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Vídeo da aula: Calculando Funções Matemática • 9º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como calcular o valor (ou saída) de uma função usando sua equação ou gráfico.

15:47

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como calcular o valor ou a saída de uma função usando sua equação ou gráfico. Começaremos lembrando o que queremos dizer com função. E então vamos explicar como podemos calculá-las.

A notação de função mais popular é 𝑓 de 𝑥. A notação 𝑓 de 𝑥 é outra maneira de representar o valor 𝑦 em uma função tal que 𝑦 é igual a 𝑓 de 𝑥. Em vez de escrever 𝑦 igual a três 𝑥 mais sete, escreveremos 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 mais sete. O eixo 𝑦 pode ser rotulado como o eixo 𝑓 de 𝑥 ao representar graficamente a função. Rotular uma função dessa maneira evita confusão quando estamos lidando com várias funções.

Vamos agora ver como podemos calcular uma função. Para calcular uma função, substituímos a entrada ou o número dado pela variável da função, geralmente 𝑥. Por exemplo, vamos considerar que a função 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 mais sete. Se nos pedissem para calcular 𝑓 de quatro, quatro é a entrada. Nós substituímos isso na expressão. Nesse caso, temos três multiplicado por quatro mais sete. Isso é igual a 19, que é conhecido como saída. Quando a entrada para a função é quatro, a saída é 19. Isso pode ser escrito como um par ordenado ou coordenada quatro, 19, onde quatro é o valor 𝑥 e 19 é o valor 𝑓 de 𝑥 ou 𝑦.

Veremos agora algumas questões que envolvem o cálculo de funções.

Usando a função 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais três, calcule a saída correspondente para uma entrada de dois.

A saída de qualquer função nesse formato é o valor 𝑦. A entrada é o valor 𝑥. Precisamos substituir 𝑥 é igual a dois na função. Como 𝑦 é igual a 𝑥 ao quadrado mais três, quando 𝑥 é dois, 𝑦 é igual a dois ao quadrado mais três. Dois ao quadrado é igual a quatro. Então, 𝑦 é igual a quatro mais três. Como isso é igual a sete, a saída que corresponde a uma entrada de dois é sete.

Poderíamos escrever isso como um par ordenado com coordenadas dois, sete. O ponto com coordenadas dois, sete está na função quadrática 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais três. Ao lidar com funções, o 𝑦 é frequentemente substituído por 𝑓 de 𝑥. Eles são intercambiáveis e ambos correspondem à saída.

Nossa próxima pergunta envolve o preenchimento de uma tabela de valores para uma função.

Complete a tabela de valores para a função 𝑦 igual a três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥.

Nesta questão, recebemos uma função 𝑦 igual a três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 e cinco valores inteiros de 𝑥 de menos dois a dois. Para completar a tabela, precisamos substituir cada um desses valores na função. Vamos começar com dois positivo. Quando nosso valor de 𝑥 ou entrada é igual a dois, então nosso valor de 𝑦 ou saída será igual a três multiplicado por dois ao quadrado menos dois multiplicado por dois. Usando nossa ordem de operações, três multiplicado por dois ao quadrado é igual a 12. Precisamos elevar o dois ao quadrado e depois multiplicar por três. Dois multiplicado por dois são quatro. Então temos 12 menos quatro. Isso é igual a oito. Quando 𝑥 é igual a dois, 𝑦 é igual a oito.

Podemos repetir esse processo quando 𝑥 é igual a um. Três multiplicado por um ao quadrado são três e dois multiplicado por um são dois. Como três menos dois é igual a um, quando 𝑥 é igual a um, 𝑦 é igual a um.

Quando 𝑥 é igual a zero, 𝑦 é igual a três multiplicado por zero ao quadrado menos dois multiplicado por zero. Ambas as partes desse cálculo são iguais a zero. E zero menos zero é zero.

