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Vídeo: Qual é a Sensação de Inventar Matemática?

Qual é a Sensação de Inventar Matemática?

15:08

Transcrição do vídeo

Considera um mais dois mais quatro mais oito e continua a adicionar as potências de dois que se seguem para o infinito. Pode parecer uma loucura, mas poderá fazer sentido que esta soma infinita seja igual a menos um.

Se fores como eu, isto parece estranho e obviamente falso à primeira vista. Mas, eu prometo-te, no final deste vídeo faremos com que faça sentido. Para o fazer, precisaremos de voltar atrás. E tu e eu iremos abordaremos a ideia do que é descobrir somas infinitas convergentes. Pelo menos daquelas que parecem fazer sentido. Definir o que realmente significam. Depois, descobrir esta equação louca e tropeçar em novas formas de matemática em que as somas fazem sentido.

Imagina que és um matemático precoce em processo de descoberta de que um meio mais um quarto mais um oitavo mais um dezasseis avos, e assim por diante até o infinito, o que quer que signifique, é igual a um. E imagina que precisas de definir o que significa adicionar uma infinidade de coisas para que os teus amigos te levem a sério.

Qual seria a sensação? Francamente, não faço ideia. E imagino que, mais do que nada, a sensação é de estarmos errados ou emperrados a maior parte do tempo. Mas, darei o meu melhor palpite numa forma como as partes bem-sucedidas deste processo possam ir. Um dia, pões-te a ponderar a natureza das distâncias entre objetos. E não importa quão próximos dois objetos estejam, parece que podem ser sempre aproximados mais um pouquinho sem chegarem a tocar-se.

Apaixonado por matemática como és, queres quer capturar este sentido paradoxal com números. Então, imaginas-te colocar os dois objetos na reta numérica, o primeiro em zero, o segundo em um. Em seguida, deslocas o primeiro objeto em direção ao segundo, de tal modo que a cada passo a distância entre eles é reduz para metade. Acompanhas os números que este objeto toca durante a sua deslocação. Escreves um meio, um meio mais um quarto, um meio mais um quarto mais um oitavo e assim por diante. Ou seja, cada número é naturalmente escrito como uma soma um pouco maior com mais uma potência de dois.

Como tal, és tentado a dizer que se estes números se aproximarem de alguma coisa, deveríamos ser capazes de escrever essa coisa como uma soma que contém o inverso das potências de dois. Por outro lado, podemos ver geometricamente que estes números se aproximam de um. Então, o que queres dizer é que um e uma certa soma infinita são a mesma coisa. Se a tua educação for muito formal, considerarias esta afirmação como ridícula. Claramente, não podes adicionar uma infinidade de coisas. Nenhum humano, computador ou coisa física jamais poderia realizar tal tarefa.

Se, no entanto, abordares a matemática com uma irreverência saudável, encararás corajosamente este ridículo. E tentarás fazer sentido deste absurdo que escreveste, pois ao que parece a natureza assim to deu. Então, como é que tu, querido matemático, defines exatamente as somas infinitas? Bem treinado em matemática como és, sabes que encontrar as definições certas é não só gerar novos pensamentos como também dissecar pensamentos antigos. Então, retrocedes a como te deparaste com esta estranha descoberta.

Não houve momento algum em que tenhas realizado uma infinidade de operações. Tinhas uma lista de números, uma lista que poderias continuar para sempre, se tivesse esse tempo. E cada número resultou de uma soma finita perfeitamente razoável. Notaste que os números nesta lista se aproximam de um. Mas o que queres dizer com “aproximam”? Não é só a distância entre cada número e um que diminui. Porque, neste caso, a distância entre cada número e dois também diminui.

Depois de pensares sobre isto, percebes que o que faz o um especial é que teus números podem arbitrariamente aproximar-se de um. Ou seja, não importa quão pequena seja a tua distância desejada — uma centésima, uma milionésima, ou um sobre o maior número que poderes escrever — se desceres na lista por tempo suficiente, os números acabarão por entrar naquela pequena, minúscula distância de um. Retrospetivamente, isto pode parecer o caminho claro para solidificares o que entendes por “aproximam”. Mas para uma primeira abordagem está incrivelmente inteligente.

Agora pegas na tua caneta e rabiscas a definição do que significa uma soma infinita igual a algum número, digamos 𝑋. Significa que quando geras uma lista de números partindo a sua soma em pontos finitos, os números nessa lista aproximam-se de 𝑋 no sentido em que, não importa quão pequena seja a distância que escolheres nalgum ponto da lista, todos os números acabam por cair dentro dessa distância de 𝑋. Ao fazeres isto, acabas de inventar alguma matemática. Mas nunca houve a sensação de que estavas a tirar coisas do nada. Tu estavas apenas a tentar justificar o que o universo te tinha dado.

