Pop Video: Integração e o Teorema Fundamental do Cálculo

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Esse cara, Grothendieck, é um ídolo matemático para mim. E eu simplesmente amo essa citação, não é? Frequentemente, em matemática, passamos a mostrar que um certo fato é verdadeiro com uma longa série de fórmulas antes de recuar e garantir que seja razoável e de preferência óbvio, pelo menos em um nível intuitivo. Neste vídeo, eu quero falar sobre integrais. E a coisa que quero tornar quase óbvia é que elas são o inverso de derivadas.

Aqui, focaremos apenas num exemplo, que é uma espécie de dualidade com o exemplo de um carro em movimento sobre o qual falei no capítulo dois da série, apresentando derivadas. Então, no próximo vídeo, veremos como essa mesma ideia se generaliza, mas para alguns outros conteúdos.

Imagine que você está sentado em um carro e não pode ver pela janela. Tudo que você vê é o velocímetro. Em algum momento, o carro começa a se mover, acelera e depois diminui a velocidade até parar, durante oito segundos. A questão é: existe uma boa maneira de descobrir até onde você viajou durante esse tempo, com base apenas na sua visão do velocímetro? Ou, melhor ainda, você pode encontrar uma função de distância, 𝑠 de 𝑡, que informa a que distância você viajou após um determinado período de tempo, 𝑡, algum momento entre zero e oito segundos?

Digamos que você anote a velocidade a cada segundo. E você faz uma trama ao longo do tempo que se parece com isso. E talvez você ache que uma boa função para modelar essa velocidade ao longo do tempo, em metros por segundo, seja 𝑣 de 𝑡 igual a 𝑡 vezes oito menos 𝑡. Você deve se lembrar, no capítulo dois desta série, estávamos analisando a situação oposta, onde você sabia o que era uma função de distância, 𝑠 de 𝑡, e queria descobrir a função de velocidade a partir disso. Aí, mostrei como a derivada de uma função distância versus tempo fornece uma função de velocidade versus tempo.

Portanto, em nossa situação atual, onde tudo o que sabemos é velocidade, deve fazer sentido que encontrar uma função distância versus tempo se refira a perguntar qual função tem uma derivada de 𝑡 vezes oito menos 𝑡. Isso geralmente é descrito como encontrar a primitiva de uma função. E, de fato, é isso que vamos fazer. E você pode até parar agora e tentar isso. Mas, primeiro, quero passar a maior parte deste vídeo mostrando como essa pergunta está relacionada à localização da área delimitada pelo gráfico de velocidade. Porque isso ajuda a construir uma intuição para toda uma classe de problemas, coisas chamadas problemas integrais em matemática e ciências.

Para começar, observe que essa pergunta seria muito mais fácil se o carro estivesse se movendo a uma velocidade constante, certo? Nesse caso, você pode simplesmente multiplicar a velocidade, em metros por segundo, vezes a quantidade de tempo que passou, em segundos. E isso lhe daria o número de metros percorridos. E observe, você pode visualizar esse produto, essa distância, como uma área. E se visualizar a distância como área parece meio estranho, eu estou com você. É exatamente neste gráfico, onde a direção horizontal tem unidades de segundos e a direção vertical tem unidades de metros por segundo, unidades de área naturalmente correspondem a metros.

Mas o que dificulta nossa situação é que a velocidade não é constante. Ela está sempre mudando a cada instante. Seria muito mais fácil se ela mudasse em alguns pontos. Talvez permaneça estático durante o primeiro segundo e, de repente, descontinuamente salte para constantes sete metros por segundo durante o próximo segundo e assim por diante, com saltos descontínuos para partes de velocidade constante. Isso tornaria desconfortável para o motorista. Na verdade, é fisicamente impossível. Mas isso tornaria seus cálculos muito mais diretos. Você pode calcular a distância percorrida em cada intervalo, multiplicando a velocidade constante nesse intervalo pela variação no tempo. E então, basta adicionar todos esses itens.

