Vídeo: Introdução às Equações do Segundo Grau e Fazendo Corresponder as Equações aos Seus Gráficos

Uma introdução às equações do segundo grau e aos seus gráficos. Exploramos a forma geral da equação 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 e os efeitos da variação dos valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 na forma, posição e orientação do gráfico.

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Transcrição do vídeo

Nós vamos falar sobre equações do segundo grau. Esta é uma família de equações que tem muitas aplicações no mundo real. E veremos a forma da equação e alguns gráficos. E aprenderemos como podemos alterar diferentes aspetos da equação para ter efeitos diferentes no gráfico. Então, primeiro o que é uma equação do segundo grau? Bem, uma equação do segundo grau é uma equação com um termo 𝑥 ao quadrado, um termo 𝑥 e uma constante. E algumas pessoas chamam-na de “polinómios de ordem dois” porque a potência ou expoente mais alto de 𝑥 é dois 𝑥 ao quadrado.

Agora pode acontecer que o coeficiente do termo com 𝑥 ou do termo constante ou mesmo ambos sejam zero. E estes ainda contariam como equações do segundo grau. Portanto, 𝑦 igual a dois 𝑥 ao quadrado, 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais cinco, 𝑦 igual a quatro 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 são todos exemplos de equações do segundo grau. E as letras podem ser diferentes de 𝑥 ou 𝑦. Então, temos aqui 𝑠 igual a 𝑢𝑡 mais um meio 𝑎𝑡 quadrado; é uma expressão do segundo grau em 𝑡. 𝑒 é igual a um meio 𝑚𝑣 quadrado; é uma expressão do segundo grau em 𝑣. Mas não pode ter termos que tenham um expoente ou potência maior que dois, portanto, não há termos com 𝑥 ao cubo, por exemplo, expoentes fracionários, expoentes negativos; apenas um número constante, um múltiplo de 𝑥 e um múltiplo de 𝑥 ao quadrado. Portanto, estas duas equações aqui não são do segundo grau. Tem um termo 𝑥 ao quadrado, um termo 𝑥 e uma constante; então tudo bem. Mas tem um sobre 𝑥, então isto não é do segundo grau. Esta aqui tem um termo 𝑥 ao quadrado, tem um termo 𝑥, mas — e tem um número, mas tem esta raiz quadrada de 𝑥. Portanto, novamente não é do segundo grau. Só pode ter estas três coisas: um termo em 𝑥 ao quadrado, um termo em 𝑥 e uma constante. Agora sabemos o que é uma equação do segundo grau. Por que são chamadas do segundo grau? Poderá pensar que, com o termo quad, teria expoentes de quatro. Mas, na verdade, é baseado na palavra latina “quadratum”, que significa quadrado. Para calcular a área de um quadrado, multiplica o comprimento do lado por si mesmo; e obtém um termo ao quadrado. O que acha disto? Ainda é mais fácil do que dizer sempre o polinómio de ordem dois; é do segundo grau.

Portanto, temos equações do segundo grau com termos quadráticos, mas para que são utilizadas? Bem, quando lança uma bola, se ignorarmos o atrito e a resistência do ar, a trajetória que seguem pelo ar é aproximadamente quadrática. Se tentássemos analisar um asteroide arremessado em direção à Terra, utilizaríamos equações do segundo grau para modelar esta situação para fazer as nossas previsões sobre onde e quando atingiria o solo. O cálculo do comprimento de que um pêndulo necessita para levar um certo tempo a mover-se para trás e para frente utiliza uma fórmula do segundo grau. As formas de espelhos ou pratos nos telescópios refletores seguem curvas do segundo grau. A matemática que utilizamos para determinar a rapidez com que está no início de um plano inclinado antes de um acidente envolve equações do segundo grau. Para calcular a resistência líquida de um monte de resistências num circuito elétrico paralelo também é necessário equações do segundo grau. A determinação do tamanho ideal para a embalagem geralmente requer uma equação do segundo grau. Pode até utilizar equações do segundo grau para modelar o caminho das abelhas que voam da colmeia.

