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Vídeo da aula: Equações trigonométricas simples Mathematics • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como determinar as amplitudes dos ângulos dados intervalos e valores de funções.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a solução geral de uma equação trigonométrica ou como resolvê-la num intervalo específico. Uma equação trigonométrica é uma equação que envolve pelo menos uma das seguintes situações: uma função trigonométrica como seno, cosseno e tangente; uma função trigonométrica recíproca, cossecante, secante e cotangente; ou a inversa de qualquer uma delas. Alguns dos exemplos mais simples destas equações podem ser resolvidos sem o uso de uma calculadora. Nestes casos, utilizaremos o nosso conhecimento dos ângulos notáveis juntamente com a simetria e a periodicidade dos gráficos de seno, cosseno e tangente.

Começaremos este vídeo recordando os valores exatos do seno, do cosseno e da tangente de vários ângulos notáveis. É importante recordarmos o seno, o cosseno e a tangente de zero, 30, 45, 60 e 90 graus. Também é importante saber os valores correspondentes destes ângulos em radianos. Embora não consideremos as demonstrações disto em detalhes neste vídeo, é importante recordar que estes vêm do nosso conhecimento de trigonometria de ângulos retos e do teorema de Pitágoras. Os valores exatos do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos dados são apresentados. Recordando que a identidade tan 𝜃é igual a sen 𝜃 sobre cos 𝜃, podemos calcular a tangente de qualquer um destes ângulos dividindo o valor do seno do ângulo pelo valor do cosseno do ângulo.

No nosso primeiro exemplo, demonstraremos como utilizar a simetria do gráfico da função seno ao lado desta tabela de valores para determinar todas as soluções para uma equação trigonométrica simples.

Qual é a solução geral de sen 𝜃 igual a raiz de dois sobre dois?

Para determinar a solução geral para uma equação trigonométrica, começamos por determinar uma solução particular. Neste caso, a tabela de valores trigonométricos exatos pode ajudar. Para qualquer ângulo 𝜃 dado em radianos, os valores exatos da função seno são os apresentados. Observamos que o seno de 𝜋 sobre quatro radianos é igual a raiz de dois sobre dois. Isto significa que 𝜃 igual a 𝜋 sobre quatro é uma solução particular da equação sen 𝜃 igual a raiz de dois sobre dois. Para determinar outras soluções, esboçamos o gráfico de 𝑦 igual a sen 𝜃 entre zero e dois 𝜋. As soluções para sen 𝜃 igual a raiz de dois sobre dois são determinadas adicionando a reta 𝑦 igual a raiz de dois sobre dois ao diagrama.

Percebemos que esta interseta a curva duas vezes entre zero e dois 𝜋. O primeiro ponto de interseção corresponde à solução 𝜋 sobre quatro. Como a curva sinusoidal tem simetria em 𝜋 sobre dois no intervalo de zero a 𝜋, a segunda solução é determinada subtraindo 𝜋 sobre quatro de 𝜋. Isto é igual a três 𝜋 sobre quatro. Agora temos duas soluções para a equação sen 𝜃 igual a raiz de dois sobre dois: 𝜃 igual a 𝜋 sobre quatro e 𝜃 igual a três 𝜋 sobre quatro. Lembrando que a função seno é periódica com um período de 360 graus ou dois 𝜋 radianos, podemos determinar a solução geral. Em primeiro lugar, temos 𝜃 igual a 𝜋 sobre quatro mais dois 𝑛𝜋 - podemos escrever assim porque outras soluções são determinadas adicionando ou subtraindo múltiplos de dois 𝜋 ou 360 graus - e em segundo lugar, três 𝜋 sobre quatro mais dois 𝑛𝜋, onde 𝑛 é um número inteiro.

Nesta questão, demonstrámos como interpretar a simetria do gráfico da função seno para determinar todas as soluções de uma equação. Outra maneira de estender o domínio da função seno é o círculo trigonométrico. Lembrando que o círculo trigonométrico está centrado na origem com um raio de uma unidade, podemos calcular o seno de qualquer ângulo 𝜃 começando no ponto um, zero e viajando ao longo do perímetro da circunferência em sentido anti-horário até ao ângulo que é formado entre este ponto, a origem, e o eixo positivo O𝑥 é igual a 𝜃. Se este ponto tiver coordenadas 𝑥, 𝑦, então sen 𝜃 é igual ao valor de 𝑦. O valor da coordenada em 𝑦 é positivo no primeiro e no segundo quadrante. Portanto, o valor de sen 𝜃 também será positivo nesses quadrantes.

