Vídeo: Encontrando a Equação de uma Curva Através de um Esboço

Qual das seguintes funções está representada na figura? [A] 𝑦 = −(𝑥 −7)³ [B] 𝑦 = (𝑥 + 7)³ [C] 𝑦 = −(𝑥 + 7)³ [D] 𝑦 = (𝑥 − 7)³ [E] 𝑦 = 𝑥³ + 7?

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Transcrição do vídeo

Qual das seguintes funções está representada na figura? É A) 𝑦 igual a menos 𝑥 menos sete ao cubo, B) 𝑦 igual a 𝑥 mais sete ao cubo, C) 𝑦 é igual a menos 𝑥 mais sete ao cubo, D) 𝑦 igual a 𝑥 menos sete ao cubo, ou E) 𝑦 igual a 𝑥 ao cubo mais sete?

A característica principal marcada em nosso gráfico é o 𝑥 interceptado em 𝑥 igual a sete. Se chamarmos isso de gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, então, quando 𝑥 for sete, 𝑦, que é 𝑓 de sete, é igual a zero. Podemos passar por nossas opções, eliminando aquelas para as quais 𝑓 de sete não é zero.

Então, começando com a opção A, 𝑦 é menos 𝑥 menos sete ao cubo. Então, tentamos 𝑓 de 𝑥 é menos 𝑥 menos sete ao cubo. Substituindo 𝑥 por sete, percebemos que 𝑓 de sete é igual a menos sete menos sete ao cubo, que é apenas zero. Portanto, para a opção A, 𝑓 de sete é zero, conforme necessário. Claro, isso não significa que a opção A esteja certa. Significa apenas que não podemos descartar ela ainda.

Passamos para a opção B, onde 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 mais sete ao cubo. E assim 𝑓 de sete é sete mais sete ao cubo. Isso acaba sendo 2744. Esse valor exato não é importante. O importante é que 𝑓 de sete não é igual a zero como deveria. Por esse motivo, podemos eliminar a opção B como uma possibilidade.

É o mesmo para a opção C. A única diferença da opção B é esse sinal de menos. E colocando este sinal de menos nos cálculos do lado direito, vemos que, para a opção C, 𝑓 de sete é igual a menos 2744 e novamente não é zero. Podemos, portanto, eliminar também a opção C.

E sobre a opção D, onde 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 menos sete ao cubo? Pois bem 𝑓 de sete é sete menos sete ao cubo, o que é zero. E isso é o que precisamos para ser verdade. Então não podemos eliminar a opção D.

E finalmente, para a opção E, 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 ao cubo mais sete. E assim 𝑓 de sete é sete ao cubo mais sete, o que não é zero. A opção E também é eliminada. Como vimos no gráfico que 𝑓 de sete deve ser zero, poderíamos eliminar as opções B, C e E para as quais 𝑓 de sete não era zero.

Ficamos com duas opções: A) 𝑦 é negativo 𝑥 menos sete ao cubo e D) apenas 𝑦 é igual a 𝑥 menos sete ao cubo. Dado que 𝑓 de sete é zero e todas as opções eram funções polinomiais, não é surpreendente que ambas as funções remanescentes sejam funções com fatores de 𝑥 menos sete. E não é surpresa ver que o expoente desse fator é três.

Se o expoente fosse um, teríamos algo que se parecesse muito com uma linha reta através da interceptação 𝑥 sete. E se o expoente fosse dois, teríamos uma curva que tocasse, mas não cruzasse o eixo 𝑥 na interceptação 𝑥 sete. Isso seria verdade para qualquer expoente par com a curva ficando cada vez menor e menor como uma parábola à medida que o expoente aumentasse.

O que vemos neste gráfico é algo como uma forma em S, que associamos a um cubo. Mas, na verdade, você terá uma curva em forma muito similar para qualquer expoente ímpar maior que um.

De qualquer forma, os expoentes nas opções A e D são os mesmos. De fato, a única diferença entre as opções A e D é este sinal de menos aqui. Então, teremos que usar esse sinal de menos para decidir entre essas duas opções.

Olhando para o nosso gráfico, podemos ver que se 𝑥 um é menor ou igual a 𝑥 dois, então 𝑓 de 𝑥 um é menor ou igual a 𝑓 de 𝑥 dois. Esta é a definição de uma função crescente. À medida que 𝑥 aumenta, 𝑓 de 𝑥 aumenta. Isso é verdade para a função na primeira opção?

Vamos testar alguns valores, escolhendo 𝑥 um sendo sete e 𝑥 dois sendo oito. Então, certamente, 𝑥 um é menor que ou igual a 𝑥 dois. Nós já sabemos para esta opção que 𝑓 de sete é zero. Substituindo 𝑥 por oito e depois simplificando, vemos que 𝑓 de oito é menos um. 𝑓 de sete, portanto, não é menor que ou igual a 𝑓 de oito. E assim a função na opção A não é crescente. Portanto, eliminamos a opção A e ficamos com apenas a opção D.

Outra maneira de ver por que devemos eliminar a opção A é olhar para o gráfico e perguntar a si mesmo: Faz sentido que 𝑓 de oito seja igual a menos um? O gráfico é apenas um esboço. Então não podemos ler 𝑓 de oito. Mas podemos ver que, para valores de 𝑥 maiores que sete, parece que 𝑓 de 𝑥 é positivo. E menos um, certamente, não é positivo.

Tendo eliminado todas as outras opções, nossa resposta deve ser a opção D) 𝑦 é igual a 𝑥 menos sete ao cubo. Você pode verificar que, para esta opção, 𝑓 de oito é um, o que é muito mais razoável. Certamente, é maior que zero. E você também pode verificar se essa função é uma função crescente. À medida que 𝑥 aumenta, 𝑥 menos sete aumenta. E como 𝑥 menos sete aumenta, 𝑥 menos sete ao cubo aumenta.

Se você souber sobre transformações de gráfico, saberá que o gráfico de 𝑦 é igual a 𝑥 menos sete ao cubo deve ser o gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 ao cubo transladado sete unidades à direita. E isso é realmente o que vemos na figura.

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