Ok, então percebe a mensagem. São realmente úteis e são realmente importantes. Então, vamos descobrir um pouco mais sobre as equações e como são os seus gráficos. Portanto, todas as equações do segundo grau têm gráficos com a forma de parábola como estas. Portanto, são curvas simétricas que apontam para cima ou para baixo, mas se estendem até infinito para qualquer sentido na direção O𝑥. Então, descem de menos infinito e sobem para mais infinito. Agora, este é um ponto muito importante a ser lembrado, pois pode não parecer o que vai acontecer quando estiver a esboçar estas coisas. Então, como está a tomar a sua coordenada em 𝑥 e a pô-la ao quadrado, esta pode ficar muito, muito grande. Portanto, a sua coordenada em 𝑦 aumenta muito mais rapidamente do que a sua coordenada em 𝑥.

Isto significa que se os seus eixos O𝑥 e O𝑦 tiver a mesma escala, então uma unidade nesta direção é igual a uma unidade nesta direção. Pode parecer que a sua parábola é tão fina, nunca vai chegar a mais infinito na direção O𝑥 ou a menos infinito na direção O𝑥, mas acredite em mim que realmente vai. Dizemos que a forma geral da equação do segundo grau é 𝑦 igual 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐. Agora, 𝑎 𝑏 e 𝑐 são apenas números e a alteração dos valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 afetará a forma, a orientação e a posição da parábola de um gráfico. Então, isto significa que 𝑦 é igual a um número de vezes 𝑥 ao quadrado mais um número diferente vezes 𝑥, mais um número diferente por si só. Assim, por exemplo, 𝑦 igual a cinco 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais sete é uma equação do segundo grau específica. E relacionando isto de volta à nossa forma geral, 𝑎 seria igual a cinco neste caso, 𝑏 seria igual a menos dois e 𝑐 seria igual a sete.

Outra equação do segundo grau pode ser 𝑦 igual a menos três 𝑥 ao quadrado mais nove. E neste caso 𝑎 seria menos três, 𝑏 seria zero — porque não temos termos em 𝑥; então é zero vezes 𝑥, mas normalmente não nos preocupamos em escrever isso — e 𝑐 seria igual a nove. Se tiver acesso a algum software gráfico, será uma ótima ideia fazer pausa no vídeo agora e tentar utilizar o software e esboçar gráficos e curvas do segundo grau. Tente valores diferentes para 𝑎 e 𝑏 e 𝑐 e veja qual o efeito que têm na forma da curva. Volte aqui quando terminar e eu vou falar sobre o que acho que deverá ter encontrado.

Então, eu vou estabelecer 𝑏 e 𝑐 zero. E vou brincar com valores diferentes de 𝑎 para ver qual o efeito que têm na curva. Primeiro, então 𝑎 é zero ponto um e 𝑏 é zero e 𝑐 é zero. É assim que a curva se parece. Bem, eu defini 𝑎 zero ponto cinco. É assim que a curva se parece. Agora, a esta escala, não parece que esta curva suba para mais infinito. Mas veja, posso colocar qualquer valor que eu goste para 𝑥 nesta equação e depois enquadrá-lo e reduzi-o a metade para obter a coordenada em 𝑦. Portanto, deve haver pontos na curva com as coordenadas em 𝑥 a ir para mais infinito ou menos infinito. Mas estarão no topo da página lá em cima, então temos que diminuir muito o zoom para ver onde estão esses pontos.