Agora precisamos considerar quando 𝑥 é negativo, que é um pouco mais complicado. O quadrado de um número negativo dá uma resposta positiva, pois multiplicar menos um por menos um é um positivo. Isso significa que três multiplicado por menos um ao quadrado é igual a três. Dois multiplicado por menos um é menos dois. Mas enquanto estamos subtraindo isso, ficamos com dois positivo. Três mais dois é igual a cinco. Então, quando 𝑥 é igual a menos um, 𝑦 é igual a cinco.

Três multiplicado por menos dois ao quadrado são 12, assim como menos dois ao quadrado são quatro. Como dois multiplicado por menos dois é menos quatro, precisamos adicionar quatro a 12. Mais uma vez, estamos subtraindo um número negativo. Isso dá uma saída ou valor de 𝑦 de 16 quando 𝑥 é menos dois.

Os cinco valores ausentes na tabela são 16, cinco, zero, um e oito. Poderíamos usar esses pares de coordenadas menos dois, 16; menos um, cinco; e assim por diante, para representar graficamente a função 𝑦 é igual a três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥. Como nossa função é quadrática e o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é positivo, teremos uma parábola em forma de U.

Em nossa próxima pergunta, precisaremos identificar qual ponto satisfaz uma determinada função.

Qual dos seguintes conjuntos de coordenadas está em 𝑓 de 𝑥 é igual a menos 19𝑥 menos 16? É (A) 10, menos 16; (B) 10, menos 206; (C) menos 206, 10; ou (D) menos 206, menos 16?

Estamos acostumados a que qualquer par de coordenadas seja escrito na forma 𝑥, 𝑦. A primeira coordenada é o valor 𝑥 e a segunda é o valor 𝑦. A função 𝑓 de 𝑥 é igual a menos 19𝑥 menos 16 é o mesmo que 𝑦 é igual a menos 19𝑥 menos 16. Como 𝑦 e 𝑓 de 𝑥 são intercambiáveis, podemos escrever o par de coordenadas como 𝑥, 𝑓 de 𝑥. O primeiro valor é conhecido como entrada e o segundo valor como saída.

Precisamos descobrir qual das quatro opções satisfaz a função. Percebemos que a opção (A) e a opção (B) têm uma entrada ou valor 𝑥 de 10. Isso significa que, para calcular a saída, precisamos calcular 𝑓 de 10. Substituindo em 𝑥 igual a 10 dá menos 19 multiplicado por 10 menos 16. Multiplicar um número negativo por um positivo dá uma resposta negativa. Portanto, menos 19 multiplicado por 10 são menos 190. Subtraindo 16 disso nos dá menos 206. Isso significa que o par de coordenadas 10, menos 206, está na função. Como a opção (A) era 10, menos 16, isso é incorreto. A opção (B), por outro lado, era 10, menos 206. Então esta é a resposta correta.

Poderíamos verificar se as opções (C) e (D) estão corretas substituindo menos 206 em 𝑥. 𝑓 de menos 206 é igual a menos 19 multiplicado por menos 206 menos 16. Podemos ver claramente que isso não satisfaz nenhuma das nossas opções, pois nosso valor é muito grande. Uma entrada de menos 206 dá uma saída de 3898. O par de coordenadas menos 206, 3898 encontra-se na função. Isso não corresponde à opção (C) ou (D). Então, ambos estão incorretos. A resposta correta é a opção (B).

Nosso próximo exemplo é uma questão de várias partes envolvendo o significado de uma função.

Dada a função 𝑓, o significado de 𝑓 de 𝑎 menos um é a saída quando a entrada é um a menos que 𝑎. Interprete o seguinte. 𝑓 de 𝑏 mais três, 𝑓 de 𝑠 menos três, 𝑓 de três menos 𝑥, 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎, 𝑓 de três 𝑡 e 𝑓 de 𝑎 elevado a 𝑏.

Antes de iniciar essa questão, vale lembrar o que queremos dizer com função 𝑓. Se tivermos qualquer função 𝑓 de 𝑥, então 𝑥 é a entrada e 𝑓 de 𝑥 é a saída. Um número dentro dos parênteses afeta a entrada, enquanto um número fora dos parênteses afeta a saída. Isso pode ser visto no exemplo, pois 𝑎 menos um significa um a menos que 𝑎.

