Vídeo: Simplificando Expressões Trigonométricas Utilizando Identidades de Ângulo Duplo

Simplifique sen (𝑥 + 𝑦) cos 𝑦 − cos (𝑥 + 𝑦) sen 𝑦.

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Transcrição do vídeo

Simplifique sen 𝑥 mais 𝑦 vezes cos 𝑦 menos cos 𝑥 mais 𝑦 vezes sen 𝑦.

Para simplificar isso, usamos as identidades de soma de ângulo para sen e cos, que nos permitem escrever que sen 𝑥 mais 𝑦 e cos 𝑥 mais 𝑦 em termos de sen 𝑥, sen 𝑦, cos 𝑥 e cos 𝑦. Escrevemos a expressão que precisamos para simplificar novamente e reaplicar uma das identidades de soma dos ângulos para reescrever sen 𝑥 mais 𝑦, assim. E, claro, precisamos multiplicar isso por cos 𝑦 antes de subtrair o outro termo.

Agora podemos mudar nosso foco para o outro termo. Este termo envolve cos 𝑥 mais 𝑦, que podemos reescrever usando a outra identidade. E não devemos esquecer que precisamos multiplicar isso pelo sen 𝑦. Tendo aplicado as identidades, precisamos apenas expandir os parênteses. O primeiro termo que obtemos é sen 𝑥 cos ao quadrado 𝑦. Para isso, adicionamos cos 𝑥 sen 𝑦 cos 𝑦. Expandindo os outros parênteses, e lembrando que precisamos subtrair estes termos, obtemos menos cos 𝑥 cos 𝑦 sen 𝑦. E os dois menos formam um positivo sen 𝑥 sen ao quadrado 𝑦. Percebemos que os dois termos no meio são idênticos, separados da ordem de seus fatores, e assim eles se cancelam. E os dois termos que nos restam têm um fator comum de sen 𝑥, que vamos eliminar. Tirando esse fator, temos o sen 𝑥 vezes cos ao quadrado 𝑦 mais sen ao quadrado 𝑦 e cos ao quadrado algo mais o sen ao quadrado algo, que é obviamente o mesmo que sen ao quadrado algo mais cos ao quadrado algo, é igual a um.

Portanto, nossa resposta final é sen 𝑥. Essa é uma maneira mais direta de responder à pergunta, mas há outro método divertido. Você pode saber que existe uma fórmula para o seno de uma diferença de dois ângulos, sen 𝐴 menos 𝐵. Se você não sabe, então você pode derivar da identidade da soma dos ângulos que temos na tela, definindo 𝑥 igual a 𝐴 e 𝑦 igual a menos 𝐵. E ainda usando os fatos que cos de menos 𝐵 é igual a cos de 𝐵 e sen de menos 𝐵 é igual a menos sen de 𝐵.

Tendo derivado isso, podemos compará-lo com a expressão que temos para simplificar e perceber que é muito semelhante. De fato, essa expressão que temos que simplificar é exatamente o lado direito dessa identidade, definindo 𝐴 igual a 𝑥 mais 𝑦 e 𝐵 igual a 𝑦. Substituindo os valores de 𝐴 e 𝐵 no lado esquerdo da nossa identidade e simplificando, obtemos o sen 𝑥.

Então, esse foi um método muito mais rápido para simplificar a expressão. No entanto, exigiu que reconhecêssemos uma identidade de diferença de ângulo ligeiramente disfarçada.

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