a princípio, pode não parecer aparente por que isto será útil para nós. Mas vamos explorar mais utilizando o exemplo a seguir.

Considere que a função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 mais um em todos os pontos em que 𝑥 não é igual a dois.

Se quiséssemos determinar o limite quando 𝑥 tende para dois de 𝑓 de 𝑥, poderíamos fazê-lo por substituição direta. Podemos fazê-lo porque, embora 𝑥 igual a dois não esteja no domínio da nossa função, o limite diz respeito a valores de 𝑥 que estão arbitrariamente próximos de dois, mas não onde 𝑥 é igual a dois. Realizando uma substituição, descobrimos que a nossa resposta é dois mais um que é três. Vamos agora dar uma olhadela na nossa função 𝑓 de 𝑥 num gráfico.

Primeiro, notamos que a bola aberta aqui diz-nos que a função 𝑓 de 𝑥 não está definida neste ponto, onde 𝑥 é igual a dois. Vamos agora considerar o processo de definir um limite, mas graficamente. Sabemos que o nosso limite se refere a valores de 𝑥 que estão próximos de dois. Então, vamos ver um valor um pouco menor; digamos 1.8. Se 𝑥 for 1.8, o valor da nossa função é 𝑓 de 1.8. O valor disto é 1.8 mais um que é obviamente 2.8.

Para obter um limite mais preciso, precisamos que 𝑥 se aproxime do nosso valor de dois. Vamos agora ver 𝑥 igual a 1.9. Nesse caso, o valor da nossa função é 2.9. Poderíamos continuar este processo aproximando-nos cada vez mais do valor de 𝑥 igual a dois. Ao fazer isso, descobrimos que o valor da nossa função tende para três como seria de esperar. Aqui, observamos que aproximamos o nosso valor de 𝑥 igual a dois pela esquerda ou na direção negativa. Também poderíamos realizar o mesmo exercício, aproximando-se pela direita ou na direção positiva. De facto, se o fizéssemos, descobriríamos que os nossos valores de 𝑓 de 𝑥 convergiriam para a mesma coisa. O ponto que ilustramos aqui é que a aproximação do valor de 𝑥 igual a dois à esquerda ou à direita parece aproximar-se do mesmo valor de 𝑓 de 𝑥.

Vamos agora considerar o que aconteceria se tivéssemos uma função diferente, digamos 𝑔 de 𝑥, que é definida por ramos como se segue. 𝑔 de 𝑥 é 𝑥 mais um se 𝑥 for menor que dois e 𝑥 mais dois se 𝑥 for maior que dois. Novamente, sabemos graficamente que estas bolas abertas nos dizem que o valor de 𝑔 de 𝑥 não está definido nestes dois pontos. E, de facto, a função 𝑔 de 𝑥 não está definida onde 𝑥 é igual a dois. Se realizássemos o mesmo exercício anterior de abordar o valor de 𝑥 igual a dois pela esquerda, o nosso valor de 𝑔 de 𝑥 tende para três, como vimos. No entanto, agora, se nos aproximarmos de 𝑥 igual a dois pela direita ou na direção positiva, veremos que os valores de 𝑔 de 𝑥 parecem estar a aproximar-se de quatro. Isso significa que, à medida que avançamos para 𝑥 igual a dois, os nossos valores de 𝑔 de 𝑥 parecem estar a aproximar-se de dois valores diferentes, dependendo da direção por que nos estamos a aproximar.

Dado que este é o caso, não faz sentido atribuirmos um valor ao limite quando 𝑥 tende para dois de 𝑔 de 𝑥. E, de facto, dizemos que este limite não existe. No entanto, ainda é útil considerarmos o que acontece quando nos aproximamos pela esquerda ou pela direita, pois isso ainda fornece informações úteis sobre a nossa função. Ao nos aproximarmos pelas diferentes direções, determinamos de facto o limite à esquerda e o limite à direita da nossa função 𝑔. Agora, a diferença na notação aqui é bastante subtil. Mas aqui vemos que o símbolo menos na posição que um expoente toma normalmente diz-nos que estamos a aproximar-nos pela direção negativa e o símbolo mais diz-nos que estamos a aproximar-nos pela direção positiva.

