Vídeo: Como se Sente ao Inventar Matemática?

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Como se Sente ao Inventar Matemática?

15:07

Transcrição do vídeo

Pegue um mais dois mais quatro mais oito e continue adicionando a próxima potência de dois até o infinito. Isso pode parecer uma loucura, mas há um sentido em que essa soma infinita é igual a menos um.

Se você é como eu, isso parece estranho ou obviamente falso quando você o vê pela primeira vez. Mas eu prometo a você, até o final deste vídeo, para você e eu isso fará sentido. Para fazer isso, precisamos fazer o backup. E você e eu percorreremos o caminho para descobrir somas convergentes infinitas. Aquelas que pelo menos parecem fazer sentido. Para definir o que elas realmente significam. Então, descobrir essa equação louca e encontrar novas formas de matemática onde isso faz sentido.

Imagine que você é um dos primeiros matemáticos no processo de descobrir que um meio mais um quarto mais um oitavo mais um sexto, até o infinito, o que quer que isso signifique, é igual a um. E imagine que você precisava definir o que significa adicionar infinitamente muitas coisas para seus amigos levarem você a sério.

Como seria isso? Francamente, eu não tenho ideia. E imagino que, mais do que tudo, parece estar errado ou preso a maior parte do tempo. Porém, darei o meu melhor palpite de uma maneira que as partes bem-sucedidas possam ter. Um dia você está refletindo sobre a natureza das distâncias entre os objetos. E como não importa quão próximas duas coisas estejam, parece que elas sempre podem ser aproximadas uma da outra sem se tocar.

Apaixonado por matemática como você é, você quer capturar esse sentimento paradoxal com números. Então você imagina colocando os dois objetos na reta numérica, o primeiro em zero, o segundo em um. Então você marcha o primeiro objeto em direção ao segundo, de tal modo que a cada passo a distância entre eles é cortada ao meio. Você acompanha os números que esse objeto toca durante sua marcha. Escrevendo um meio, um meio mais um quarto, um meio mais um quarto mais um oitavo e assim por diante. Ou seja, cada número é naturalmente escrito como uma soma um pouco maior com mais uma potência de dois.

Como tal, você é tentado a dizer que, se esses números se aproximarem de alguma coisa, deveríamos ser capazes de escrever essa coisa como uma soma que contém o inverso de cada potência de dois. Por outro lado, podemos ver geometricamente que esses números se aproximam de um. Então, o que você quer dizer é que um e algum tipo de soma infinita são a mesma coisa. Se sua educação fosse muito formal, você descartaria essa afirmação como ridícula. Claramente, você não pode adicionar infinitamente muitas coisas. Nenhum humano, computador ou coisa física jamais poderia realizar tal tarefa.

Se, no entanto, você se aproximar da matemática com uma irreverência saudável, ficará bravo diante do ridículo. E tente entender esse absurdo que você escreveu, pois parece que a natureza deu para você. Então, exatamente como você, querido matemático, define as somas infinitas? Bem treinado em matemática como você é, você sabe que encontrar as definições certas é menos que gerar novos pensamentos do que sobre dissecar pensamentos antigos. Então você volta a como você se deparou com essa descoberta vaga.

Em nenhum momento você executou infinitamente muitas operações. Você tinha uma lista de números, uma lista que poderia continuar para sempre se tivesse tempo. E cada número veio de uma soma finita perfeitamente razoável. Você percebeu que os números nesta lista se aproximam de um. Mas o que você quer dizer com “aproximar”? Não é só que a distância entre cada número e um fica menor. Porque, nesse caso, a distância entre cada número e dois também fica menor.

Depois de pensar sobre isso, você percebe que o que faz um especial é que seus números podem chegar arbitrariamente perto de um. Ou seja, não importa quão pequena seja a sua distância desejada - um centésimo, um milionésimo, ou um sobre o maior número que você pode escrever - se você descer a lista por tempo suficiente, os números acabarão caindo dentro dessa minúscula pequena distância de um. Retrospectivamente, isso pode parecer o caminho claro para solidificar o que você entende por “aproximar”. Mas como uma primeira tentativa, é incrivelmente inteligente.

Agora você pega sua caneta e escreva a definição para o que significa uma soma infinita igual a algum número, digamos 𝑋. Isso significa que quando você gera uma lista de números cortando sua soma em pontos finitos, os números nesta lista se aproximam de 𝑋 no sentido de que não importa quão pequena seja a distância que você escolher em algum ponto da lista, todos os números começam a cair dentro dessa distância de 𝑋. Ao fazer isso, você acabou de inventar alguma matemática. Mas nunca senti que você estava tirando coisas do nada. Você estava apenas tentando justificar o que o universo lhe deu em primeiro lugar.

