Vídeo: Utilizando Propriedades do Triângulo de 45-45-90 Graus

Aprenda os valores exatos da razão seno, cosseno e tangente do ângulo de 45°. Aplique estes valores exatos ao cálculo dos comprimentos dos lados de triângulos retângulos com ângulos de 45°.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como as três razões trigonométricas seno, cosseno e tangente podem ser expressas exatamente na forma de irracionais para um ângulo de 45 graus. Também veremos como aplicar estas razão nalguns problemas.

Vamos começar então com um triângulo retângulo. E é um tipo especial de triângulo retângulo porque é isósceles. Então os dois lados menores têm o mesmo comprimento. E, para facilitar, diremos que são de uma unidade. Agora, porque é isósceles, isso também significa que os outros dois ângulos neste triângulo retângulo devem ser iguais. Já utilizámos 90 graus para o ângulo reto, então os 90 graus restantes precisam de ser divididos ao meio. E, portanto, os outros dois ângulos são de 45 graus cada.

Então, temos o que é chamado de triângulo de 45-45-90 graus. Agora também podemos calcular o comprimento do terceiro lado deste triângulo utilizando o teorema de Pitágoras. Lembre-se, o teorema de Pitágoras diz-nos que, se pegar nos dois catetos de um triângulo retângulo, se os colocar ao quadrado e os adicionar, obteremos o mesmo resultado como se tivéssemos o maior lado do quadrado. Então, se der ao lado mais comprido, a hipotenusa, uma letra 𝑥, então o teorema de Pitágoras diz-me que 𝑥 ao quadrado é igual a um ao quadrado mais um ao quadrado.

Eu tenho então que 𝑥 ao quadrado é igual a dois. E então, pela raiz quadrado, vejo que o valor exato deste lado 𝑥 é raiz de duas unidades. Então, tenho o comprimento de todos os três lados deste triângulo. Agora, o que eu quero fazer é calcular as razões de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45 graus. Por simplicidade, vou utilizar este ângulo aqui. E quero identificar os três lados deste triângulo com os seus nomes em relação a este ângulo de 45 graus. Então, tenho o oposto, o adjacente e a hipotenusa.

Agora vou escrever as três razões trigonométricas. O seno, antes de mais, o seno, recordar que é igual ao oposto dividido pela hipotenusa. Então, utilizando os valores deste triângulo, tenho sen de 45 é igual a um sobre a raiz dois. Agora, não quero deixar assim, porque atualmente há um irracional no denominador. Então gostaria de racionaliza-lo multiplicando-o por raiz de dois sobre raiz de dois. Isso não altera o valor, claro, porque a raiz de dois sobre a raiz de dois é equivalente a um, mas dá-me um valor onde o denominador foi racionalizado.

E o valor que me dá é apenas a raiz de dois sobre dois. Assim, este é o valor exato do seno de 45 graus. Eu quero escrevê-lo utilizando um irracional em vez de um número decimal porque se eu convertesse para um número decimal, precisaria de arredondamento e, portanto, perderia um pouco da sua precisão.

Certo, agora vamos fazer a mesma coisa para o cos de 45. Então, cos, lembre-se, é o adjacente dividido pela hipotenusa. E olhando para o triângulo, posso ver que vai ser ua sobre a raiz de dois novamente. Como antes, eu racionalizaria este valor. Pelo que cos de 45 também é igual a raiz de dois sobre dois. Finalmente, quero olhar para a razão tangente. Tan lembrar que é o oposto dividido pelo adjacente. Então, olhando para o triângulo, este é um dividido por um porque, lembre-se, este era um triângulo isósceles. E, portanto, isto simplifica para um. Então o valor exato de tan 45 é um.

Então, por que estes valores são importantes? Bem, como eu já disse, estes são valores exatos em termos de irracionais, ao passo que se eu fosse converter em números decimais, precisariam de ser arredondados de alguma forma. Então, trabalhar com um ângulo de 45 graus permite-me dar valores exatos às minhas respostas. Em segundo lugar, se eu puder lembrar-me destes valores e aprendê-los de memória, então posso fazer trigonometria quando não tenho uma calculadora, se tenho um ângulo de 45 graus dentro da questão. Assim, precisa de aprender estes valores e precisa de ser capaz de lembrá-los. Agora, veremos como aplicar isto nalguns problemas.

Este problema é um problema contextualizado. Diz-nos que um escadote de oito metros inclina-se contra uma parede. Pedem-mos para determinar o comprimento horizontal da base do escadote à parede, dado que o ângulo entre o escadote e o solo é de 45 graus.

Então, não nos foi dado um diagrama para este problema. E eu sugiro sempre que o seu primeiro passo seja desenhar o seu. Então, começaremos com um diagrama de um escadote, uma parede e o chão. Então o escadote, a parede e o chão formam um triângulo retângulo. E disseram-nos que o escadote tem oito metros de comprimento, então eu coloquei isto. E disseram-nos que o ângulo entre o escadote e o chão é de 45 graus. Então, o meu diagrama fica assim.

O comprimento que estou à procura é a distância horizontal entre a base do escadote e a parede, então dei a letra 𝑥. Agora tenho o meu diagrama. O próximo passo será identificar os três lados deste triângulo em relação ao seu ângulo de 45 graus. E fazendo isso, tenho o oposto, o adjacente e a hipotenusa. Agora, isto mostra-me que é a razão cosseno que eu vou precisar porque eu quero trabalhar com o adjacente e dão-me a hipotenusa Então A e H aparecem juntos na razão cosseno, a parte CAH de SOHCAHTOA.