Uma definição um pouco mais formal para os nossos limites laterais é a seguinte. Quando 𝑓 de 𝑥 pode estar arbitrariamente próximo de um valor 𝐿 quando 𝑥 tende para um valor 𝑎 pela esquerda, ou seja, que 𝑥 é estritamente menor que 𝑎 e não é igual a 𝑎, então dizemos que o limite à esquerda quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝐿. Quando as mesmas condições são verdadeiras, mas 𝑥 tende para 𝑎 pela direita, ou seja, 𝑥 é estritamente maior que 𝑎 e não é igual a 𝑎, então dizemos que o limite à direita quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝐿. Aqui, vimos que os limites laterais nos fornecem uma ferramenta útil para examinar funções utilizando uma função por ramos com uma descontinuidade como exemplo. Agora vamos ver um exemplo algébrico em os que limites laterais são úteis.

Determine o limite à esquerda quando 𝑥 tende para 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco 𝑥 cos cinco 𝑥 mais dois sen cinco 𝑥 sobre 𝑥 se 𝑥 for maior que zero e menor que 𝜋 sobre dois e quatro sobre dois cos nove 𝑥 mais 𝜋 se 𝑥 for maior que 𝜋 mais de dois e menor que 𝜋.

Aqui, temos uma função por ramos 𝑓 de 𝑥 definida em dois intervalos diferentes. A nossa função é claramente não definida quando 𝑥 é menor ou igual a zero ou maior que ou igual a 𝜋. Também podemos observar que, devido a estes símbolos de desigualdades estritas, 𝑓 de 𝑥 também não está definida quando 𝑥 é igual a 𝜋 sobre dois. Agora, a nossa questão está a pedir-nos o limite à esquerda, como podemos ver neste símbolo de menos. Isso significa que estamos a aproximar-nos de um valor 𝑥 igual 𝜋 pela direção negativa. E 𝑥 é estritamente menor que 𝜋. Embora sabemos que 𝑥 igual 𝜋 não está no domínio da nossa função, ainda podemos tentar determinar um limite, pois os limites dizem respeito a valores de 𝑥 que estão arbitrariamente próximos de 𝜋 mas não iguais a 𝜋.

Agora, sabemos que os valores de 𝑥 nos quais estamos interessados ​​são inferiores a 𝜋, mas estão muito próximos desse valor. Portanto, o intervalo da nossa função em que estamos interessados ​​é este em que 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro sobre dois cos de nove 𝑥 mais 𝜋. E podemos ver isso da nossa desigualdade. Como este é o intervalo para o qual 𝑥 é apenas menor que 𝜋, passamos a calcular o nosso limite da seguinte forma. Tomamos uma substituição direta de 𝑥 igual a 𝜋 na nossa função. Observando o termo cos de nove 𝜋, lembramos que o cosseno é uma função periódica e que se repete ao longo de um período de dois 𝜋 radianos. Isso significa que cos de nove 𝜋 é igual a cos de 𝜋. E é claro que isto é igual a menos um.

Se fizermos esta substituição, descobrimos que a nossa resposta se torna o quociente a seguir. E então chegamos a uma resposta de quatro sobre menos dois mais 𝜋. Agora respondemos à questão. E descobrimos o limite à esquerda quando 𝑥 tende para 𝜋 da função 𝑓 de 𝑥. Em alguns casos, pode ser difícil esboçar a sua função. E aqui demonstramos assumir um limite lateral sem traçar a nossa função graficamente. Também vale a pena refletir sobre o facto de que uma vez que 𝑓 de 𝑥 não está definida quando 𝑥 é maior que 𝜋 e, de facto, quando 𝑥 é igual a 𝜋, o limite à direita quando 𝑥 tende para 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 não existe. E, de facto, o limite normal quando 𝑥 tende para 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 também não pode ser dito que existe.