Você pode se perguntar se você pode encontrar outras verdades mais gerais sobre essas somas infinitas que você acabou de inventar. Para fazer isso, você procura onde você tomou decisões arbitrárias. Por exemplo, quando você estava diminuindo a distância entre seus objetos, cortando o intervalo em pedaços de um meio, um quarto, etc., você poderia ter escolhido uma proporção diferente de um meio. Você poderia ter cortado seu intervalo em pedaços de tamanho de nove décimos e um décimo. E então corte o pedaço mais à direita nas mesmas proporções, dando-lhe pedaços menores de tamanho nove centésimos e um centésimo. Em seguida, corte esse pequeno pedaço de tamanho de um centésimo da mesma forma. Continuando, você verá que nove décimos mais nove centésimos mais nove milésimos até o infinito são iguais a um. Um fato mais popularmente escrito como a dízima periódica 0.9 é igual a um.

Para todos os seus amigos que insistem que isso não é igual a um e apenas se aproxima dele, agora você pode apenas sorrir. Porque você sabe que com somas infinitas, aproximar e igual significam a mesma coisa. Para ser geral, digamos que você reduza o intervalo em pedaços de tamanho 𝑝 e um menos 𝑝. Onde 𝑝 representa qualquer número entre zero e um. Cortando o pedaço de tamanho 𝑝 em proporções semelhantes, agora obtemos pedaços de tamanho 𝑝 vezes um menos 𝑝 e 𝑝 ao quadrado.

Continuando dessa maneira, sempre cortando a parte mais à direita nas mesmas proporções, você descobrirá que um menos 𝑝 mais 𝑝 vezes um menos 𝑝 mais 𝑝 ao quadrado vezes um menos 𝑝, assim por diante adicionando 𝑝 às próximas potências vezes um menos 𝑝, é igual a um. Dividindo ambos os lados por um menos 𝑝, obtemos esta fórmula legal. Nesta fórmula, o universo ofereceu uma forma estranha de absurdo. Mesmo que a maneira que você descobriu, só faz sentido para valores de 𝑝 entre zero e um. O lado direito ainda faz sentido quando você substitui 𝑝 por qualquer número, exceto talvez por um.

Por exemplo, substituindo menos um, a equação lê um menos um mais um menos um, e continua para sempre alternando entre os dois, é igual a um meio. Que parece muito bobo e meio que a única coisa que poderia ser. Substituindo dois, a equação lê um mais dois mais quatro mais oito, assim por diante até o infinito, é igual a menos um. Algo que nem parece razoável. Por um lado, o rigor ditaria que você os ignorasse, uma vez que a definição de somas infinitas não se aplica nesses casos. A lista de números que você gera cortando a soma em pontos finitos não aproxima nada.

Mas você é um matemático, não um robô. Então você não deixa que o fato de algo ser sem sentido pare você. Vou deixar essa soma para outro dia. Para que possamos pular diretamente para esse monstro. Primeiro, para limpar as coisas, observe o que você obtém quando corta a soma em pontos finitos: um, três, sete, 15, 31. Eles são todos um menos do que a potência de dois. Em geral, quando você soma as 𝑛 primeiras potências de dois, você obtém dois elevado a 𝑛 mais um menos um. Que esta animação deixa claro.

Você decide brincar com o universo e finge que esses números, todos um menos a potência de dois, realmente se aproximam de menos um. Ele provará, para ser claro, se somarmos um a tudo e dissermos que as potências de dois se aproximam de zero. Existe alguma maneira que isso possa fazer sentido? Na verdade, o que você está tentando fazer é tornar essa fórmula mais geral dizendo que ela se aplica a todos os números, não apenas àqueles entre zero e um. Novamente, para tornar as coisas mais genéricas, você procura por qualquer lugar onde tenha feito uma escolha arbitrária. Aqui, esse lugar acaba sendo muito sorrateiro. Tão sorrateiro, na verdade, que os matemáticos demoraram até o século 20 para encontrá-lo. É a maneira que definimos a distância entre dois números racionais.

Isto é, organizá-los em uma reta pode não ser a única maneira razoável de organizá-los. A noção de distância é essencialmente uma função que recebe dois números e gera um número que indica a distância entre eles. Você poderia chegar a uma noção completamente aleatória de distância. Onde dois está sete de distância de três, e um meio está quatro quintos de distância de 100, e todos os tipos de coisas. Mas se você quiser realmente usar uma nova função de distância da mesma maneira que usa a função de distância familiar, ela deve compartilhar algumas das mesmas propriedades. Por exemplo, a distância entre dois números não deve mudar se você alternar os dois pelo mesmo valor. Portanto, zero e quatro devem estar à mesma distância de um e cinco, ou dois e seis. Mesmo que essa mesma distância seja diferente de quatro, como estamos acostumados.

