Vídeo: A Braquistócrona, com Steven Strogatz

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

A Braquistócrona, com Steven Strogatz

16:01

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, estou fazendo algo um pouco diferente. Tive a chance de me sentar com Steven Strogatz e gravar uma conversa. Para aqueles que não sabem, Steve é ​​matemático em Cornell. Ele é autor de vários livros populares de matemática e colaborador frequente, entre outras coisas, do Radiolab e do The New York Times. Em poucas palavras, ele é um dos grandes comunicadores de matemática de nossos dias.

Em nossa conversa, conversamos sobre muitas coisas. Mas tudo estava centrado em torno desse problema muito famoso na história da matemática, a braquistócrona. E nos primeiros dois terços do vídeo, eu vou tocar parte dessa conversa. Apresentamos o problema, conversamos sobre parte de sua história e analisamos a solução de Johann Bernoulli do século XVII. Depois disso, mostrarei a prova de que Steve me mostrou. É por um matemático moderno, Mark Levi. E fornece uma certa visão geométrica da solução original de Johann Bernoulli. E no final, tenho um pequeno desafio para você.

Grant: Provavelmente devemos começar definindo o problema em si.

Steve: Ok, tudo bem, você quer que eu dê um tempo nisso?

Grant: Sim, vá em frente.

Steve: Ok, sim, então é essa palavra complicada, antes de tudo, braquistócrona, que vem de dois - caramba, eu tenho que verificar. Essas são palavras latinas ou gregas, eu acho?

Grant: tenho certeza de que elas são gregas.

Steve: Ok, então palavras gregas para “o menor tempo”. E refere-se a uma pergunta que foi feita por um dos irmãos Bernoulli, por Johann Bernoulli. Se você imaginar como uma rampa e houver uma partícula descendo por uma rampa, sendo puxada pela gravidade. Qual é o caminho da rampa que conecta dois pontos para que ela vá do ponto A ao ponto B no menor tempo possível?

Grant: Acho que o que mais gosto nesse problema é que é relativamente fácil descrever qualitativamente o que você está buscando. Você quer que o caminho seja curto, algo como uma linha reta. Mas você deseja que o objeto avance rapidamente, o que requer um início abrupto. E isso adiciona comprimento à sua reta. Mas tornar isso quantitativo e realmente encontrar o equilíbrio com uma curva específica? Não é nada óbvio e cria um problema realmente interessante.

Steve: Sim! É uma coisa realmente interessante. A maioria das pessoas, quando ouvem pela primeira vez, assume que o caminho mais curto dará o menor tempo, que a linha reta é a melhor. Mas — mas como você diz, pode ajudar a acumular algum vapor rolando direto para baixo no início, ou — ou não necessariamente rolando. Quero dizer, você pode imaginar isso deslizando. Isso realmente não importa, como dizemos. Mas Galileu já havia pensado nisso muito antes de Johann Bernoulli em 1638. E Galileu pensou que um arco de círculo seria a melhor coisa. Então ele teve a ideia de que um pouco de curvatura poderia ajudar.

Grant: E acontece que o arco do círculo não é a resposta certa. É bom, mas existem soluções melhores. E a história das soluções reais começa com Johann Bernoulli colocando isso como um desafio.

Steve: Então isso foi em junho de 1696. E ele colocou isso como um desafio realmente para o mundo matemático da época. Para ele, isso significava os matemáticos da Europa. E, em particular, ele estava muito preocupado em mostrar que era mais esperto que seu irmão, você sabe. Então ele tinha um irmão, Jacob. E os dois eram rivais bastante amargos, ambos tremendos matemáticos. Mas Johann Bernoulli imaginou-se o maior matemático de sua época, não apenas melhor que seu irmão. Mas, você sabe, acho que ele pensou que poderia ser melhor do que Leibniz, que estava vivo na época, e Isaac Newton, que na época era um homem velho. Quero dizer, mais ou menos aposentado de fazer matemática. Newton era o Diretor da Casa da Moeda, hoje em dia é como o secretário do tesouro.

