Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como usar o conceito de coeficiente angular para determinar se duas retas são paralelas ou perpendiculares. E então, veremos como podemos usar essas relações geométricas para resolver problemas.
A inclinação de uma reta é uma característica muito importante de uma reta e descreve quão íngreme é uma reta. A inclinação de uma reta pode ser calculada a partir de quaisquer dois pontos distintos em uma reta. Em geral, podemos dizer que se existem dois pontos em uma linha reta com as coordenadas 𝑥 sub zero, 𝑦 sub zero e 𝑥 sub um, 𝑦 sub um, então podemos calcular a inclinação, muitas vezes referida usando a letra 𝑚, como 𝑦 sub um menos 𝑦 sub zero sobre 𝑥 sub um menos 𝑥 sub zero. Para encontrar o coeficiente angular, estamos realmente dividindo o deslocamento vertical, que é a variação em 𝑦, pelo deslocamento horizontal, ou a variação em 𝑥. Para recapitular como isso funciona na prática, digamos que temos as duas coordenadas quatro, seis e 12, 10. Podemos definir quatro, seis para ter os valores 𝑥 sub zero, 𝑦 sub zero, embora não importe se os definirmos com os valores 𝑥 sub um, 𝑦 sub um.
Substituindo-os na fórmula do coeficiente angular, teríamos que 𝑚 é igual a 10 menos seis sobre 12 menos quatro. Isso simplificaria para quatro sobre oito, o que por sua vez simplifica para a um meio. O coeficiente angular dessa reta é um meio. Muitas vezes pensamos nesse cálculo em termos muito algébricos, mas vamos dar uma olhada mais de perto na geometria envolvida. Quando estamos encontrando a inclinação de uma reta, estamos criando um triângulo retângulo. Os comprimentos dos dois lados mais curtos são os deslocamentos horizontais e verticais. Então, quando pensamos sobre o coeficiente angular em termos de triângulos retângulos, podemos usar os resultados que conhecemos da trigonometria para entender outras propriedades da linha reta.
Uma propriedade que geralmente nos interessa é o ângulo agudo que a reta faz com o eixo horizontal, que podemos rotular como 𝛼. O importante a notar aqui é que o ângulo 𝛼 feito entre a reta 𝐴𝐵 e essa reta horizontal será o mesmo que o ângulo 𝛼 feito entre a reta 𝐴𝐵 e o eixo horizontal porque essas duas retas horizontais são paralelas. Assim, podemos encontrar o ângulo entre a linha reta e o eixo horizontal encontrando o ângulo 𝛼. E como já mencionado, podemos fazer isso usando trigonometria. Neste problema, temos o ângulo 𝛼, temos o lado oposto ao ângulo e temos o lado adjacente ao ângulo.
Podemos, portanto, usar o fato de que a tangente é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente em um triângulo retângulo. E assim temos que tg de 𝛼 é igual a 𝑦 sub um menos 𝑦 sub zero sobre 𝑥 sub um menos 𝑥 sub zero. Em outras palavras, tg do ângulo 𝛼 é simplesmente igual a 𝑚, onde 𝑚 é a inclinação da reta. Então lembre-se de que calculamos a inclinação desta reta de exemplo como um meio. Se quisermos calcular o ângulo 𝛼, sabemos que tg de 𝛼 é igual a um meio. Portanto, 𝛼 é igual a arctg de um meio. Em graus, isso é aproximadamente 26,57 graus com duas casas decimais. Também podemos usar essa abordagem para encontrar o ângulo entre uma linha reta e o eixo horizontal quando o ângulo não é agudo.
Sabemos que é possível que a inclinação de uma reta seja negativa, o que acontece quando 𝑦 sub um menos 𝑦 sub zero e 𝑥 sub um menos 𝑥 sub zero são de sinal oposto. Nesse caso, a linha reta descerá da esquerda para a direita. E então o ângulo positivo, que é o ângulo medido no sentido horário, entre a direção positiva do eixo 𝑥 e a linha reta é obtuso. Como podemos observar, usando uma calculadora, a tangente de um ângulo obtuso é negativa. E assim a relação que encontramos entre a inclinação de uma reta e a tangente do ângulo positivo que a reta faz com a direção positiva do eixo 𝑥 também é válida para ângulos obtusos.
Agora podemos fazer uma anotação mais formal do que aprendemos. Em primeiro lugar, sabemos que a inclinação 𝑚 entre duas coordenadas 𝑥 sub zero, 𝑦 sub zero e 𝑥 sub um, 𝑦 sub um é dada como 𝑚 igual a 𝑦 sub um menos 𝑦 sub zero sobre 𝑥 sub um menos 𝑥 sub zero. Além disso, a inclinação é igual à tangente do ângulo positivo feito entre a reta e a direção positiva do eixo 𝑥, de modo que 𝑚 é igual a tg de 𝛼. O ângulo 𝛼 é medido do eixo 𝑥 positivo até a reta no sentido anti-horário. Um ângulo agudo tem uma tangente positiva, enquanto um ângulo obtuso tem uma tangente negativa. E uma nota final de que, como a cor de um ângulo de 90 graus é indefinida, as retas verticais têm uma inclinação indefinida.
