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Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a medida de um ângulo agudo entre duas linhas retas no plano de coordenadas. Para fazer isso, usamos uma fórmula envolvendo a tangente do ângulo entre as duas retas e as inclinações das duas retas. Isso significa que, dependendo da forma da reta, podemos ter que calcular suas inclinações. Então, vamos primeiro nos lembrar de algumas das formas mais familiares de uma linha reta. Nós a chamamos de forma geral de uma linha reta no plano de coordenadas. É 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais. Alternativamente, quando sabemos a inclinação 𝑚 e sua interceptação 𝑦 𝑏, podemos escrever a equação na forma reduzida. Isso é 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. Observe que na forma de coeficiente angular, a constante 𝑏 é a interceptação 𝑦, e isso não é o mesmo que o 𝑏 na forma geral.
Dada a inclinação 𝑚 de uma reta e o ponto 𝑥 zero, 𝑦 zero na reta, também podemos escrever a equação da reta na forma fundamental. Isso é 𝑦 menos 𝑦 zero é igual a 𝑚 vezes 𝑥 menos 𝑥 zero onde 𝑥 zero, 𝑦 zero são as coordenadas do ponto na reta. Agora, suponha que temos uma reta cuja inclinação 𝑚 é positiva. O ângulo 𝜃 medido no sentido anti-horário a partir da direção 𝑥 positiva é agudo. Isso está entre zero e 90 graus. Sabemos da forma fundamental que se tivermos dois pontos na reta 𝑃 e 𝑄, com coordenadas 𝑥 zero, 𝑦 zero e 𝑥 um, 𝑦 um, respectivamente, então a inclinação 𝑚 da reta é a razão da diferença em 𝑦 para a diferença em 𝑥.
E agora, se formarmos um triângulo retângulo com nossos dois pontos 𝑃, 𝑄 e um terceiro ponto 𝑅 no plano, temos 𝑦 um menos 𝑦 zero é 𝑄𝑅, 𝑥 um menos 𝑥 zero é 𝑃𝑅, e com relação a nosso ângulo 𝜃, 𝑄𝑅 é o lado oposto e 𝑃𝑅 é o lado adjacente, de modo que 𝑄𝑅 sobre 𝑃𝑅 é a tg do ângulo 𝜃. Nosso gradiente 𝑚 é, portanto, tg 𝜃. Um argumento semelhante nos diz que se o ângulo medido no sentido anti-horário da direção positiva do eixo 𝑥 para a reta é obtuso, isto é, 𝜃 está entre 90 graus em 180 graus, então a inclinação da reta passando pelos pontos 𝑃 e 𝑄 é 𝑚, que é igual a menos 𝑃𝑅 sobre 𝑄𝑅. E isso é menos tg 𝛼. E como menos tg de 𝛼 é igual ao tg de 𝜃, novamente temos 𝑚 igual a tg 𝜃.
Isso significa que, se nosso ângulo é agudo ou obtuso quando é medido no sentido anti-horário a partir da direção 𝑥 positiva, a inclinação dessa reta 𝑚 é igual à tangente do ângulo. Vale ressaltar que, embora possamos estender nosso método para os casos especiais de retas verticais e horizontais, não vamos cobrir isso neste vídeo. Nós simplesmente notamos que as retas horizontais têm uma inclinação 𝑚 igual a zero e um ângulo de zero grau, e as retas verticais têm uma inclinação indefinida e um ângulo de 90 graus.
Agora, suponha que temos duas retas no plano de coordenadas com inclinações 𝑚 um é igual a tg do ângulo 𝜃 um e 𝑚 dois é a tg do ângulo 𝜃 dois. Bem, sabemos que no exemplo mostrado, 𝜃 um é maior que 𝜃 dois e ambos os ângulos são agudos. E assumindo que as retas não são paralelas, isso é 𝑚 um não é igual a 𝑚 dois, então como os ângulos em um triângulo devem somar 180 graus, temos 𝜃 dois mais 𝛼 mais 180 menos 𝜃 um é 180. Agora, mudando o termo isolado da equação para 𝛼, 180 menos 180 é igual a zero nos dá 𝛼 é igual a 𝜃 um menos 𝜃 dois. E tomando a tangente em ambos os lados, temos tg 𝛼 é igual a tg 𝜃 um menos 𝜃 dois.