Como o círculo trigonométrico tem simetria de reflexão em torno do eixo O𝑦, podemos ver que sen 𝜃 é igual a sen de 180 graus menos 𝜃. Ao continuar a mover-se ao longo do perímetro do círculo trigonométrico, vemos que sen 𝜃 também é igual a sen de 360 mais 𝜃 para todos os valores de 𝜃. Estes resultados podem ser generalizados como se mostra onde o conjunto de todas as soluções para sen 𝜃 igual a 𝐶 é 𝜃 igual a 𝜃 índice um mais 360𝑛 e 𝜃 igual a 180 menos 𝜃 índice um mais 360𝑛, onde 𝑛 é um número inteiro. Observe que se 𝜃 for medido em radianos, 360 graus serão substituídos por dois 𝜋 e 180 graus por 𝜋. Embora possamos sentir-nos inclinados a memorizar estas fórmulas, na prática, pode ser muito mais eficaz esboçar o gráfico da função ou o círculo trigonométrico.

No nosso próximo exemplo, veremos como utilizar a simetria do gráfico da função cosseno para resolver uma equação trigonométrica.

Determine o conjunto de valores que satisfazem o cos de 𝜃 menos 105 igual a menos um meio, onde 𝜃 é maior do que zero graus e menor do que 360 graus.

Para determinar as soluções de uma equação trigonométrica num determinado intervalo, começamos por determinar uma solução particular. Neste caso, a tabela de valores trigonométricos exatos pode ajudar. Vamos primeiro redefinir o argumento da função, sendo 𝛼 igual a 𝜃 menos 105, tal que o cos de 𝛼 seja igual a menos um meio e 𝜃 seja igual a 𝛼 mais 105. Podemos então corrigir o intervalo no qual as nossas soluções são válidas adicionando 105 a cada parte da inequação; 𝛼 é maior do que 105 graus e menor do que 465 graus. Preenchendo a tabela para os valores exatos de cos 𝛼, podemos ver que cos 𝛼 é igual a um meio quando 𝛼 é 60 graus. No entanto, não há valores de 𝛼 na tabela tais que cos 𝛼 seja igual a menos um meio.

Ao esboçar o gráfico da função cosseno em conjunto com as retas 𝑦 igual a um meio e 𝑦 igual a menos um meio, podemos determinar o valor associado de 𝛼. Parece que no gráfico pode haver três valores entre 105 e 465 graus. Como o gráfico tem simetria rotacional entre zero e 180 graus cerca de 90 graus, zero, a primeira solução é igual a 180 menos 60. Isto é igual a 120 graus, que está no intervalo necessário. Em seguida, utilizando a simetria da curva, temos 𝛼 igual a 180 mais 60. Isto é igual a 240 graus, que também está no intervalo dado. A terceira solução corresponde a 120 mais 360 graus. No entanto, este valor de 480 graus está fora do nosso intervalo para 𝛼. Portanto, as soluções para cos 𝛼 igual a menos um meio são 𝛼 igual a 120 graus e 𝛼 igual a 240 graus.

Agora podemos calcular os valores correspondentes de 𝜃. 120 mais 105 é igual a 225 e 240 mais 105 é 345. O conjunto de valores que satisfaz cos de 𝜃 menos 105 igual a menos um meio é 225 graus e 345 graus. Uma técnica alternativa para determinar a solução particular para cos de 𝛼 igual a menos um meio é utilizar a função inversa do cosseno de modo a que 𝛼 seja igual à inversa do cos de menos um meio, que é igual a 120 graus. A partir deste ponto, utilizaríamos os mesmos passos para determinar as outras soluções. Isto também poderia ter sido feito utilizando o círculo trigonométrico, o que nos levaria à regra geral: o cos de 𝜃 é igual ao cos de 360 graus menos 𝜃.

Utilizando a simetria do círculo trigonométrico e a periodicidade da função cosseno, podemos indicar fórmulas para a solução geral de equações que envolvem esta função. Da mesma forma que já vimos para a função seno, o conjunto de todas as soluções para cos 𝜃 igual a 𝐶 é 𝜃 igual a 𝜃 índice um mais 360𝑛 e 𝜃 é igual a 360 menos 𝜃 índice um mais 360𝑛 para todos os números inteiros valores de 𝑛. Mais uma vez, se 𝜃 for medido em radianos, substituímos 360 graus por dois 𝜋 radianos.