Grant: E Newton aparece, certo? Ele fica acordado a noite toda e resolve o problema, apesar de Johann Bernoulli levar duas semanas para resolver.

Steve: Isso mesmo. Essa é a grande história, de que Newton mostrou o problema, não estava muito satisfeito em ser desafiado, especialmente por alguém que ele considerava abaixo dele. Quero dizer, ele considerou praticamente todo mundo abaixo dele. Mas, sim, Newton ficou acordado a noite toda, resolveu o problema e o enviou anonimamente para The Philosophical Transactions, o jornal da época. E foi publicado anonimamente. E, portanto, Newton reclamou em uma carta a um amigo dele. Ele disse: “Eu não gosto de ser ridicularizado e provocado por estrangeiros sobre coisas matemáticas”. Portanto, ele não gostou desse desafio, mas resolveu-o. A famosa lenda é que Johann Bernoulli, ao ver essa solução anônima, disse: “Reconheço o leão pela garra dele”. Não sei se isso é verdade, mas é uma ótima história. Todo mundo gosta de contar essa história.

Grant: E suspeito que parte da razão pela qual Johann estava tão ansioso para desafiar outros matemáticos como Newton é que ele secretamente sabia que sua própria solução era extraordinariamente inteligente. Talvez devêssemos começar a fazer o que ele faz.

Steve: Sim, ele imagina que, para resolver o problema, você deixa a luz cuidar dele. Como Fermat, no início dos anos 1600, havia mostrado que você podia - você poderia indicar a maneira como a luz viaja, saltando de um espelho ou refratando o ar para a água. Onde se dobra ou passa por uma lente. Todo o movimento da luz pode ser entendido dizendo-se que a luz segue o caminho que vai do ponto A ao ponto B no menor tempo possível.

Grant: Qual é uma perspectiva realmente incrível quando você pensa sobre isso. Porque geralmente você pensa muito localmente em termos do que acontece com uma partícula em cada ponto específico. Isso dá um passo atrás, olha para todos os caminhos possíveis e diz: a natureza escolhe o melhor.

Steve: Sim, é. É uma bela e — e, como você diz, realmente uma inspiradora mudança mental. Para algumas pessoas, literalmente, são inspiradoras no sentido de que tinham conotações religiosas, que de alguma forma a natureza está imbuída dessa propriedade de fazer a coisa mais eficiente.

Grant: Oh, interessante!

Steve: Mas, deixando isso de lado, você poderia dizer que é um fato empírico que é assim que a luz se comporta. E assim, a ideia de Johann Bernoulli era usar o princípio de Fermat por menos tempo. E digamos, vamos fingir que, em vez de uma partícula deslizando pela rampa, seria uma luz viajando através de meios com diferentes índices de refração. Significando que a luz iria a velocidades diferentes, como foi sucessivamente, descendo pela rampa.

Grant: E- e acho que antes de mergulharmos nesse caso, deveríamos olhar para algo mais simples onde ...

Então, neste ponto da conversa, conversamos um pouco sobre a lei de Snell. Este é um resultado da física que descreve como a luz se curva quando passa de um material para outro, onde sua velocidade muda. Fiz um vídeo separado disso, falando sobre como podemos prová-la usando o princípio de Fermat, juntamente com o argumento muito claro usando molas imaginárias de tensão constante. Mas, por enquanto, tudo que você precisa saber é a declaração da própria lei de Snell.

Quando um feixe de luz passa de um meio para outro, e você considera o ângulo que ele faz com uma reta perpendicular ao limite entre esses dois materiais. O seno desse ângulo dividido pela velocidade da luz permanece constante à medida que você se move de um meio para o outro. Então, o que Johann Bernoulli faz é encontrar uma maneira elegante de tirar proveito desse fato, esse fato de sen-de-𝜃-sobre-𝑣-permanece-constante, para o problema da braquistócrona.

Steve: Quando ele pensa no que está acontecendo com a partícula deslizando pela rampa. Ele percebe que, pela conservação da energia, a velocidade da partícula será proporcional à raiz quadrada da distância do topo.