Agora 𝑎 é um. É assim que 𝑦 igual a um 𝑥 quadrado se parece. Quando 𝑎 é ​​igual a dois, 𝑦 é igual a dois 𝑥 ao quadrado. E é assim que a curva se parece. Quando 𝑎 é ​​igual a cinco, 𝑦 é igual a cinco 𝑥 ao quadrado. E é assim que a curva se parece. E quando 𝑎 é ​​igual a dez, 𝑦 é igual a dez 𝑥 ao quadrado. E é assim que a curva se parece. Então, o que pode ver é que, à medida que 𝑎 aumenta, multiplicamos a coordenada em 𝑦 por um número cada vez maior. Estamos a esticar esta curva nesta direção, na direção vertical. Portanto, a curva parece ficar mais fina e esticada no eixo O𝑦.

Mas veja o que acontece quando fazemos 𝑎 negativo. Então, temos 𝑎 é menos zero ponto um. Então, estamos a olhar para a curva 𝑦 igual a menos zero ponto um 𝑥 ao quadrado. Então, voltou a este tipo de curva mais gorda. Foi espalmada no eixo O𝑦. E agora, mas caiu abaixo do eixo O𝑥. Parece que este é um rosto triste, e não o tipo de carinha feliz que vimos antes. Agora 𝑎 é menos zero ponto cinco. Temos 𝑦 igual a menos zero ponto cinco 𝑥 ao quadrado. Ainda é como um rosto triste lá em baixo e ficou um pouco mais fino novamente. Agora temos 𝑎 igual a menos um. Ou seja, 𝑦 igual a menos um 𝑥 ao quadrado ou apenas menos 𝑥 ao quadrado. Então, novamente, a curva ficou um pouco mais fina, mas ainda parece o rosto triste. Quando 𝑎 é menos dois, fica mais fino ainda, 𝑎 é menos cinco, fica mais fino ainda, e quando 𝑎 é menos dez, é ainda mais fino.

Então, junte alguns gráficos na mesma página. Quando 𝑎 é ​​positivo, obtemos estes gráficos de carinhas felizes. E sabe que quando é positivo, é feliz; faz esta carinha sorridente. Então, até faz sentido. E à medida que 𝑎 se afasta do zero, torna-se cada vez mais positivo. O gráfico fica cada vez mais fino à medida que o esticamos no eixo O𝑦. E observando estes valores negativos de 𝑎, podemos dizer que, quando está negativo, fica um pouco triste; fica com uma cara triste. Assim até faz sentido que tenhamos estas curvas tristes do rosto. E quanto mais 𝑎 se afasta de zero — portanto, menos dez é um número negativo grande — mais fino este gráfico fica à medida que avançamos no eixo O𝑦. Portanto, o sinal do coeficiente 𝑥 quadrado diz-nos se será uma curva feliz ou triste. E o valor deste diz-nos o quão fina será a curva: se for perto de zero, será uma destas curvas largas aqui; se for um valor maior, será uma curva fina porque esticou no eixo O𝑦.

Certo, agora vamos mexer com o valor de 𝑐. Então, vamos começar com isso: 𝑦 é igual a zero ponto dois 𝑥 ao quadrado mais zero. Então 𝑐 é zero, 𝑏 é zero e 𝑎 é zero ponto dois. Agora mantivemos tudo igual, exceto que aumentamos 𝑐 para um. Então, temos 𝑦 igual a zero ponto dois 𝑥 ao quadrado mais um. É assim que o gráfico se parece. Aumentar 𝑐 para dois dá-nos isto e aumentar 𝑐 para três dá-nos isto. Agora, a única coisa diferente nestas curvas é onde interseta o eixo O𝑦. Quando 𝑐 é zero, interseta o eixo O𝑦 em zero, quando 𝑐 é um, interseta o eixo O𝑦 em um, quando 𝑐 é dois, interseta o eixo O𝑦 em dois e quando 𝑐 é três, interseta o eixo O𝑦 em três. Agora, isto faz sentido, porque se pensar no eixo O𝑦, todas as coordenadas terão uma coordenada em 𝑥 de zero.