Então, o que faremos é aproximar a função velocidade como se fosse constante em vários intervalos. E então, como é comum no cálculo, veremos como refinar essa aproximação nos leva a algo mais preciso. Aqui, vamos tornar isso um pouco mais concreto, lançando alguns números. Corte o eixo do tempo entre zero e oito segundos em muitos pequenos intervalos, cada um com uma pequena largura d𝑡, algo como 0.25 segundos. Agora, considere um desses intervalos, como aquele entre 𝑡 é igual a um e 1.25. Na realidade, o carro acelera de sete metros por segundo por cerca de 8.4 metros por segundo durante esse período. E você pode encontrar esses números apenas inserindo 𝑡 igual a um e 𝑡 igual a 1.25 na equação da velocidade.

O que queremos fazer é aproximar o movimento do carro como se sua velocidade fosse constante nesse intervalo. Novamente, a razão para fazer isso é que simplesmente não sabemos como lidar com situações que não sejam de velocidade constante. Você pode escolher essa constante como algo entre sete e 8.4. Na verdade, isso não importa. Tudo o que importa é que nossa sequência de aproximações, sejam elas quais forem, ficam cada vez melhores à medida que d𝑡 fica cada vez menor. O tratamento na jornada deste carro como um monte de saltos descontínuos em velocidade entre partes de velocidade constante se torna um reflexo menos errado da realidade à medida que diminuímos o tempo entre esses saltos.

Portanto, por conveniência, em um intervalo como esse, vamos apenas aproximar a velocidade com a velocidade verdadeira do carro no início desse intervalo, a altura do gráfico acima do lado esquerdo, que neste caso é sete. Portanto, neste exemplo de intervalo, de acordo com nossa aproximação, o carro se move sete metros por segundo vezes 0.25 segundos. São 1.75 metros, e é bem visualizada como a área desse retângulo fino. Na verdade, isso é um pouco abaixo da distância real percorrida, mas não muito. E o mesmo vale para todos os outros intervalos. A distância aproximada é 𝑣 de 𝑡 vezes d𝑡. É só você inserir um valor diferente para 𝑡 em cada um deles, fornecendo uma altura diferente para cada retângulo.

Vou escrever uma expressão para a soma das áreas de todos esses retângulos de uma maneira engraçada. Pegue este símbolo aqui, que parece um s esticado para alguns. E, em seguida, coloque um zero na parte inferior e um oito na parte superior, para indicar que variaremos ao longo do tempo entre zero e oito segundos. E, como eu disse, a quantidade que estamos adicionando a cada etapa é 𝑣 de 𝑡 vezes d𝑡. Duas coisas estão implícitas nesta notação. Antes de tudo, esse valor d𝑡 desempenha dois papéis separados. Além de ser um fator em cada quantidade que estamos adicionando, também indica o espaçamento entre cada etapa do tempo da amostra. Portanto, quando você torna d𝑡 cada vez menor, mesmo que diminua a área de cada retângulo, aumenta o número total de retângulos cujas áreas estamos adicionando. Porque se eles são mais finos, é preciso mais deles para preencher esse espaço.

E segundo, a razão pela qual não usamos a notação sigma usual que indica uma soma é que essa expressão tecnicamente não é uma soma específica para qualquer opção específica de d𝑡. É para expressar o que quer que essa soma se aproxime como d𝑡 se aproxima de zero. E como você pode ver, o que se aproxima é a área delimitada por essa curva e o eixo horizontal. Lembre-se de que escolhas menores de d𝑡 indicam aproximações mais próximas da pergunta original. Até onde o carro realmente vai? Portanto, esse valor limitador da soma, a área sob essa curva, fornece a resposta precisa para a pergunta com precisão total e não aproximada.

Agora, me diga que isso não é surpreendente. Tivemos uma ideia bastante complicada de aproximações que pode envolver a soma de um grande número de coisas muito pequenas. E, no entanto, o valor que essas aproximações abordam pode ser descrito de maneira tão simples. É apenas a área abaixo desta curva. Essa expressão é chamada de integral de 𝑣 de 𝑡, pois reúne todos os seus valores. Ela os integra. Agora, neste momento, você poderia dizer, como isso ajuda? Você acabou de reenquadrar uma pergunta difícil para descobrir até onde o carro viajou para um problema igualmente difícil, para encontrar a área entre esse gráfico e o eixo horizontal. E você estaria certo. Se a dupla distância da velocidade fosse a única coisa com a qual nos importávamos, a maior parte deste vídeo, com toda a área sob uma curva sem sentido, seria uma perda de tempo. Poderíamos simplesmente pular para a frente para encontrar uma primitiva.