Grant: E só para explicar um pouco mais, a perda de energia potencial é sua massa multiplicada pelas constantes gravitacionais 𝑦, a distância do topo. E quando você define isso igual à energia cinética, um meio vezes 𝑚𝑣 ao quadrado e reorganiza, a velocidade 𝑣 acabará sendo proporcional à raiz quadrada de 𝑦.

Steve: Sim, é isso que lhe dá a ideia sobre, vamos imaginar, vidro de muitas camadas diferentes, cada uma com uma característica de velocidade diferente para a luz. A velocidade no primeiro é 𝑣 um e o próximo é 𝑣 dois e o próximo é 𝑣 três. E tudo isso será proporcional à raiz quadrada de 𝑦 um ou 𝑦 dois ou 𝑦 três.

Grant: E, em princípio, você deve estar pensando em um processo limitador em que possui infinitas camadas infinitamente finas. E isso é uma espécie de mudança contínua para a velocidade da luz.

Steve: E então, sua pergunta é, se a luz sempre obedece instantaneamente à lei de Snell, que passa de um meio para o outro, de modo que 𝑣 sobre sen 𝜃 é sempre uma constante, conforme passo de uma camada para a próxima. Qual é o caminho em que essas retas tangentes sempre obedecem instantaneamente à lei de Snell?

Grant: E, para constar, provavelmente deveríamos declarar exatamente o que é essa propriedade.

Steve: Ok.

Grant: Então, a conclusão que Johann fez foi que, se você olhar para qualquer que seja a curva que minimiza o tempo e pegar qualquer ponto dessa curva. O seno do ângulo entre a reta tangente naquele ponto e a vertical dividido pela raiz quadrada da distância vertical entre esse ponto e o início da curva. Isso vai ser uma constante independentemente do ponto que você escolheu. E quando Johann Bernoulli viu isso pela primeira vez, me corrija se eu estiver errado, ele apenas a reconheceu como a equação diferencial para um cicloide, a forma rastreada pelo ponto na borda de uma roda rolante.

Mas não é óbvio, certamente não é óbvio para mim, porque essa propriedade de sen-de-𝜃-sobre-raiz-quadrada-𝑦 tem algo a ver com rodas rolantes.

Steve: Não é de todo óbvio, mas este é novamente o gênio de Mark Levi para o resgate.

Grant: Você quer dizer algumas palavras sobre Mark Levi?

Steve: Sim, bem, Mark Levi é um cara muito inteligente e muito legal que é meu amigo e um ótimo matemático da Penn State que escreveu um livro chamado Mecânico Matemático. Nos quais ele usa os princípios da mecânica e, mais geralmente, da física para resolver todos os tipos de problemas de matemática. Isso é mais do que matemática a serviço da ciência, é ciência a serviço da matemática. E como um exemplo do tipo de coisa inteligente que ele faz, ele publicou recentemente uma pequena nota, muito curta. Mostrando que se você olhar para a geometria de um cicloide, apenas desenhando as retas corretas nos lugares certos, que esse princípio de velocidade sobre sen 𝜃 sendo constante é - está embutido no movimento do próprio cicloide.

Então, nessa conversa, nunca conversamos sobre os detalhes da prova em si. É meio difícil de fazer sem recursos visuais. Mas acho que muitos de vocês gostam de ver a matemática e não apenas de falar sobre a matemática. É também um pequeno pedaço de geometria realmente elegante. Então, eu vou passar por isso aqui.

Imagine uma roda rolando no teto. E imagine um ponto 𝑃 na borda da roda. A primeira visão de Mark Levi foi que o ponto em que a roda toca o teto, que eu chamarei de 𝐶, atua como esse centro de rotação instantâneo para a trajetória de 𝑃. É como se, naquele momento, 𝑃 estivesse no final de um pêndulo cuja base está em 𝐶. Como a reta tangente de qualquer círculo é sempre perpendicular ao raio, a reta tangente do caminho cicloide de 𝑃 é perpendicular à reta 𝑃𝐶. Isso nos dá um ângulo reto dentro do círculo. E qualquer triângulo retângulo inscrito em um círculo deve ter o diâmetro como sua hipotenusa. Portanto, você pode concluir que a reta tangente sempre cruza a parte inferior do círculo. Agora, seja 𝜃 o ângulo entre esta reta tangente e a vertical. Temos um par de triângulos semelhantes, que mostrarei na tela.