Podemos usar a fórmula de adição da tangente para dar tg 𝛼 é igual a tg 𝜃 um menos tg 𝜃 dois sobre um mais tg 𝜃 um tg 𝜃 dois. E isso é verdade para quaisquer duas retas, conforme descrito no diagrama. Dependendo da posição das retas e da localização do seu ponto de intersecção, a prova difere um pouco, mas agora podemos casar nossas inclinações 𝑚 um e 𝑚 dois com nossos ângulos 𝜃 um e 𝜃 dois, dando que o ângulo 𝛼 entre duas retas não paralelas no plano de coordenadas com inclinações 𝑚 um e 𝑚 dois, tal que 𝑚 um 𝑚 dois não é igual a menos um, é dado por tg 𝛼 é 𝑚 um menos 𝑚 dois dividido por um mais 𝑚 um 𝑚 dois.
Agora, lembrando que existem dois ângulos quando duas retas se cruzam, um obtuso e um agudo, nos referimos ao ângulo agudo menor como o ângulo. E lembre-se de que a tangente negativa corresponde ao maior ângulo obtuso. Então, para garantir que nossa tangente seja a tangente do ângulo agudo, o ângulo menor, tomamos o valor absoluto do nosso lado direito. Portanto, a tg de 𝛼 é o valor absoluto de 𝑚 um menos 𝑚 dois sobre um mais 𝑚 um multiplicado por 𝑚 dois. Agora vamos ver como isso funciona em um exemplo em que temos as inclinações de duas retas.
Determine, com precisão de segundo, a medida do ângulo entre duas retas com inclinações de cinco e um quarto.
Conhecendo as inclinações de nossas duas retas, ou seja, 𝑚 um é igual a cinco e 𝑚 dois é um quarto, podemos encontrar o ângulo agudo 𝛼 entre as retas usando a fórmula tg 𝛼 ou a tangente de 𝛼 é o valor absoluto de 𝑚 um menos 𝑚 dois sobre um mais 𝑚 um multiplicado por 𝑚 dois. No nosso caso, isso dá a tg de 𝛼 é o valor absoluto de cinco menos um sobre quatro, tudo dividido por um mais cinco vezes um sobre quatro. O lado direito calcula 19 dividido por nove. Então essa é a cor do nosso ângulo 𝛼. E agora pegando a tangente inversa em ambos os lados, temos 𝛼 é igual a tg inversa de 19 sobre nove. E a partir de nossas calculadoras, descobrimos para quatro casas decimais que 𝛼 é 64,6538 graus.
Somos solicitados a encontrar o ângulo para o segundo mais próximo. E para fazer isso, lembramos que existem 60 minutos em um grau e 60 segundos em um minuto. Começamos, portanto, multiplicando a parte decimal de nossos graus por 60, e isso dá quatro casas decimais 39,2294 minutos. Agora, multiplicando a parte decimal dos nossos minutos por 60 a quatro casas decimais, isso dá 13,7666 segundos, o que é aproximadamente 14 segundos. Então, para o segundo mais próximo, o ângulo entre nossas duas linhas retas é de 64 graus, 39 minutos e 14 segundos.
Neste exemplo, recebemos as inclinações das duas retas e, em nosso próximo exemplo, veremos como encontrar o ângulo entre duas retas no plano de coordenadas onde as retas são dadas de forma geral.
Encontre a medida do ângulo agudo entre as duas retas cujas equações são 11𝑥 mais 10𝑦 menos 28 é igual a zero e dois 𝑥 mais 𝑦 mais 15 é igual a zero para o mais próximo segundo.
Nós temos as equações para duas retas na forma geral. Isso é 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais. E para encontrar o ângulo agudo 𝛼 entre as duas retas, usaremos a fórmula tg 𝛼 é igual ao valor absoluto de 𝑚 um menos 𝑚 dois sobre um mais 𝑚 um multiplicado por 𝑚 dois, onde 𝑚 um e 𝑚 dois são as inclinações de nossas duas retas. E para uma reta na forma geral, sabemos que a inclinação é dada por 𝑚 igual a menos 𝑎 sobre 𝑏. Nossas retas são dadas por 𝐿 um, que é 11𝑥 mais 10𝑦 menos 28 é igual a zero, e 𝐿 dois, que é dois 𝑥 mais 𝑦 mais 15 é igual a zero. Isso significa que para a nossa reta 𝐿 um, 𝑎 é igual a 11, 𝑏 é igual a 10 e 𝑐 é menos 28. Isso significa que nossa inclinação 𝑚 um que é menos 𝑎 sobre 𝑏 é menos 11 sobre 10.