Vamos agora dar uma olhada em um exemplo onde encontramos a inclinação de uma reta dado o ângulo que ela faz com o eixo horizontal.
Encontre, com as duas casas decimais mais próximas, a inclinação da reta que faz um ângulo positivo de 60 graus com a direção positiva do eixo 𝑥.
Podemos começar esse problema visualizando uma reta que faz um ângulo de 60 graus com a direção positiva do eixo 𝑥. Para responder a esse problema, também precisaremos lembrar que a inclinação de uma reta 𝑚 é igual à tangente do ângulo positivo feito entre a reta e a direção positiva do eixo 𝑥. Nesta questão, esse ângulo seria de 60 graus. Então, teríamos que 𝑚 é igual a tg de 60 graus. tg de 60 é igual a raiz de três, mas como um decimal seria 1,732 e assim por diante. Arredondados para as duas casas decimais mais próximas, podemos dizer que o coeficiente angular da reta é 1,73.
Vamos agora passar a olhar para retas paralelas e perpendiculares. Vamos considerar o fato de que duas retas se encontram em um ponto, a menos que sejam paralelas ou coincidentes. As retas coincidentes ficarão exatamente umas sobre as outras. Sabemos que duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. E pelo que acabamos de ver neste vídeo, podemos agora adicionar que as retas são paralelas se fizerem o mesmo ângulo com a direção positiva do eixo 𝑥. Se as retas tiverem inclinação zero, elas serão paralelas ao eixo 𝑥 e paralelas entre si, mesmo que não cruzem o eixo 𝑥. Duas retas são paralelas, mas não coincidentes quando têm a mesma inclinação, mas não a mesma interceptação 𝑦, como mostrado neste diagrama.
Devemos lembrar que as retas perpendiculares se encontram em um ponto e fazem um ângulo de 90 graus entre si. Vamos agora ver o que isso significa para as inclinações de duas retas perpendiculares. Vamos pegar essas duas retas, que têm inclinações de 𝑚 sub um e 𝑚 sub dois. Eles fazem ângulos de 𝛼 e 𝛽, respectivamente, com a direção positiva do eixo 𝑥.
Uma das coisas que podemos dizer é que, como as retas são perpendiculares, 𝛽 é igual a 𝛼 mais 90 graus. Uma propriedade da função tangente é que tg de 𝛼 é igual a menos um sobre tg 𝛼 mais 90 graus. Então, combinando essas duas equações, temos que tg de 𝛼 é igual a menos um sobre tg de 𝛽. E então, porque sabemos que 𝑚 sub um é igual a tg de 𝛼 e 𝑚 sub dois é igual a tg de 𝛽, temos que 𝑚 sub um é igual a menos um sobre 𝑚 sub dois. Alternativamente, isso pode ser escrito como 𝑚 sub um, 𝑚 sub dois é igual a menos um.
Você pode se perguntar por que isso é importante, mas o que realmente demonstramos aqui é que o produto das inclinações perpendiculares é negativo. Esta é uma propriedade muito importante das retas perpendiculares, mas observe que se uma reta for horizontal, a inclinação é zero. Por exemplo, se 𝑚 sub dois é zero, então para encontrar 𝑚 sub um, estaríamos tentando dividir por zero. Isso nos daria um valor indefinido, mas é claro que a inclinação de uma reta vertical é indefinida. Isso faz sentido porque sabemos que uma reta vertical é perpendicular a uma reta horizontal. Mas não podemos usar automaticamente esse fato algébrico de que 𝑚 sub um vezes 𝑚 sub dois é igual a menos um com retas horizontais e verticais.
Agora podemos fazer um resumo rápido das condições para retas paralelas e perpendiculares. Podemos identificar retas paralelas como tendo a mesma inclinação e uma interceptação 𝑦 diferente. Então, retas idênticas têm a mesma inclinação e o mesmo 𝑦 interceptado. E então, quando o produto das inclinações é igual a menos um, as duas retas são perpendiculares. E, como observado anteriormente, se a inclinação da reta é zero, a reta é horizontal. Qualquer reta perpendicular a ela não teria uma inclinação definida.
No próximo exemplo, veremos como podemos encontrar a inclinação de uma reta dada a inclinação de uma perpendicular.
Se a reta 𝐴𝐵 for perpendicular à reta 𝐶𝐷 e a inclinação da reta 𝐴𝐵 for igual a dois quintos, encontre a inclinação da reta 𝐶𝐷.