Nesse caso, só faz sentido atribuirmos um valor ao limite à esquerda quando 𝑥 tende para 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 demonstrando como os limites laterais nos dão maior precisão nas nossas descrições matemáticas. No exemplo que acabámos de ver, valores de 𝑥 maior que 𝑎 não estavam no domínio da nossa função 𝑓. E, portanto, dissemos que o limite à direita quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 não existe. No entanto, agora podemos ver um exemplo para ilustrar que, mesmo que 𝑓 de 𝑥 pareça estar definida em todos os valores de 𝑥, talvez nalguns casos o limite à esquerda ou à direita possam não existir. E, de facto, o limite normal neste caso também não existiria. Vamos dar uma olhadela num exemplo.

Determine o limite à esquerda quando 𝑥 tende para menos nove de 𝑓 de 𝑥 e o limite à direita quando 𝑥 tende para menos nove de 𝑓 de 𝑥, dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 mais nove se 𝑥 for menor ou igual a menos nove e um sobre 𝑥 mais nove se 𝑥 for maior que menos nove.

Aqui, recebemos uma função definida por partes em dois intervalos. Para o limite à esquerda, estamos a aproximar-nos de 𝑥 igual a menos nove pela direção negativa. Portanto, 𝑥 é menor que menos nove. Para o limite à direita, estamos a aproximar-nos de 𝑥 igual a menos nove pela direção positiva. E, portanto, 𝑥 é maior que menos nove. Como 𝑥 igual a menos nove é o ponto entre os dois intervalos da nossa função por ramos, pois o nosso limite à esquerda estará no primeiro intervalo e o nosso limite à direita estará no segundo intervalo. Vamos trabalhar para determinar o limite à esquerda.

Neste caso, a nossa função 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 mais nove. Podemos determinar este limite substituindo diretamente 𝑥 igual a menos nove na nossa função. Ao fazer isto, descobrimos que a nossa resposta é menos nove mais nove, que é igual a zero. O limite à esquerda quando 𝑥 tende para menos nove de 𝑓 de 𝑥 é, portanto, zero. Agora, para o limite à direita, aqui a nossa função 𝑓 de 𝑥 é um sobre 𝑥 mais nove. Novamente, tentamos a substituição direta de 𝑥 igual a menos nove na nossa função. Desta vez, isto dá-nos uma resposta um sobre zero. E como sabemos, dividir um por zero não pode ser calculado como um valor numérico. Em casos como este, dizemos que o limite não existe. E, portanto, em sentido estrito, esta é a resposta para a nossa questão.

Para entender melhor o nosso resultado, vamos analisar um gráfico da nossa função. Aqui, esboçamos o nosso gráfico. E sabemos que, no intervalo em que 𝑥 é menor ou igual a menos nove, temos uma função bem comportada. E sabemos que, devido ao ponto sólido aqui em menos nove está, de facto, definida neste ponto. Para o outro intervalo, sabemos que quando 𝑥 tende para menos nove, temos uma assíntota vertical. Isso significa que os valores de 𝑓 de 𝑥 são arbitrariamente grandes. E isso é frequentemente representado como infinito. Neste sentido, é comum escrever que o limite à direita quando 𝑥 tende para menos nove de 𝑓 de 𝑥 é igual a mais infinito.

Uma distinção muito importante a ser feita aqui é que não estamos a dizer que infinito assume um valor numérico. Também não estamos a dizer que o nosso limite exista. Em vez disso, estamos a expressar que o limite não existe de uma maneira específica. Fazemo-lo porque escrever um limite como este ainda nos fornece informações úteis sobre a nossa função, conforme apresentado no gráfico. Escrever o limite desta maneira, mesmo sem o gráfico, dar-nos-ia a sensação de que, em menos nove, temos uma descontinuidade. E quando nos aproximamos desse valor à direita, os valores de 𝑓 de 𝑥 ficam arbitrariamente grandes. Para arredondar o conceito de limites laterais, é útil entender as distinções e as relações entre o valor da nossa função em 𝑥 igual a 𝑎, o limite normal da função quando 𝑥 tende para 𝑎 e, é claro, os limites à esquerda e à direita quando 𝑥 tende para 𝑎.