Mas encontrar a área entre o gráfico de uma função e o eixo horizontal é uma linguagem comum de muitos problemas díspares que podem ser divididos e aproximados como a soma de um grande número de pequenas coisas. Você verá mais no próximo vídeo. Mas, por enquanto, vou apenas dizer em resumo que entender como interpretar e como calcular a área sob um gráfico é uma ferramenta muito geral de solução de problemas. De fato, o primeiro vídeo desta série já abordou o básico de como isso funciona. Mas agora que temos mais experiência com derivadas, podemos realmente levar essa ideia à sua conclusão.

Para um exemplo de velocidade, pense nesta extremidade direita como uma variável, 𝑇. Então, estamos pensando nessa integral da função de velocidade entre zero e 𝑇, a área sob essa curva entre essas entradas, como uma função, em que o limite superior é a variável. Essa área representa a distância que o carro percorreu após 𝑇 segundos, certo? Então, na realidade, essa é uma função de distância versus tempo, 𝑠 de 𝑇. Agora, pergunte-se, qual é a derivada dessa função? Por um lado, uma pequena mudança na distância sobre uma pequena mudança no tempo. Essa é a velocidade; é isso que velocidade significa.

Mas há outra maneira de ver isso, puramente em termos deste gráfico e dessa área, que generaliza muito melhor para outros problemas integrais. Um leve empurrão de d𝑇 na entrada faz com que a área aumente, um pouco de d𝑠 representado pela área dessa tira. A altura dessa tira é a altura do gráfico nesse ponto, 𝑣 de 𝑇. E sua largura é d𝑇. E para d𝑇 pequeno o suficiente, podemos basicamente considerar essa tira como um retângulo. Portanto, este pequeno pedaço de área adicionada, d𝑠, é aproximadamente igual a 𝑣 de 𝑇 vezes d𝑇. E por ser uma aproximação, fica cada vez melhor para d𝑇 menor. A derivada dessa função de área d𝑠 d𝑇 nesse ponto é igual a 𝑣𝑇, o valor da função de velocidade a qualquer momento em que começamos.

E isso aí, é um argumento super geral. A derivada de qualquer função, dada a área sob um gráfico como este, é igual à função do próprio gráfico. Portanto, se nossa função de velocidade é 𝑡 vezes oito menos 𝑡, o que deveria ser 𝑠? Qual função de 𝑡 tem uma derivada de 𝑡 vezes oito menos 𝑡? É mais fácil ver se expandimos isso, escrevendo-o como oito 𝑡 menos 𝑡 ao quadrado. E então podemos apenas pegar uma parte de cada vez. Qual função tem uma derivada de oito vezes 𝑡? Bem, sabemos que a derivada de 𝑡 ao quadrado é dois 𝑡. Portanto, se escalarmos isso por um fator de quatro, podemos ver que a derivada de quatro 𝑡 ao quadrado é oito 𝑡. E para a segunda parte, que tipo de função você acha que pode ter menos 𝑡 ao quadrado como derivada?

Bem, usando a regra de potência novamente, sabemos que a derivada de um termo cúbico, 𝑡 ao cubo, nos dá um termo quadrado, três 𝑡 ao quadrado. Portanto, se reduzirmos isso em um terço, a derivada de um terço 𝑡 ao cubo é exatamente 𝑡 ao quadrado. E, ao tornar isso negativo, veremos que menos um terço 𝑡 ao cubo tem uma derivada de menos 𝑡 ao quadrado. Portanto, a primitiva de nossa função, oito 𝑡 menos 𝑡 ao quadrado, é quatro 𝑡 ao quadrado menos um terço 𝑡 ao cubo. Mas há um pequeno problema aqui. Poderíamos adicionar qualquer constante que desejarmos a essa função. E sua derivada ainda será oito 𝑡 menos 𝑡 ao quadrado. A derivada de uma constante sempre tende a zero.

