Transcrição do vídeo
Neste vídeo, aprenderemos como resolver problemas envolvendo aplicações do mundo real de progressões aritméticas. Veremos como encontrar a diferença comum, a fórmula explícita para o 𝑛-ésimo termo e a ordem ou valor de um termo específico em uma progressão aritmética.
Vamos começar lembrando o que é uma progressão aritmética. Bem, é uma lista ordenada de termos em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Por exemplo, a tabuada do quatro, quatro, 8, 12, 16 e assim por diante, é um exemplo de uma progressão aritmética porque a diferença entre cada par de termos consecutivos é quatro. Chamamos essa diferença de diferença comum e a representamos usando a letra 𝑑. Muitas vezes usamos a letra 𝑎 para representar o primeiro termo na progressão e temos uma fórmula para calcular o 𝑛-ésimo termo 𝑎 sub 𝑛, o 𝑛-ésimo termo, é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑.
Isso nos diz que, para calcular qualquer termo subsequente na progressão, podemos pegar o primeiro termo e adicionar 𝑛 menos um vezes a diferença comum 𝑑, o que faz sentido se pensarmos a respeito. Para encontrar o segundo termo, precisamos adicionar a diferença comum uma vez. Para encontrar o terceiro termo, temos que adicionar a diferença comum duas vezes, então estamos sempre adicionando uma vez a menos da diferença comum do que o número do termo. Também temos uma fórmula para calcular a soma dos primeiros 𝑛 termos em uma progressão aritmética. 𝑆 sub 𝑛 é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um 𝑑 onde, novamente, 𝑎 representa o primeiro termo na progressão e 𝑑 representa a diferença comum.
Então, esses são os fundamentos das progressões aritméticas com as quais já devemos estar familiarizados. Vamos agora ver como podemos aplicar esses resultados a alguns problemas do mundo real. Em nosso primeiro exemplo, veremos como podemos encontrar um termo específico em uma progressão aritmética que nos é apresentada como um problema contextualizado.
O plano de exercícios de Mason dura seis minutos no primeiro dia e aumenta em quatro minutos a cada dia. Por quanto tempo Mason se exercitará no 18º dia?
Podemos ver que Mason aumenta seu plano de exercícios na mesma quantidade de quatro minutos por dia. Isso significa que as vezes que Mason passa se exercitando diariamente formam uma progressão aritmética com uma diferença comum de quatro. Também nos é dito que Mason gasta seis minutos se exercitando no primeiro dia de seu plano, o que significa que o primeiro termo dessa progressão aritmética 𝑎 é igual a seis. Portanto, temos todas as informações de que precisamos para escrever quantos termos da progressão quisermos ou escrever a regra para o 𝑛-ésimo termo.
O primeiro termo nesta progressão é seis. O segundo termo é quatro a mais que isso, então são 10. O terceiro termo é quatro a mais que isso, então são 14. Poderíamos continuar dessa maneira, mas não é muito eficiente se precisarmos chegar ao 18º termo nesta progressão. Em vez disso, podemos usar a fórmula para o 𝑛-ésimo termo: 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Substituindo seis por 𝑎, o primeiro termo, e quatro por 𝑑, a diferença comum, temos 𝑎 sub 𝑛 é igual a seis mais quatro multiplicado por 𝑛 menos um.
Poderíamos simplificar isso algebricamente, ou para encontrar o 18º termo, poderíamos ir direto para a substituição de 𝑛 igual a 18. 𝑎 sub 18 é igual a seis mais quatro multiplicado por 18 menos um. Temos seis mais quatro multiplicados por 17. Quatro multiplicado por 17 são 68. E adicionar seis dá 74. Lembre-se de que os termos da progressão são tempos em minutos. Então, descobrimos que o 18º termo dessa progressão ou o tempo que o Mason gasta se exercitando no 18º dia é de 74 minutos.
Portanto, neste exemplo, vimos como calcular um termo específico em uma progressão aritmética. Em nosso próximo exemplo, veremos como podemos calcular a ordem ou o número do termo de um termo específico, novamente a partir de um problema formulado.
Olivia está treinando para uma corrida de 10 quilômetros. Em cada dia de treinamento, ela corre 0,5 quilômetros a mais que no dia anterior. Se ela completar quatro quilômetros no quarto dia, em que dia ela completará 10 quilômetros?
Vamos examinar atentamente as informações que recebemos. Somos informados de que em cada dia de treinamento, Olivia corre 0,5 ou meio quilômetro a mais que no dia anterior. Isso significa que as distâncias percorridas por Olivia a cada dia formam uma progressão aritmética com uma diferença comum 𝑑 de 0,5. Não sabemos até onde Olivia correu no primeiro dia. Mas sabemos que ela corre quatro quilômetros no quarto dia. Podemos, portanto, usar a fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética 𝑎 sub 𝑛 igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um 𝑑 para formar uma equação. Temos quatro é igual a 𝑎 mais 0,5 multiplicado por quatro menos um. Isso simplifica para quatro é igual a 𝑎 mais 1,5. E podemos resolver essa equação para 𝑎 subtraindo 1,5 de cada lado.