Em particular, vamos formalizar primeiro a seguinte relação. Se o limite à esquerda e o limite à direita quando 𝑥 tende para 𝑎 de uma função 𝑓 de 𝑥 existem e são iguais entre si, assumindo um valor 𝐿, então o limite normal quando 𝑥 tende para 𝑎 da função 𝑓 de 𝑥 também existe e também é igual a 𝐿. De facto, também poderíamos inverter esta regra dizendo que, se o limite normal quando 𝑥 tende para 𝑎 existir e for igual a 𝐿, será igual ao valor dos limites à esquerda e à direita quando 𝑥 tende para 𝑎. E estes também seriam 𝐿.

Já mencionámos isso nos exemplos anteriores; mas aqui reiteramos. Se os limites à esquerda e à direita não são iguais ou não existem, então não faz sentido dizer que o limite normal existe. Também é importante notar que o limite de uma função quando 𝑥 tende para 𝑎 pode, de facto, ser completamente independente do valor da própria função no ponto em que 𝑥 é igual a 𝑎. Vamos ver um exemplo disso na questão a seguir.

Determine o seguinte: 𝑓 de menos três o limite à esquerda quando 𝑥 tende para menos três de 𝑓 de 𝑥, o limite à direita quando 𝑥 tende para menos três de 𝑓 de 𝑥 e o limite normal quando 𝑥 tende para menos três de 𝑓 de 𝑥. Isso é as partes de a) a d). A seguir para as partes de e) a h), temos que determinar 𝑓 de um, determinamos o limite à esquerda quando 𝑥 tende para um de 𝑓 de 𝑥, o limite à direita quando 𝑥 tende para um de 𝑓 de 𝑥 e o limite normal quando 𝑥 tende para um de 𝑓 de 𝑥.

Agora, à primeira vista, isso é muito trabalho. Mas vemos que as quatro primeiras partes da nossa questão estão intimamente relacionadas, assim como as segundas quatro partes da nossa questão. Aqui, faremos as coisas nas secções, primeiro, analisando as partes a), b), c) ed). Agora, temos um gráfico que descreve a função 𝑓 de 𝑥. O primeiro ponto que observamos é que as bolas abertas no nosso gráfico descrevem pontos onde 𝑓 de 𝑥 não existe, enquanto as bolas fechadas no nosso gráfico descrevem pontos onde 𝑓 de 𝑥 existe. Observando o valor de 𝑥 igual a menos três no gráfico, vemos que há uma bola aberta no ponto menos três zero e uma bola fechada no ponto menos três dois. A partir disso, podemos dizer que quando 𝑥 é igual a menos três, 𝑓 de 𝑥 é igual a dois. Por outras palavras, acabámos de responder à parte a) da nossa questão. E 𝑓 de menos três é igual a dois.

Em seguida, passamos ao limite à esquerda quando 𝑥 tende para menos três. À medida que nos aproximamos, vemos no nosso gráfico que o valor de 𝑓 de 𝑥 se aproxima cada vez mais de zero. Não importa aqui que tenhamos uma bola aberta em menos três zero, uma vez que os limites dizem respeito a valores de 𝑥 que estão arbitrariamente próximos de menos três, mas não iguais a três. Podemos então dizer que o limite à esquerda quando 𝑥 tende para menos três de 𝑓 de 𝑥 é igual a zero. De facto, o mesmo pode ser dito para o limite à direita. Quando 𝑥 tende para menos três pela direção positiva, 𝑓 de 𝑥 também tende cada vez mais de zero. Isso significa que o limite à direita quando 𝑥 tende para menos três de 𝑓 de 𝑥 também é igual a zero.