E quando colocamos uma coordenada em 𝑥 de zero na nossa equação, zero ao quadrado é zero, então temos 𝑎 vezes zero que é zero, temos 𝑏 vezes zero que é zero. Então, no eixo O𝑦, quando 𝑥 é igual a zero, a coordenada em 𝑦 será a mesma que seja o valor de 𝑐, a constante no final da nossa equação do segundo grau. E apenas para confirmar isto. Fizemos o mesmo com 𝑐 é menos um, menos dois e menos três. Quando 𝑐 é menos um, interseta o eixo O𝑦 em menos um, e 𝑐 é menos dois, interseta o eixo O𝑦 em menos dois e quando 𝑐 é menos três, interseta o eixo O𝑦 em menos três. Portanto, o termo constante no final da nossa do segundo grau simplesmente nos diz onde esta curva atravessa o eixo O𝑦.

Vamos dar uma olhada rápida no que acontece quando mexemos no parâmetro 𝑏. Portanto, definir 𝑏 igual a três dá-nos 𝑦 igual a zero ponto dois 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥. Definir 𝑏 igual a dois dá-nos 𝑦 igual a zero ponto dois 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥. Definir 𝑏 igual a um dá-nos 𝑦 igual a zero ponto dois 𝑥 ao quadrado mais um 𝑥. E definir 𝑏 igual a zero dá-nos 𝑦 igual a zero ponto dois 𝑥 ao quadrado mais zero 𝑥 ou apenas 𝑦 igual a zero ponto dois 𝑥 ao quadrado. Então, o que podemos ver é que, quando o valor 𝑏 é grande e positivo, move toda a curva para a esquerda. Como 𝑐 era zero em todos os casos, a curva ainda interseta o eixo O𝑦 em zero no mesmo lugar. Mas quando 𝑏 é grande e positivo, move a curva para a esquerda. 𝑏 é positivo, mas não tão grande. Não vai tão longe para a esquerda. 𝑏 ainda positivo, mudou-se um pouco para a esquerda. E quando 𝑏 é zero, é simétrico em relação ao eixo O𝑦. É necessário seguir para a esquerda, não para a direita do eixo O𝑦.

Portanto, começando com 𝑏 é igual a zero, verificaremos alguns valores negativos de 𝑏. Portanto, quando 𝑏 é menos um, temos 𝑦 zero ponto dois 𝑥 ao quadrado menos um 𝑥 e o gráfico fica assim. Quando 𝑏 é menos dois, ficamos com 𝑦 igual a zero ponto dois 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 e o gráfico parece-se com isto. E quando 𝑏 é menos três, temos 𝑦 igual a zero ponto dois 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 e o gráfico fica assim, ainda mais à direita. Portanto, neste caso, ter um valor de 𝑏 negativo desloca o gráfico para a direita. Ter 𝑏 igual a zero, lembre-se de que temos o nosso gráfico, a nossa parábola, que é simétrica em relação ao eixo O𝑦. Portanto, o parâmetro 𝑏 parece mover o gráfico para a esquerda ou para a direita. Mas observe porque 𝑐 é zero em todos os casos, a curva ainda interseta o eixo O𝑦 em zero. Portanto, isso permanece inalterado. Embora o movamos para a esquerda e para a direita, ainda o mantemos a intersetar o eixo O𝑦 em zero. Agora precisamos de ter um pouco de cuidado com esta coisa de 𝑏 mover para a esquerda e para a direita. Porque quando 𝑎 é negativo e temos uma curva triste, fazer 𝑏 negativo move o gráfico para a esquerda e não para a direita. Então, 𝑎 é ​​menos dois, menos zero ponto dois. Novamente, 𝑏 é menos dois; é movido para a esquerda, mas não tanto. E quando 𝑎 é ​menos ​zero ponto dois e 𝑏 é menos um, ainda é movido para a esquerda um pouco, mas não tanto novamente. Mas, novamente, porque em todos os casos 𝑐 era igual a zero, a curva interseta o eixo O𝑦 em zero.