Você pode ver que o comprimento de 𝑃𝐶 é o diâmetro vezes o sen de 𝜃. Usando o segundo triângulo semelhante, esse comprimento vezes o sen de 𝜃 indica novamente a distância entre 𝑃 e o teto. A distância que estávamos chamando 𝑦 anteriormente. Reorganizando isso, vemos que o sen de 𝜃 dividido pela raiz quadrada de 𝑦 é igual a um dividido pela raiz quadrada do diâmetro. Como o diâmetro de um círculo, é claro, permanece constante durante toda a rotação, isso implica que o sen de 𝜃 dividido pela raiz quadrada de 𝑦, é constante em um cicloide. E essa é exatamente a propriedade da lei de Snell que estamos procurando. Então, quando você combina a percepção de Johann Bernoulli com esta pequena prova de geometria, essa é a solução mais inteligente da braquistócrona que eu já vi.

E eu poderia chamá-la feita aqui. Mas, como toda a história desse problema começou com um desafio que Johann Bernoulli colocou, quero terminar as coisas com um pequeno desafio. Quando eu estava brincando com as equações de um cicloide, algo interessante surgiu. Considere um objeto deslizando pelo cicloide devido à gravidade. E pense sobre onde está ao longo da curva em função do tempo. Agora pense em como a curva é definida, como essa trajetória do ponto em uma borda de uma roda rolante. Como você pode ajustar a velocidade com que a roda gira para que, quando o objeto começar a deslizar, o ponto marcado na borda da roda sempre fique fixo nesse objeto deslizante?

Você começa a girar lentamente e aumenta sua velocidade? Se sim, de acordo com qual função? Acontece que a roda girará a uma taxa constante, o que é surpreendente. Isso significa que a gravidade o puxa ao longo do cicloide exatamente da mesma maneira que uma roda em rotação constante faria. A parte de aquecimento desse desafio é apenas, confirme isso por si mesmo. É meio divertido ver como isso cai fora das equações.

Mas isso me fez pensar. Se olharmos para o nosso problema original de braquistócrona, perguntando sobre o caminho de decência mais rápida entre dois pontos, talvez exista uma maneira inteligente de reformular nosso pensamento. Que tal se, em vez de descrever a trajetória de um objeto deslizante em termos de suas coordenadas 𝑥 e 𝑦, o descrevemos em termos do ângulo que o vetor de velocidade faz em função do tempo. Quero dizer, você pode imaginar definir uma curva fazendo com que um objeto comece a deslizar e depois gire uma saliência para determinar o ângulo em que ele desliza a cada momento, sempre sendo puxado pela gravidade.

Se você descreve o ângulo da saliência em função do tempo, na verdade está descrevendo exclusivamente uma curva. Você está basicamente usando uma equação diferencial, pois o que é dado é a inclinação em função de outro parâmetro. Nesse caso, tempo. Então, o que é interessante aqui é que, quando você olha para a solução do problema da braquistócrona, não no plano 𝑥𝑦, mas no plano 𝑡𝜃 - onde 𝑡 é o tempo, 𝜃 é o ângulo do caminho - todas as soluções de braquistócrona são retas. Ou seja, 𝜃 aumenta a uma taxa constante em relação a 𝑡. Quando a solução de um problema de minimização de curva é uma linha reta, é altamente sugestivo que haja alguma maneira de vê-lo como um problema de caminho mais curto.

Aqui, não é tão direto. Como as condições de contorno em que seu objeto começou no ponto A e terminou no ponto B no espaço 𝑥𝑦 não se parecem apenas com a passagem de um ponto para outro no espaço 𝑡𝜃. No entanto, meu desafio para você é esse. Você pode encontrar outra solução para o problema da braquistócrona explicando por que deve ser o caso de uma trajetória de minimização do tempo, quando representada no espaço 𝑡𝜃, parecer uma linha reta?

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