Agora, dado que os limites à esquerda e à direita, quando 𝑥 tende para menos três, existem e são iguais ao mesmo valor, podemos utilizar esta regra geral para dizer que o limite normal também existe e é igual ao mesmo valor. Concluímos, portanto, que o limite normal quando 𝑥 tende para menos três de 𝑓 de 𝑥 também é igual a zero. Agora respondemos ás partes a) a d) da nossa questão. Um ponto interessante a ser observado aqui é que, embora o valor de 𝑓 de menos três seja igual a dois, os limites à esquerda, à direita e normal quando 𝑥 tende para menos três são todos iguais a zero. Novamente, os limites dizem respeito a valores de 𝑥 que são próximos, mas não iguais, a menos três.

Neste caso, os limites não se preocupam com o valor exato de 𝑓 de menos três e apenas se preocupam com os valores 𝑥 assumidos quando tende para menos três. Na verdade, podemos remover totalmente o ponto menos três dois do nosso gráfico. E fazer isso deixaria todos os nossos limites completamente inalterados, mesmo que o valor de 𝑓 de menos três fosse deixado não definido. Agora vamos para as próximas quatro partes da nossa questão.

Primeiro, devemos determinar o valor de 𝑓 de um. Do nosso gráfico, vemos que há uma bola fechada no ponto um, menos dois e uma bola aberta no ponto um, quatro. Sabemos que a bola fechada é onde 𝑓 de 𝑥 está definida. E, portanto, 𝑓 de um é igual a menos dois. Em seguida, para o limite à esquerda quando 𝑥 tende para um para 𝑓 de 𝑥, vemos o que acontece com a nossa função quando nos aproximamos do valor em que 𝑥 é igual a um pela direção negativa. Aqui, fica claro que o valor para 𝑓 de 𝑥 está a aproximar-se de menos dois. E, portanto, este também é o valor do nosso limite à esquerda. Para o limite à direita, vemos o que acontece com o valor de 𝑓 de 𝑥 quando nos aproximamos pela direção positiva. E a partir do nosso gráfico, o valor de 𝑓 de 𝑥 tende cada vez mais para quatro quando 𝑥 tende para um pela direção positiva. Isso significa que o nosso limite à direita é igual a quatro.

Agora, para a parte final da nossa questão, o limite normal quando 𝑥 tende para um de 𝑓 de 𝑥. Aqui, sabemos que existem os limites à esquerda e à direita. No entanto, assumem valores diferentes. E, portanto, são diferentes, dado este facto, podemos concluir que o limite normal não existe. Assim, respondemos todas as partes da nossa questão. Este exemplo ilustra algumas maneiras diferentes pelas quais o valor da função, à esquerda, à direita e os limites normais de uma função se podem relacionar.

Para finalizar, vamos ver alguns pontos-chave. Os limites à esquerda e à direita de uma função 𝑓 de 𝑥 dizem respeito ao valor de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para um valor 𝑎 pela direção negativa e pela direção positiva, respetivamente. Uma definição mais formal foi dada aqui em baixo. Se os limites à esquerda e à direita existem e são iguais a um valor 𝐿, o limite normal também existirá e será igual ao mesmo valor 𝐿. Às vezes, também podemos entender esta regra ao contrário, fazendo inferências sobre os limites à esquerda e à direita, dado o limite normal.

Às vezes, um limite em que o normal ou lateral pode ser escrito como mais ou menos infinito. Nesses casos, não estamos a dizer que infinito, positivo ou negativo, assume um valor numérico. Também não estamos a dizer que o limite existe. Porém, esta é uma maneira particular de escrever que o limite não existe porque nos fornece informações úteis sobre a função. Como ponto final, lembramos que os limites laterais podem existir quando o limite normal não existe. E, portanto, fornecem-nos ferramentas adicionais úteis para descrever uma função, por exemplo, ao analisar uma função por ramos com uma descontinuidade.

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