A definição da razão cosseno, lembre-se, é cos do ângulo 𝜃 igual ao adjacente dividido pela hipotenusa. Portanto, olhando para este triângulo, vou escrever a razão cosseno utilizando as informações desta questão. Eu tenho então que cos de 45 é igual a 𝑥 mais de oito. Esta é uma equação que eu quero resolver para calcular o valor de 𝑥. Então, 𝑥 está atualmente dividido por oito, o que significa que eu preciso de multiplicar ambos os lados desta equação por oito. E isso dá-me que 𝑥 é igual a oito cos 45.

Agora, é aqui que a amplitude do ângulo é importante. 45 graus é um destes ângulos especiais para os quais precisamos de saber os valores exatos das razões seno, cosseno e tangente. Cos de 45 pode ser escrito exatamente em termos de irracionais. E se se lembrar, cos de 45 é igual a raiz dois sobre dois. É perfeitamente possível que lhe possa ser feita esta questão ou outra numa situação em que não tenha acesso a uma calculadora, porque precisa de se lembrar do valor de cos de 45.

Então, lembrámo-nos aqui. E agora podemos apenas substituir esse valor diretamente no nosso cálculo. Temos que 𝑥 é igual a oito multiplicado pela raiz dois sobre dois. E a seguir isto simplifica para quatro raiz de dois. Então, a nossa resposta para a questão, com as unidades incluídas, é que a distância entre a base do escadote e a parede é de quatro raiz de dois metros. E este é o valor exato. Não utilizámos uma calculadora em nenhum momento para aproximá-lo.

Assim, dentro desta questão, identificámos a necessidade da razão cosseno porque era o lado adjacente e o lado da hipotenusa que estavam envolvidos. E, em seguida, porque era um ângulo de 45 graus, lembrámo-nos do valor exato da razão cosseno por 45 graus em termos de um irracional e utilizado um valor exato pelo nosso trabalho fora.

Nesta questão, temos um diagrama de um triângulo retângulo e somos solicitados a calcular o comprimento de 𝐴𝐵.

Agora, olhando para o diagrama, podemos ver que temos um comprimento. Podemos ver que a hipotenusa é de 10 centímetros. Mas não temos o comprimento de nenhum dos outros dois lados ou de qualquer um dos ângulos além do ângulo reto. Podemos, no entanto, elaborar algumas informações sobre este triângulo, porque estas duas retas nos lados 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 indicam que estes lados têm o mesmo comprimento. E, portanto, este é um triângulo isósceles.

Como é um triângulo isósceles, também podemos ver que as amplitudes dos outros dois ângulos devem ser de 45 graus, porque são metade dos 90 graus restantes. O que isso significa, então, é que temos um triângulo de 45-45-90 graus. E, portanto, podemos responder a este problema utilizando os valores trigonométricos exatos para um ângulo de 45 graus. Instantaneamente, também pode responder a este problema utilizando o teorema de Pitágoras, mas esta é uma abordagem alternativa.

Então, como vamos fazer isso utilizando trigonometria, vou começar por identificar os três lados deste triângulo em relação a um destes ângulos de 45 graus. E vou utilizar esse ângulo aqui. Então, em relação ao ângulo de 45 graus que marquei a verde, tenho o oposto, o adjacente e a hipotenusa. Agora, fazer isto permite-me ver que é a razão seno que vou utilizar porque quero calcular 𝐴𝐵, que é o oposto, e sei o comprimento da hipotenusa. Então O e H aparecem na razão seno.

Recordo a definição da razão seno. E agora gostaria de escrevê-la especificamente para este triângulo. Então, vou substituir o ângulo por 45, o oposto é desconhecido, e a hipotenusa é 10. Então, tenho que o sen de 45 é igual a 𝐴𝐵 sobre 10. Agora, quero resolver esta equação para calcular 𝐴𝐵. Então vou multiplicar ambos os membros da equação por 10. Ao fazer isso, tenho que 𝐴𝐵 é igual a 10 sen 45.

Agora, suponha que não tem uma calculadora para esta questão. 45 graus, lembre-se, é um daqueles ângulos notáveis para os quais precisamos de ser capazes de lembrar os valores exatos das razões seno, cosseno e tangente. E, de facto, se se lembra, o seno de 45 é igual a raiz de dois sobre dois. Então, posso lembrar-me deste valor exato, e a seguir posso simplesmente substituí-lo diretamente no meu cálculo de 𝐴𝐵. E tenho que 𝐴𝐵 é igual a 10 multiplicado pela raiz de dois sobre dois. E isso irá simplificar para cinco raiz de dois. Então, dentro desta questão, porque era capaz de expressar o sen 45 exatamente utilizando um irracional, também fui capaz de dar a minha resposta para 𝐴𝐵 na forma exata, cinco raiz de dois, em vez de um número decimal arredondado.

Em resumo, aprendemos os valores exatos das três razões trigonométricas — seno, cosseno e tangente — para um ângulo de 45 graus. Já vimos de onde vêm, começando com um triângulo retângulo isósceles, em que os dois lados mais curtos têm comprimento de uma unidade. Vimos então como aplicar essas razões em questões em que podemos dar uma resposta exata em termos de um irracional.

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