Fazendo isso, temos 𝑎 igual a 2.5. Então, agora sabemos que Olivia correu 2,5 quilômetros no primeiro dia de seu treinamento. O que nos perguntam, porém, é em que dia ela completará 10 quilômetros? Então, qual termo na progressão ou qual valor de 𝑛 fornece um termo igual a 10? Podemos, portanto, substituir 𝑎 igual a 2,5, 𝑑 igual a 0,5 e 𝑎 𝑛 igual a 10 para nos dar uma equação que podemos resolver para encontrar o valor de 𝑛. Distribuindo os parênteses, temos 2,5 mais 0,5𝑛 menos 0,5 é igual a 10. E então o lado esquerdo simplifica para dois mais 0,5𝑛 é igual a 10. Podemos subtrair dois de cada lado para dar 0,5𝑛 é igual a oito e depois multiplicar cada lado da nossa equação por dois para dar 𝑛 é igual a 16. Portanto, o número do termo ou a ordem do termo que é igual a 10 é 16. E assim sabemos que Olivia completará 10 quilômetros no 16º dia de seu plano de treinamento.
Obviamente, a outra maneira de responder a essa pergunta depois de calcularmos o valor de 𝑎 seria listar todos os termos da progressão adicionando 0,5 a cada vez: 2,5, três, 3,5, quatro. Mas levaria muito tempo para chegar ao 16º termo, então é mais eficiente usar o primeiro método. Em ambos os casos, nossa resposta para o problema é 16.
Em nosso próximo exemplo, veremos como calcular um termo específico em uma progressão aritmética quando tivermos algumas informações sobre dois dos outros termos.
O salário anual de Amelia aumenta na mesma quantidade todos os anos. Em seu quarto ano de trabalho, ela ganhou 24000 dólares. Em seu 10º ano, ela ganhou 36000 dólares. Quanto ela ganhará em seu 20º ano?
Se o salário anual de Amelia aumentar na mesma proporção todos os anos, seus salários anuais formarão uma progressão aritmética. Podemos, portanto, expressar o termo geral nesta progressão usando a regra 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um 𝑑 onde 𝑎 representa o primeiro termo na progressão, então o salário de Amélia em seu primeiro ano e 𝑑 representa a diferença comum. Esse é o aumento anual. Não sabemos nenhum desses valores, mas em vez disso recebemos algumas informações sobre o salário de Amélia no quarto e no décimo ano. Podemos usar essas informações para formar algumas equações. No quarto ano, ela ganhou 24000 dólares. Portanto, temos a equação 24000 igual a 𝑎 mais quatro menos um 𝑑 ou mais simplesmente 𝑎 mais três 𝑑.
Também nos é dito que no 10º ano, ela ganhou 36000 dólares. Portanto, também temos a equação 36000 igual a 𝑎 mais 10 menos um 𝑑 ou 𝑎 mais 9𝑑. O que temos agora é um sistema de equações lineares com duas incógnitas, 𝑎 e 𝑑. E assim podemos resolver essas duas equações simultaneamente. Ao subtrair a equação um da equação dois, os termos 𝑎 serão cancelados e ficamos com 12000 é igual a 6𝑑. Dividindo por seis, encontramos a diferença comum para essa progressão. 𝑑 é igual a 2000. Então esse é o aumento anual de salário de Amelia.
Para encontrar o valor de 𝑎, podemos substituir 𝑑 igual a 2000 em qualquer uma das duas equações. Eu escolhi a equação um, dando 24000 é igual a 𝑎 mais três multiplicado por 2000. Subtraindo 6000, são três multiplicados por 2000, de cada lado, e temos o valor de 𝑎. 𝑎 é igual a 18000. Então esse era o salário de Amelia no primeiro ano de seu trabalho. O que nos pedem para descobrir, porém, é o que Amelia ganhará em seu 20º ano. Então, precisamos encontrar o 20º termo dessa progressão. Podemos fazer isso substituindo os valores de 𝑎 e 𝑑 e o valor de 𝑛 é igual a 20 em nossa fórmula do termo geral. Nós temos 𝑎 sub 20 é igual a 18000 mais 19. Isso é 20 menos um multiplicado por 2000. São 18000 mais 38000, que são 56000. Descobrimos então que no 20º ano de seu trabalho, Amelia ganhará 56000 dólares assumindo que ela continue a receber o mesmo aumento salarial de 2000 dólares a cada ano.
Então, vimos alguns exemplos de como podemos calcular um termo específico ou a ordem de um termo em uma progressão aritmética. Em nosso próximo exemplo, praticaremos encontrar a soma dos termos em uma progressão aritmética que foi apresentada como um problema contextualizado.