Poderás perguntar-te se consegues encontrar outras verdades mais gerais sobre estas somas infinitas que acabaste de inventar. Para isso, observas onde tomaste decisões arbitrárias. Por exemplo, quando estavas a reduzir a distância dos teus objetos, repartindo o intervalo em amplitudes de um meio, um quarto, etc., poderias ter escolhido uma proporção diferente de um meio. Poderias ter repartido o teu intervalo em amplitudes de nove décimos e uma décima. E depois repartias a porção mais à direita nas mesmas proporções, dando-te porções menores de amplitude nove um centésimos e um um centésimo. Em seguida, repartias essa porção de amplitude um um centésimo da mesma forma. Continuando da mesma forma, verias que nove décimos mais nove centésimos mais nove um milésimo até o infinito é igual a um. Um facto mais comummente escrito como 0.9 repetidos é igual a um.

Para todos os teus amigos que insistem que isso não é igual a um e que apenas se aproxima de um, pode apenas sorrir. Porque sabes que com somas infinitas, aproximar de e igual a significam a mesma coisa. Para ser genérico, digamos que reduzias o intervalo em porções de amplitude 𝑝 e um menos 𝑝. Onde 𝑝 representa qualquer número entre zero e um. Repartindo a porção de amplitude 𝑝 em proporções semelhantes, agora obtemos porções de amplitude 𝑝 vezes um menos 𝑝 e 𝑝 ao quadrado.

Continuando desta maneira, repartindo sempre a parte mais à direita nas mesmas proporções, descobrirás que um menos 𝑝 mais 𝑝 vezes um menos 𝑝 mais 𝑝 ao quadrado vezes um menos 𝑝, assim por diante, adicionando sempre 𝑝 às potências seguintes vezes um menos 𝑝, é igual a um. Dividindo ambos os membros por um menos 𝑝, obtemos esta fórmula simpática. Nesta fórmula, o universo ofereceu uma estranha forma para o absurdo. Apesar de pela forma como a descobriste só fazer sentido para valores de 𝑝 entre zero e um. O segundo membro ainda faz sentido quando substituis 𝑝 por qualquer outro número, exceto talvez por um.

Por exemplo, substituindo por menos um, a equação lê-se um menos um mais um menos, alternando sempre entre os dois, é igual a um meio. Que parece não só tolo como também a única coisa que poderia ser. Substituindo por dois, a equação lê-se um mais dois mais quatro mais oito, assim por diante até ao infinito, é igual a um negativo. Algo que nem parece razoável. Por um lado, o rigor ditaria que os ignorasse, uma vez que a definição de somas infinitas não se aplica para estes casos. A lista de números que geras repartindo a soma em pontos finitos não se aproxima de nada.

Mas és um matemático, não um robô. Então, não deixas que o facto de algo não fazer sentido te pare. Vou deixar esta soma para outro dia. Para que possamos abordar diretamente este monstro. Primeiro, para arrumar as coisas, observa o que obténs quando repartes a soma em pontos finitos: um, três, sete, 15, 31. São todos um menos uma potência de dois. Geralmente, quando somas as 𝑛 primeiras potências de dois, obténs dois elevado a 𝑛 mais um menos um. Como esta animação pretende clarificar.

Decides entreter o universo com humor e finges que estes números, todos um menos uma potência de dois, realmente se aproximam de menos um. Isto fica mais aprumado se somarmos um a tudo e dissermos que as potências de dois se aproximam de zero. Existe alguma forma de isto fazer sentido? Na verdade, o que estás a tentar fazer é tornar esta fórmula mais geral dizendo que ela se aplica a todos os números, não apenas àqueles entre zero e um. Novamente, para tornar as coisas mais genéricas, procuras por qualquer momento onde tenhas feito uma escolha arbitrária. Aqui, este caso é muito sorrateiro. Tão sorrateiro na verdade que demorou até ao século 20 para os matemáticos encontrá-lo. É a maneira como definimos a distância entre dois números racionais.

Isto é, organizá-los numa reta pode não ser a única forma razoável de organizá-los. A noção de distância é essencialmente uma função que recebe dois números e gera um número que indica a distância entre eles. Poderias chegar a uma noção completamente aleatória de distância. Onde dois está sete unidades de distância de três, e um meio está a quatro quintos de distância de 100, e todo o tipo de coisas. Mas se quiseres realmente utilizar uma nova função de distância da mesma forma que utilizas a função de distância familiar, aquela deve partilhar algumas das mesmas propriedades. Por exemplo, a distância entre dois números não deve mudar se os alterares na mesma quantidade. Portanto, zero e quatro devem estar à mesma distância de um e cinco, ou dois e seis. Mesmo que essa mesma distância seja diferente de quatro, como estamos acostumados.