Mantendo as coisas gerais, a distância entre dois números não deve mudar se você adicionar o mesmo valor a ambos. Vamos chamar essa propriedade de invariância de mudança. Existem outras propriedades que você também quer que sua noção de distância tenha, como a desigualdade do triângulo. Mas antes de começarmos a nos preocupar com isso, vamos começar a imaginar que noção de distância poderia fazer com que as potências de dois se aproximassem de zero. E que é invariante de mudança.

No início, você pode trabalhar um pouco para encontrar um estado de espírito em que isso não pareça um absurdo total. Mas, com bastante tempo e um pouco de sorte, você pode pensar em organizar seus números em salas, sub-salas, sub-sub-salas e assim por diante. Você pensa em zero como estando na mesma sala que todas as potências de dois maiores que um, como estando na mesma sub-sala de todas as potências de dois maiores que dois, como estando na mesma sub-sub-sala das potências dois maiores que quatro, e assim por diante, com infinitamente muitas salas cada vez menores.

É muito difícil desenhar infinitamente muitas coisas. Então, vou desenhar apenas quatro tamanhos de sala. Mas mantenha em mente que esse processo deve durar para sempre. Se pensarmos em cada número como estando em uma hierarquia de salas, não apenas zero, a invariância de mudança nos dirá onde todos os números devem cair. Por exemplo, um deve estar tão longe de três quanto dois está de zero. Da mesma forma, a distância entre zero e quatro deve ser a mesma que entre um e cinco, dois e seis e três e sete.

Continuando assim, você verá quais salas, sub-salas, sub-sub-salas e assim por diante os números sucessivos devem se encaixar. Você também pode deduzir onde os números negativos devem cair. Por exemplo, menos um tem que estar na mesma sala que um, na mesma sub-sala que três, na mesma sub-sub-sala que sete e assim por diante. Sempre em salas cada vez menores, com números um a menos que uma potência de dois. Porque zero está em salas cada vez menores com as potências de dois. Então, como você transforma essa ideia geral de proximidade baseada em salas e sub-salas em uma função de distância real?

Você não pode levar este desenho muito literalmente, pois faz com que pareça muito próximo de 14 e zero muito longe de 13. Mesmo que a invariância de mudança implique que eles estejam à mesma distância. Novamente, no processo real de descoberta, você pode trabalhar duro, rabiscando muitas folhas de papel. Mas se você tem a ideia de que a única coisa que deve importar na determinação da distância entre dois objetos é o tamanho da menor sala que eles compartilham, você pode apresentar o seguinte. Quaisquer números que se encontram em grandes salas amarelas diferentes estão a uma distância um, um do outro. Aqueles que estão na mesma sala grande, mas não na mesma sub-sala laranja, estão a uma distância de um meio, um do outro. Aqueles que estão na mesma sub-sala laranja, mas não na mesma sub-sub-sala, estão a uma distância de um quarto, um do outro. E você continua assim, usando as inversas das potências cada vez maiores de dois para indicar proximidade.

Nós não vamos fazer isso neste vídeo. Mas veja se você pode raciocinar sobre quais salas outros números racionais, como um terço e um meio, devem estar. E veja se você pode provar porque essa noção de distância satisfaz muitas das boas propriedades que esperamos de uma função de distância. Como a desigualdade triangular. Aqui, direi apenas que essa noção de distância é perfeitamente legítima. Nós chamamos de métrica 2-ádico. E cai em uma família geral de funções de distância chamada de métrica 𝑝-ádico, onde 𝑝 significa qualquer número primo. Cada uma dessas métricas dá origem a um tipo de número completamente novo, nem real nem complexo, e se tornou uma noção central na teoria moderna dos números.

Usando a métrica 2-ádico, o fato de que a soma de todas as potências de dois é menos um faz sentido. Porque os números um, três, sete, 15, 31 e assim por diante genuinamente se aproximam de menos um. Esta parábola não retrata a trajetória histórica das descobertas. Mas, no entanto, ainda acho que é uma boa ilustração de um padrão recorrente na descoberta da matemática.

Primeiro, a natureza lhe dá algo que é mal definido, ou até absurdo. Então você define novos conceitos que fazem essa descoberta difusa ter sentido. E esses novos conceitos tendem a render matemática realmente útil e ampliar sua mente sobre noções tradicionais. Assim, em resposta à antiga questão de se matemática é invenção ou descoberta, minha crença pessoal é que a descoberta de verdades não rigorosas é o que nos leva à construção de termos rigorosos que são úteis, abrindo a porta para descobertas mais confusas, continuando o ciclo.

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