Aqui, somos informados de que temos duas retas perpendiculares 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷. Saber que duas retas são perpendiculares significa que sabemos algo sobre a relação entre seus coeficientes angulares. Se definirmos a reta 𝐴𝐵 para ter um coeficiente angular de 𝑚 sub um e a reta 𝐶𝐷 para ter uma inclinação de 𝑚 sub dois, então sabemos que 𝑚 sub dois é igual a menos um sobre 𝑚 sub um. Dado que o coeficiente angular 𝑚 sub um da reta 𝐴𝐵 é de dois quintos, então 𝑚 sub dois é igual a menos um sobre dois quintos. Isso simplifica para menos cinco sobre dois. Como essas duas retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares serão os inversos negativos um do outro. E assim o coeficiente angular da reta 𝐶𝐷 é menos cinco sobre dois.
No próximo exemplo, identificaremos a relação entre duas linhas retas.
Seja 𝐿 a reta que passa pelos pontos menos sete, menos sete e menos nove, seis e 𝑀 a reta que passa por um, um e 14, três. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre as retas 𝐿 e 𝑀? Opção (A) elas são paralelas, opção (B) elas são perpendiculares, ou opção (C) elas são concorrentes, mas não são perpendiculares.
Pode valer a pena começar esta pergunta com um esboço rápido das duas retas através dos dois conjuntos de pontos. Quando fazemos isso, podemos observar que as duas retas de fato se cruzam. Podemos, portanto, dizer que essas duas retas não são paralelas, portanto, podemos eliminar a opção (A). Agora, podemos lembrar que duas retas são perpendiculares se elas se cruzam ou se encontram em ângulos retos. A partir do diagrama, parece que as duas retas estão em ângulos retos. Mas pode ser que as duas retas sejam quase perpendiculares e não seja possível distinguir isso do diagrama. Geralmente, não é uma ideia muito boa usar apenas um esboço para determinar se as retas são paralelas ou perpendiculares. Na verdade, devemos realizar algum tipo de cálculo.
Podemos lembrar que se duas retas têm coeficientes angulares de 𝑚 sub um e 𝑚 sub dois, então elas são perpendiculares se 𝑚 sub dois é igual a menos um sobre 𝑚 sub um. Primeiro, precisaremos calcular as inclinações de cada uma das retas 𝐿 e 𝑀. A inclinação da reta que passa por dois pontos com coordenadas 𝑥 sub zero, 𝑦 sub zero e 𝑥 sub um, 𝑦 sub um é calculada como a inclinação 𝑚 é igual a 𝑦 sub um menos 𝑦 sub zero sobre 𝑥 sub um menos 𝑥 sub zero. Para a reta 𝐿, então, sua inclinação 𝑚 sub um é igual a seis menos menos sete sobre menos nove menos menos sete, o que simplifica para menos 13 sobre dois.
Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta 𝑀. Seu coeficiente angular 𝑚 sub dois será calculada como três menos um sobre 14 menos um, e isso é igual a dois sobre 13. Agora, podemos verificar se 𝑚 sub dois é igual a menos um sobre 𝑚 sub um. Se não soubéssemos o valor de 𝑚 sub dois, poderíamos encontrar uma reta perpendicular à reta 𝐿 tomando 𝑚 sub dois e definindo-a igual a menos um sobre menos 13 sobre dois. E isso realmente nos daria um valor de dois treze avos para 𝑚 sub dois. Podemos, portanto, dar a resposta de que a afirmação que é verdadeira sobre as retas 𝐿 e 𝑀 é a opção (B). Elas são perpendiculares.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. O coeficiente angular 𝑚 de uma reta passando por 𝑥 sub zero, 𝑦 sub zero e 𝑥 sub um, 𝑦 sub um é dada por 𝑚 é igual a 𝑦 sub um menos 𝑦 sub zero sobre 𝑥 sub um menos 𝑥 sub zero. O ângulo 𝛼 é medido a partir do eixo horizontal, girando no sentido anti-horário até encontrar a linha reta. Por 𝑚 ser a inclinação de uma linha reta, os seguintes resultados são válidos. Para 𝑚 é maior ou igual a zero, o ângulo 𝛼 entre essa reta e o eixo horizontal é expresso como 𝛼 igual a arctg de 𝑚. Para 𝑚 é menor que zero, o ângulo 𝛼 entre essa linha reta e o eixo horizontal é expresso como 180 graus mais arctg de 𝑚. E para retas verticais, 𝛼 é igual a 90 graus.
Nós também vimos que se pegarmos duas retas com coeficientes angulares 𝑚 sub um e 𝑚 sub dois e um 𝑦 interceptado 𝑐 um e 𝑐 dois, então se 𝑚 sub um é igual a 𝑚 sub dois e 𝑐 sub um não é igual a 𝑐 sub dois , as duas retas são distintas e paralelas. Isso significa que as retas nunca se encontram e que fazem o mesmo ângulo com o eixo horizontal. Mas se 𝑚 sub um é igual a 𝑚 sub dois e 𝑐 sub um é igual a 𝑐 sub dois, então as retas são coincidentes ou idênticas. Mas se 𝑚 sub um vezes 𝑚 sub dois é igual a menos um, então as duas retas são perpendiculares.