Um corredor está se preparando para uma corrida de longa distância. Ele cobriu seis quilômetros no primeiro dia e depois aumentou a distância em 0,5 quilômetro todos os dias. Encontre a distância total que ele percorreu em 14 dias.
À medida que a distância percorrida aumenta na mesma proporção todos os dias, essas distâncias formam uma progressão aritmética. A diferença comum para essa progressão é 0,5, e o primeiro termo 𝑎 é a distância percorrida no primeiro dia. São seis quilômetros. Para encontrar a distância total percorrida em 14 dias, precisamos encontrar a soma dos primeiros 14 termos nesta progressão. Lembramos então que a soma dos primeiros 𝑛 termos em uma progressão aritmética pode ser encontrada usando a fórmula 𝑆 sub 𝑛 é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um 𝑑. Podemos, portanto, substituir 14 por 𝑛, seis por 𝑎 e 0,5 por 𝑑, dando 𝑆 sub 14 é igual a 14 sobre dois multiplicado por duas vezes seis mais 0,5 multiplicado por 14 menos um.
Isso simplifica para sete multiplicado por 12 mais 0,5 multiplicado por 13. Continuamos indo dentro dos parênteses. Temos 12 mais 6,5, que são 18,5, e multiplicar por sete dá 129,5. Lembre-se, esta é uma distância e as unidades são quilômetros. Então, aplicando a fórmula para a soma dos primeiros 𝑛 termos em uma progressão aritmética, descobrimos que a distância total coberta por este corredor em 14 dias é de 129,5 quilômetros.
Em nosso exemplo final, veremos como podemos encontrar a regra do 𝑛-ésimo termo para uma progressão aritmética que mais uma vez será apresentada como um problema contextualizado.
Emma começou um plano de exercícios para melhorar seu condicionamento. Ela se exercitou por 14 minutos no primeiro dia e aumentou a duração de seu plano de exercícios em seis minutos a cada dia subsequente. Encontre, em termos de 𝑛, o 𝑛-ésimo termo da progressão que representa o número de minutos que Emma gasta se exercitando a cada dia. Suponha que 𝑛 seja igual a um é o primeiro dia do plano de Emma.
Somos informados neste problema que Emma aumentou seu exercício na mesma quantidade todos os dias, o que significa que o tempo gasto se exercitando forma uma progressão aritmética com uma diferença comum de seis. Também nos é dito que Emma se exercitou por 14 minutos no primeiro dia de seu plano, o que significa que o primeiro termo da progressão é 14. Somos solicitados a encontrar em termos de 𝑛 o 𝑛-ésimo termo dessa progressão, portanto, precisamos nos lembrar da fórmula geral para o 𝑛-ésimo termo de uma progressão aritmética. É o seguinte: 𝑎 sub 𝑛, o 𝑛-ésimo termo, é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um 𝑑, onde 𝑎 representa o primeiro termo e 𝑑 representa a diferença comum.
Podemos, portanto, substituir os valores de 𝑎 e 𝑑, que nos foram dados na pergunta para encontrar nosso termo geral. É 𝑎 sub 𝑛 é igual a 14 mais seis multiplicado por 𝑛 menos um. Agora é comum simplificar algebricamente. Então vamos distribuir os parênteses. Temos 14 mais seis 𝑛 menos seis, o que simplifica para seis 𝑛 mais oito. E é comum dar o termo geral de uma progressão aritmética nesta forma, algum múltiplo de 𝑛 mais uma constante. Observe também que essa diferença comum de seis é o coeficiente de 𝑛 em nosso termo geral e que sempre será o caso para uma progressão aritmética. Encontramos o 𝑛-ésimo termo dessa progressão. São seis 𝑛 mais oito. E substituindo qualquer valor de 𝑛, podemos calcular qualquer termo nesta progressão.
Vamos agora revisar alguns dos principais pontos que abordamos neste vídeo. Em primeiro lugar, nos lembramos que em uma progressão aritmética, a diferença entre os termos consecutivos é constante e chamamos isso de diferença comum e a representamos usando a letra 𝑑. O primeiro termo de uma progressão aritmética é geralmente denotado pela letra 𝑎 embora também possa ser denotado como 𝑎 subscrito um. Em seguida, denotamos os termos subsequentes da mesma maneira: 𝑎 sub dois, 𝑎 sub três e assim por diante. Temos uma fórmula para calcular o 𝑛-ésimo termo em uma progressão aritmética usando o primeiro termo, a diferença comum e o número do termo. 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑.
Também temos uma fórmula para calcular a soma dos primeiros 𝑛 termos em uma progressão aritmética: 𝑆 sub 𝑛 é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um 𝑑. Neste vídeo, vimos especificamente como podemos aplicar esses resultados a problemas contextualizados. Devemos garantir que lemos a pergunta com cuidado, identificamos as informações importantes e, em seguida, formamos quaisquer equações. Podemos então resolver essas equações para encontrar o termo geral, um termo específico, a ordem de um termo ou a soma dos primeiros 𝑛 termos em qualquer progressão aritmética.
