Vídeo: Encontrando o Valor da Variável que Faz uma Função Definida por Partes Contínua em seus Domínios

Encontre os valores de 𝑐 que fazem a função 𝑓 contínua em 𝑥 = 𝑐 se 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥² se 𝑥 ≤ 𝑐, 𝑓(𝑥) = −3𝑥 se 𝑥 > 𝑐.

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Encontre os valores de 𝑐 que fazem a função 𝑓 contínua em 𝑥 igual a 𝑐, se: 𝑓 de 𝑥 for igual a dois mais 𝑥 ao quadrado, se 𝑥 for menor ou igual a 𝑐; e menos três 𝑥, se 𝑥 for maior que 𝑐.

Para uma função 𝑓 de 𝑥 ser contínua em 𝑥 igual a 𝑐, três coisas devem ser verdadeiras. Em primeiro lugar, 𝑓 de 𝑐 deve existir, isto é, a função 𝑓 de 𝑥 é definida em 𝑥 igual a 𝑐. Em segundo lugar, o limite como 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 deve existir, portanto os limites esquerdo e direito existem e são iguais. E em terceiro lugar, o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 deve ser igual a 𝑓 de 𝑐.

Vamos passar por eles, um por um. Primeiro de tudo, precisamos de 𝑓 de 𝑐 para existir. Bem, quando 𝑥 é menor ou igual a 𝑐, que inclui quando 𝑥 é igual a 𝑐, 𝑓 de 𝑥 é igual a dois mais 𝑥 ao quadrado. Assim, 𝑓 de 𝑐 é igual a dois mais 𝑐 ao quadrado. Isso é definido para qualquer valor real de 𝑐, portanto, nosso primeiro critério está satisfeito.

Agora nos movemos para garantir que o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 exista. Primeiro, calculamos o limite da esquerda, o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 abaixo de 𝑓 de 𝑥. Para esse limite unilateral, estamos considerando apenas valores de 𝑥 para os quais 𝑥 é menor que 𝑐 e, portanto, 𝑓 de 𝑥 é igual a dois mais 𝑥 ao quadrado. E nós calculamos este limite por substituição direta, substituindo 𝑥 por 𝑐 para obter dois mais 𝑐 ao quadrado. Agora temos que encontrar o valor do outro limite unilateral, o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 acima de 𝑓 de 𝑥. Quando 𝑥 é maior que 𝑐, 𝑓 de 𝑥 é igual a menos três 𝑥. Então este é o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de menos três 𝑥, que é menos três 𝑐. Nós mostramos que ambos os limites unilaterais existem, mas para o limite quando 𝑥 tende ao período 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 existir, os valores desses dois limites unilaterais devem ser iguais. Dois mais 𝑐 ao quadrado tem que ser igual a menos três 𝑐.

Vamos limpar algum espaço e resolver essa equação. Primeiro, adicionamos três 𝑐 a ambos os lados e reorganizamos os termos. Agora temos uma quadrática em 𝑐 na forma que estamos acostumados a resolver. Podemos fatorar essa quadrática e, portanto, vemos que essas soluções são 𝑐 é igual a menos um e 𝑐 é igual a menos dois. Claro, poderíamos ter usado um método diferente, talvez completando o quadrado ou aplicando a fórmula quadrática. Nós teríamos as mesmas soluções. Estes são os dois valores de 𝑐, para os quais o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 existirá.

A única coisa que resta para verificar é que o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑐. Lembre-se que dois mais c ao quadrado era o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de abaixo de 𝑓 de 𝑥 e menos três 𝑐 era o limite quando 𝑥 tendia a 𝑐 de cima de 𝑓 de 𝑥. Nós mostramos que estes dois eram iguais quando o 𝑐 é igual a menos um ou menos dois. E quando eles são iguais, faz sentido falar sobre o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥. Vamos primeiro tentar 𝑐 é igual a menos um. Nesse caso, o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 abaixo de 𝑓 de 𝑥 é dois mais menos um ao quadrado por substituição direta, que é três. Nós também fazemos a substituição direta para encontrar o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de cima, obtendo menos três vezes menos um, que novamente é três. E como esses dois limites unilaterais concordam, podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 é três. Para satisfazer o terceiro critério, esse limite deve ser igual ao valor da função em 𝑐. 𝑓 de 𝑐 é dois mais 𝑐 ao quadrado, então quando 𝑐 é menos um, 𝑓 de 𝑐 é dois mais menos um ao quadrado, que é três. E podemos ver que o terceiro critério é satisfeito, o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑐 é igual a 𝑓 de 𝑐 quando 𝑐 é menos um.

Agora só temos que verificar 𝑐 é igual a menos dois. Quando 𝑐 é igual a menos dois, como sabemos que os valores dos dois limites unilaterais são iguais, o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 é apenas o valor de um dos limites unilaterais. Escolheremos o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 abaixo de 𝑓 de 𝑥, que é dois mais 𝑐 ao quadrado. Substituindo o valor de 𝑐, menos dois, obtemos dois mais menos dois ao quadrado, que é seis. E, claro, você pode verificar que isso é exatamente o que obteríamos por substituição direta no outro limite unilateral. Qual é o valor de 𝑓 de 𝑐 neste caso? Bem, 𝑓 de 𝑐 também é igual a dois mais 𝑐 ao quadrado. E substituindo menos dois, obtemos um valor de seis. E novamente, o terceiro critério é satisfeito. O limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑐; ambos são iguais a seis quando 𝑐 é igual a menos dois. E assim, neste caso, o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑐 sempre que o limite quando 𝑥 tende a 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 existir, ou seja, quando 𝑐 é igual a menos um ou 𝑐 é igual a menos dois.

Portanto, existem dois valores de 𝑐 que fazem a função 𝑓 contínua em 𝑥 igual a 𝑐, a saber, 𝑐 é igual a menos um e 𝑐 é igual a menos dois.

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