E agora aplicando o mesmo à nossa reta 𝐿 dois, onde neste caso 𝑎 é igual a dois, 𝑏 é igual a um positivo e 𝑐 é 15, de modo que nossa inclinação 𝑚 dois é igual a menos dois. E agora podemos substituir esses dois na fórmula da tangente do ângulo entre as duas retas. Agora simplificando nosso numerador e denominador, temos o valor absoluto de menos 11 sobre 10 mais dois dividido por um mais 22 sobre 10, e isso resulta em nove dividido por 32. E agora abrindo espaço, podemos pegar a tangente inversa de ambos os lados para encontrar o ângulo 𝛼; ou seja, 𝛼 é o inverso de nove sobre 32. E para quatro casas decimais em nossas calculadoras, isso é 15,7086 graus.
Somos solicitados a medir o ângulo até o segundo mais próximo. E para descobrir isso, lembramos que existem 60 minutos em um grau e 60 segundos em um minuto. Se multiplicarmos a parte decimal de nossos graus por 60, obtemos 42,5182 para quatro casas decimais, e isso é minutos. E agora, multiplicar a parte decimal dos nossos minutos por 60 nos dá 31,0961 segundos com quatro casas decimais. Isso é aproximadamente 31 segundos. A medida do ângulo agudo entre as duas retas até o segundo mais próximo é, portanto, 15 graus, 42 minutos e 31 segundos.
Neste exemplo, recebemos duas retas na forma geral e, antes do nosso próximo exemplo, vamos nos lembrar de algumas outras maneiras pelas quais as linhas retas podem ser expressas. Se tivermos uma reta passando pelo ponto 𝐴 com coordenadas 𝑎 um, 𝑎 dois na direção do vetor 𝐝 com componentes 𝑑 um, 𝑑 dois, então na forma vetorial da reta, cada valor único do parâmetro real 𝑡 fornece o vetor posição 𝐫 de um ponto na reta. A reta na forma paramétrica é dada por 𝑥 é 𝑎 um mais 𝑡𝑑 um e 𝑦 é 𝑎 dois mais 𝑡𝑑 dois. E na forma cartesiana, 𝑥 menos 𝑎 um sobre 𝑑 um é igual a 𝑦 menos 𝑎 dois sobre 𝑑 dois, onde 𝑑 um e 𝑑 dois são diferentes de zero.
Observe que, resolvendo cada uma das equações paramétricas para 𝑡 e equacionando, obtemos a forma cartesiana. E isso pode ser reorganizado para dar 𝑦 é igual a 𝑑 dois sobre 𝑑 um 𝑥 mais 𝑎 dois menos 𝑑 dois sobre 𝑑 um vezes 𝑎 um. E isso agora está na forma reduzida, onde nossa inclinação 𝑚 é 𝑑 dois sobre 𝑑 um. Isso significa que, dada uma reta em qualquer uma das formas mostradas e, em particular, seu vetor de direção, podemos encontrar sua inclinação, que é 𝑑 dois sobre 𝑑 um, desde que 𝑑 um seja diferente de zero. Em nosso próximo exemplo, usaremos isso para encontrar o ângulo entre duas retas cujas equações são dadas em formas vetoriais e paramétricas.
Encontre a medida do ângulo agudo entre as duas retas 𝐿 um e 𝐿 dois cujas equações são 𝐫 é dois, sete mais 𝐾 vezes menos um, oito e 𝑥 é igual a três mais 12𝑑, 𝑦 é quatro 𝑑 menos cinco, respectivamente, em termos de graus, minutos e segundos para o segundo mais próximo.