Mantendo as coisas genéricas, a distância entre dois números não deve mudar se adicionares o mesmo valor a ambos. Vamos chamar a esta propriedade invariante para translações. Existem outras propriedades que também pretendes que a tua noção de distância tenha, como a desigualdade triangular. Mas antes de começarmos a preocupar-nos com isso, vamos começar por imaginar que noção de distância poderia fazer com que as potências de dois se aproximassem de zero. E que é invariante para translações.

A princípio, poderás trabalhar um pouco para encontrar um estado de espírito em que isto não pareça um total absurdo. Mas, com algum tempo e um pouco de sorte, poderás pensar em organizar os teus números em caixas, sub-caixas, sub-sub-caixas e assim por diante. Pensas em zero como estando na mesma caixa que todas as potências de dois maiores que um, como estando na mesma sub-caixa de todas as potências de dois maiores que dois, como estando na mesma sub-sub-caixa de potências de dois maiores que quatro, e assim por diante, com uma infinidade de caixas menores e menores.

É muito difícil desenhar uma infinidade de coisas. Então, vou desenhar apenas quatro tamanhos de caixas. Mas mantém em mente que este processo deve durar para sempre. Se pensarmos em cada número como estando numa hierarquia de caixas, não apenas zero, a invariância para translações dir-nos-á onde todos os números devem cair. Por exemplo, um deve estar tão longe de três quanto dois de zero. Da mesma forma, a distância entre zero e quatro deve ser a mesma que entre um e cinco, dois e seis e três e sete.

Continuando assim, verás para que caixas, sub-caixas, sub-sub-caixas, e assim por diante, os sucessivos números se devem encaixar. Também podes deduzir onde os números negativos devem cair. Por exemplo, menos um tem que estar na mesma caixa que um, na mesma sub-caixa que três, a mesma sub-sub-caixa que sete e assim por diante. Sempre em caixas menores e menores, com números um menos uma potência de dois. Porque zero está em caixas menores e menores de potências de dois. Então, como transformas esta ideia geral de proximidade baseada em caixas e sub-caixas efetivamente numa função de distância?

Não pode considerar este desenho literalmente, pois ele faz com que um pareça muito próximo de 14 e zero muito longe de 13. Mesmo que a invariância para translações implique que estejam à mesma distância. Novamente, no processo de descoberta, poderás trabalhar duro, rabiscando muitas folhas de papel. Mas se tiveres a ideia de que a única coisa que te deve importar na determinação da distância entre dois objetos é o tamanho da menor caixa que eles partilham, podes apresentar o seguinte. Quaisquer números espalhados em caixas grandes amarelas estão à distância de uma unidade uns dos outros. Aqueles que estão na mesma caixa grande, mas não na mesma sub-caixa laranja, estão a uma distância de um meio uns dos outros. Aqueles que estão na mesma sub-caixa laranja, mas não na mesma sub-sub-caixa, estão a uma distância de um quarto uns dos outros. E continuas assim, utilizando os inversos de potências maiores e maiores de dois para indicar proximidade.

Nós não faremos isto neste vídeo. Mas vê se consegues raciocinar sobre que quais caixas outros números racionais, como um terço e um meio, devem cair. E vê se podes provar por que esta noção de distância satisfaz muitas das boas propriedades que esperamos de uma função de distância. Como a desigualdade triangular. Aqui, direi apenas que esta noção de distância é perfeitamente legítima. Nós chamamo-la de medida 2-ádica. E cai numa família geral de funções de distância chamada de medidas 𝑝-ádicas, onde 𝑝 representa qualquer número primo. Cada uma dessas medidas dá origem a um tipo de número completamente novo, nem real nem complexo, e tornou-se uma noção central na moderna teoria dos números.

Utilizando a medida 2-ádica, o facto de que a soma de todas as potências de dois é negativa faz sentido. Porque os números um, três, sete, 15, 31 e assim por diante aproximam-se mesmo de menos um. Esta parábola não retrata a trajetória histórica das descobertas. Mas, no entanto, acho que é ainda assim uma boa ilustração de um padrão recorrente na descoberta da matemática.

Primeiro, a natureza dá-te algo que está mal definido, ou até absurdo. Em seguida, defines novos conceitos que fazem essa descoberta difusa ganhar sentido. E estes novos conceitos tendem a produzir matemática realmente útil e ampliar a tua mente sobre noções tradicionais. Assim, em resposta à antiga questão de se matemática é invenção ou descoberta, a minha crença pessoal é que a descoberta de verdades não rigorosas é o que nos leva à construção de termos rigorosos que são úteis, abrindo a porta para descobertas mais confusas, continuando o ciclo.