Nossa primeira função, 𝑓 de 𝑏 mais três, é muito semelhante ao exemplo. Em vez de subtrair um de 𝑎, estamos adicionando três a 𝑏. Isso significa que 𝑓 de 𝑏 mais três calcula a saída quando a entrada é três a mais que 𝑏.

Nossa segunda função, 𝑓 de 𝑠 menos três, é um pouco diferente. Desta vez, o três que está sendo subtraído está fora dos parênteses. 𝑓 de 𝑠 será a saída quando a entrada for 𝑠. Portanto, 𝑓 de 𝑠 menos três é três a menos que a saída quando a entrada é 𝑠.

Nossa terceira função, 𝑓 de três menos 𝑥, é muito semelhante à primeira e também ao exemplo. Desta vez, nossa função nos dá a saída quando a entrada é 𝑥 menor que três. Estamos subtraindo 𝑥 de três e calculando a saída.

Nossa quarta função tem duas variáveis, 𝑏 e 𝑎. Temos 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎. Isso significa que estamos subtraindo o valor de 𝑓 de 𝑎 do valor de 𝑓 de 𝑏. Essa é a diferença entre eles. Portanto, a resposta corresponde à mudança na saída quando a entrada muda de 𝑎 para 𝑏.

A penúltima função é 𝑓 de três 𝑡. Estamos multiplicando nosso valor de 𝑡 por três. Esta é uma ideia semelhante mais uma vez à nossa primeira função, 𝑓 de 𝑏 mais três, e também à nossa terceira função, 𝑓 de três menos 𝑥. Desta vez, corresponde à saída quando a entrada é três vezes 𝑡.

Nossa função final envolve expoentes ou potências. Temos 𝑓 de 𝑎 elevado a 𝑏. Como o 𝑏 está fora dos parênteses, isso é o resultado de elevar a saída na entrada 𝑎 para a 𝑏-ésima potência. Se a potência 𝑏 estivesse dentro do parêntese, estaríamos elevando a entrada à 𝑏-ésima potência. Interpretar e frequentemente desenhar funções desse tipo é uma parte importante do tópico.

Nossa pergunta final envolve o cálculo de uma função de um gráfico.

Determine 𝑓 de um.

Podemos ver no gráfico que nossos eixos são rotulados 𝑥 e 𝑓 de 𝑥. Qualquer função escrita na forma 𝑓 de 𝑥 tem entrada 𝑥 e saída 𝑓 de 𝑥. Nesta questão, nosso valor de 𝑥 ou nossa entrada é um. Precisamos encontrar o valor de 𝑓 de 𝑥 no gráfico quando 𝑥 é igual a um. Fazemos isso desenhando uma linha vertical de um no eixo 𝑥. Assim que alcançamos nosso gráfico, desenhamos uma reta horizontal até o eixo 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥. Isso é igual a oito. Portanto, o valor de 𝑓 de um é oito. Poderíamos calcular o valor de 𝑓 de menos dois até 𝑓 de oito usando este gráfico.

Vamos agora terminar este vídeo resumindo os pontos principais. Como mencionado no início do vídeo, a notação 𝑓 de 𝑥 é outra maneira de representar o valor 𝑦 de uma função tal que 𝑦 seja igual a 𝑓 de 𝑥. Se considerarmos que a função 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco 𝑥 menos dois, então nosso valor de 𝑥 é a entrada. O valor de cinco 𝑥 menos dois é o valor de saída. Para calcular uma função, substituímos a entrada pela variável da função. Por exemplo, para calcular 𝑓 de três, substituímos três por 𝑥. Cinco multiplicado por três menos dois são 13. Portanto, a entrada de três dá uma saída de 13.

Vimos neste vídeo que podemos calcular uma saída usando equações, às vezes na forma de uma tabela ou, alternativamente, a partir de gráficos.

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