Para encontrar o ângulo agudo 𝛼 entre as duas retas no plano de coordenadas, vamos usar a fórmula a tg de 𝛼 é o valor absoluto de 𝑚 um menos 𝑚 dois dividido por um mais 𝑚 um multiplicado por 𝑚 dois. É aqui que 𝑚 um é a inclinação da reta 𝐿 um e 𝑚 dois é a inclinação da reta 𝐿 dois. E isso, é claro, significa que devemos encontrar as inclinações 𝑚 um e 𝑚 dois. A primeira de nossas retas 𝐿 um é dada na forma vetorial. Isso significa que qualquer ponto na reta 𝑥, 𝑦 passa pelo ponto 𝐴 com coordenadas 𝑎 um, 𝑎 dois na direção do vetor de direção com componentes 𝑑 um e 𝑑 dois para um valor único do parâmetro 𝑡. A inclinação da reta é dada por 𝑑 dois sobre 𝑑 um, onde 𝑑 um é diferente de zero.
Em nossa reta 𝐿 um, podemos ver que a constante 𝐾 corresponde ao parâmetro 𝑡 e que nosso vetor de direção 𝐝 tem componentes menos um e oito. Isso significa que 𝑑 um corresponde a menos um e 𝑑 dois é oito. Nossa inclinação 𝑚 um é, portanto, oito dividido por menos um, que é menos oito. Nossa segunda reta 𝐿 dois é dada na forma paramétrica. É aí que 𝑥 é igual a 𝑎 um mais 𝑡 vezes 𝑑 um e 𝑦 é 𝑎 dois mais 𝑡 vezes 𝑑 dois. E novamente nosso vetor de direção é 𝐝 com componentes 𝑑 um, 𝑑 dois, e nossa reta passa pelo ponto 𝐴 com coordenadas 𝑎 um, 𝑎 dois. Como antes, nossa inclinação é dada por 𝑑 dois sobre 𝑑 um.
Comparando nossa reta 𝐿 dois com a forma paramétrica, nossa constante 𝑑 corresponde ao parâmetro 𝑡 de modo que nosso vetor de direção tenha componentes 12, quatro. Nossa inclinação 𝑚 dois, que novamente é 𝑑 dois sobre 𝑑 um, é quatro sobre 12, ou seja, um sobre três. Agora podemos usar nossas duas inclinações, 𝑚 um é menos oito e 𝑚 dois é um sobre três, para encontrar a cor do nosso ângulo 𝛼. Isso resulta em menos 25 sobre três dividido por menos cinco sobre três. E isso se reduz a cinco. E agora tomando a tangente inversa em ambos os lados, temos 𝛼 é a tg inversa de cinco, que é de aproximadamente 78,6900 graus.
Nos é pedido o ângulo para o segundo mais próximo. E para descobrir isso, lembramos que existem 60 minutos em um grau e 60 segundos em um minuto. Para encontrar o número de minutos, multiplicamos a parte decimal do nosso resultado por 60, o que, para quatro casas decimais, nos dá 41,4040 minutos. E para encontrar o número de segundos, multiplicamos a parte decimal dos nossos minutos por 60 que, para quatro casas decimais, é 24,2430 segundos. Isso é aproximadamente 24 segundos. E criando um pequeno espaço, para o segundo mais próximo, o ângulo agudo entre as duas linhas retas 𝐿 um e 𝐿 dois é de 78 graus, 41 minutos e 24 segundos.
Vamos concluir este vídeo lembrando-nos de alguns dos pontos principais que abordamos. Dadas duas retas no plano de coordenadas com inclinações 𝑚 um e 𝑚 dois, para encontrar o ângulo agudo 𝛼 entre as duas retas, usamos a fórmula tg 𝛼 ou a tangente de 𝛼 é o valor absoluto de 𝑚 um menos 𝑚 dois dividido por um mais 𝑚 um multiplicado por 𝑚 dois. Se 𝑚 um multiplicado por 𝑚 dois for menos um, a expressão para tg 𝛼 é indefinida porque o denominador é igual a zero. Isso significa que as retas são perpendiculares, então o ângulo entre elas é de 90 graus. Nos referimos ao ângulo agudo entre duas retas no plano como o ângulo entre elas. E, finalmente, se as retas são paralelas, elas não se cruzam e, portanto, não há ângulo entre elas.