Vimos na questão anterior como resolver uma equação trigonométrica em que o argumento da função foi transformado de alguma forma. Vamos agora ver uma versão semelhante disto, envolvendo a função tangente.

Determine o conjunto de valores que satisfaz tan de dois 𝑥 mais 𝜋 sobre cinco igual a menos um, onde 𝑥 é maior ou igual a zero e menor ou igual a dois 𝜋.

Para resolver esta equação, começaremos por redefinir o argumento, pois este permitir-nos-á utilizar a simetria da função tangente. Seja 𝜃 igual a dois 𝑥 mais 𝜋 sobre cinco. Isto significa que precisamos de resolver o tan de 𝜃 igual a menos um em que 𝜃 é maior ou igual a 𝜋 sobre cinco e menor ou igual a 21𝜋 sobre cinco à medida que multiplicamos cada parte da inequação por dois e depois adicionamos 𝜋 sobre cinco. A seguir, recordamos que para 𝜃 medido em radianos, os valores exatos de tan 𝜃 são os apresentados. Vemos que tan de 𝜋 sobre quatro é igual a um. A seguir, esboçaremos o gráfico de 𝑦 igual ao tan de 𝜃. Em seguida, adicionaremos as retas horizontais onde 𝑦 é igual a um e 𝑦 é igual a menos um.

Devido à simetria rotacional da função tangente, a primeira solução ocorre quando 𝜃 é igual a 𝜋 menos 𝜋 sobre quatro. Isto é igual a três 𝜋 sobre quatro. Como a função é periódica com um período de 𝜋 radianos, podemos determinar as soluções restantes adicionando múltiplos de 𝜋 a este valor. Em primeiro lugar, três 𝜋 sobre quatro mais 𝜋 é igual a sete 𝜋 sobre quatro. Também temos soluções 11𝜋 sobre quatro e 15𝜋 sobre quatro. Estes são os quatro pontos de interseção apresentados no gráfico. Limpando um pouco o espaço e reescrevendo as nossas quatro soluções para 𝜃, agora podemos calcular os valores de 𝑥. Como 𝜃 é igual a dois 𝑥 mais 𝜋 sobre cinco, dois 𝑥 é igual a 𝜃 menos 𝜋 sobre cinco. Dividindo por dois, temos 𝑥 igual a 𝜃 sobre dois menos 𝜋 sobre 10.

Agora podemos substituir cada um dos nossos valores de 𝜃 nesta equação. Isto dá-nos quatro valores de 𝑥 iguais a 11𝜋 sobre 40, 31𝜋 sobre 40, 51𝜋 sobre 40 e 71𝜋 sobre 40. Este é o conjunto de valores que satisfaz a equação tan de dois 𝑥 mais 𝜋 sobre cinco igual a um menos, onde 𝑥 está entre zero e dois 𝜋 inclusive.

Como fizemos para as funções seno e cosseno, agora podemos indicar as soluções gerais para equações que envolvem a função tangente. Quando 𝜃 é medido em graus, as soluções são 𝜃 igual a 𝜃 índice um mais 180𝑛 onde 𝑛 é um número inteiro. E se 𝜃 for medido em radianos, temos 𝜃 igual a 𝜃 índice um mais 𝑛𝜋 onde, mais uma vez, 𝑛 é um número inteiro.

Neste vídeo, consideramos apenas as funções trigonométricas padrão seno, cosseno e tangente. Embora não os abordemos aqui, é importante entender que o processo é válido para as funções recíprocas cossecante, secante e cotangente.

Vamos agora recapitular os pontos principais deste vídeo. Podemos resolver equações trigonométricas simples utilizando tabelas de valores exatos ou as funções trigonométricas inversas. Para nos ajudar a calcular todas as soluções para uma determinada equação num intervalo específico, podemos desenhar o gráfico da função trigonométrica necessária ou utilizar o círculo trigonométrico. A simetria e a periodicidade das funções seno, cosseno e tangente permitem-nos calcular outras soluções para equações trigonométricas ou soluções gerais que envolvem múltiplos inteiros de 360 graus ou dois 𝜋 radianos para seno e cosseno e 180 graus ou 𝜋 radianos para tangente.

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