Então, apenas para resumir isto. O parâmetro 𝑏 move a curva para a esquerda ou direita, mas depende do valor de 𝑎. Portanto, quando 𝑎 é ​​positivo como temos aqui, um valor positivo de 𝑏 moverá a curva para a esquerda do eixo O𝑦. Quando 𝑎 é ​​negativo, um valor positivo de 𝑏 move a curva para o lado direito do eixo. E agora, quando 𝑏 é negativo se 𝑎 foi positivo, um 𝑏 negativo move a curva para a direita do eixo O𝑦. E se 𝑎 era negativo, então um 𝑏 negativo move a curva para a esquerda do eixo O𝑦. Mas o que se sabe é que alterar o valor de 𝑏 não torna a curva mais larga ou mais fina; apenas a move para a esquerda ou para a direita e não afeta onde interseta o eixo O𝑦.

Então, agora vamos combinar alguns gráficos com as suas equações com base no que sabemos. Questão um: qual destas curvas corresponde ao gráfico? Bem, a curva interseta o eixo O𝑦 em zero, o que significa que 𝑐 é igual a zero. Portanto, apenas preenchendo os valores de 𝑏 e 𝑐 nestas equações, podemos ver que a equação três não pode estar correta porque o valor 𝑐 aqui é três. Agora também percebemos que é uma curva positiva sorridente. Então isso significa que 𝑎 é positivo. Então, 𝑎 é maior que zero. E isso poderia corresponder à primeira ou à segunda equação, onde 𝑎 é igual a um; é positivo. Agora, a próxima coisa que notamos é que a curva é simétrica em relação ao eixo O𝑦. Portanto, não foi movida para a esquerda e não foi movida para a direita. Isso deve significar que 𝑏 é igual a zero. E na segunda equação, 𝑏 era igual a dois. Portanto, também não pode ser esta, então a nossa resposta é 𝑦 igual 𝑥 ao quadrado.

Próxima questão então: qual destas equações corresponde a este gráfico? Então, primeiro vou preencher os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para cada uma delas. Então, na primeira, verá 𝑎 é três, 𝑏 é zero, 𝑐 é zero; na segunda, 𝑎 é ​​dois, 𝑏 é menos três e 𝑐 é zero, e na terceira, 𝑎 é um, 𝑏 é menos dois e 𝑐 é três. Então, olhando para o gráfico, podemos ver que interseta o eixo O𝑦 em zero. Isso significa que 𝑐 deve ser igual a zero. Então, novamente, estamos a descartar a nossa terceira equação, em que 𝑐 é igual a três. Agora podemos ver que a curva não é simétrica em relação ao eixo O𝑦; foi deslocada para a direita. Então isso significa que 𝑏 não é zero. Agora, se não se lembra do caminho, é movido para a esquerda? É para a direita? não se preocupe muito com isso, porque nesta questão bastante específica aqui temos uma escolha entre duas e depois a primeira. O valor de 𝑏 é zero, então sabemos que esta não está correta. Mas se se lembrar — lembre-se que quando 𝑎 é positivo e 𝑏 negativo move-o para a direita e um valor positivo de 𝑏 move-o para a esquerda, então esta é a nossa equação.

Faça pausa o vídeo agora e experimente esta questão. Bem, preenchendo os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e a primeira coisa a notar é que interseta o eixo O𝑦 em três. Então, 𝑐 é igual a três. Isso exclui a nossa segunda equação que tem 𝑐 igual a menos três negativos. Vemos que é uma curva triste negativa. Então, 𝑎 é ​​menor que zero. Bem, isto corresponde às duas equações restantes. Mas não é simétrico em relação ao eixo O𝑦. Foi deslocado para a direita. Portanto, 𝑏 não pode ser igual a zero. Então, isso exclui o número um. Portanto, a nossa equação é 𝑦 igual a zero ponto cinco 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais três.

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