E se você fizesse o gráfico 𝑠 de 𝑡, você poderia pensar nisso no sentido de que mover um gráfico de uma função de distância para cima e para baixo não faz nada para afetar sua inclinação a cada entrada. Portanto, na realidade, existem infinitamente muitas funções primitivas possíveis. E cada uma delas se parece com quatro 𝑡 ao quadrado menos um terço 𝑡 ao cubo mais 𝐶, para alguma constante 𝐶. Mas há uma informação que ainda não usamos que nos permitirá identificar qual primitiva usar, o limite inferior da integral. Essa integral deve ser zero quando arrastamos a extremidade direita até a extremidade esquerda, certo? A distância percorrida pelo carro entre zero segundos e zero segundos é, bem, zero.

Então, como descobrimos, a área em função de 𝑇 é uma primitiva para o material interno. E para escolher qual constante adicionar a essa expressão, o que você faz é subtrair o valor dessa função primitiva no limite inferior. Se você pensar por um momento, isso garante que a integral do limite inferior para ele mesmo seja zero. E isso, então, acontece, quando você calcula a função que temos aqui, em 𝑇 é igual a zero, você obtém zero. Portanto, nesse caso específico, você não precisa subtrair nada.

Por exemplo, a distância total percorrida durante os oito segundos completos é essa expressão calculada em 𝑇 igual a oito, que é cerca de 85.33, menos zero. Portanto, a resposta como um todo é apenas 85.33. Mas um exemplo mais típico seria algo como a integral entre um e sete. Essa é a área mostrada aqui. E representa a distância percorrida entre um segundo e sete segundos. O que você faz é calcular a primitiva que encontramos no limite superior, sete, e depois subtrair seu valor no limite inferior, um. E, a propósito, observe que não importa qual primitiva escolhemos aqui. Se, por algum motivo, tivesse uma constante adicionada a ela, como cinco, essa constante seria cancelada.

De maneira mais geral, sempre que você quiser integrar alguma função, lembre-se de pensar nisso como somando valores 𝑓 de 𝑥 vezes d𝑥 para entradas em um determinado intervalo e depois perguntando o que essa soma se aproxima quando d𝑥 se aproxima de zero. O primeiro passo para calcular essa integral é encontrar uma primitiva, alguma outra função, 𝐹, cuja derivada é a coisa dentro da integral. Então a integral é igual a essa primitiva calculada no limite superior menos seu valor no limite inferior. E esse fato, bem aqui que você está olhando, é o teorema fundamental do cálculo.

E eu quero que você aprecie algo meio louco sobre esse fato. A integral, o valor limite para a soma de todos esses retângulos finos, leva em consideração todas as entradas do contínuo, do limite inferior ao limite superior. É por isso que usamos a palavra integrar; ela junta todos eles. E, no entanto, para realmente calculá-lo usando uma primitiva, você olha apenas duas entradas, o limite superior e o limite inferior. Parece quase trapaça. Encontrar a primitiva implicitamente considera todas as informações necessárias para adicionar os valores entre esses dois limites. Isso é loucura para mim. Essa ideia é profunda. E há muito nesse conceito inteiro. Então, vamos recapitular tudo o que aconteceu, certo?

Queríamos descobrir até onde um carro chega apenas olhando para o velocímetro. E o que dificulta isso é que a velocidade está sempre mudando. Se você aproximar a velocidade para ser constante em vários intervalos diferentes, poderá descobrir até que ponto o carro vai em cada intervalo, apenas com multiplicação. E então, adicione tudo isso. Aproximações cada vez melhores para o problema original correspondem a coleções de retângulos cuja área agregada está cada vez mais próxima de ser a área sob essa curva entre o tempo de início e o tempo de término. Portanto, a área abaixo da curva é a distância exata percorrida para a verdadeira função de lugar nenhum velocidade constante.

Se você pensar nessa área como uma função em si com um ponto de extremidade direito variável, poderá deduzir que a derivada dessa função de área deve ser igual à altura do gráfico em todos os pontos. E essa é realmente a chave aqui. Isso significa que, para encontrar uma função dada nessa área, você pergunta, que função tem 𝑣 de 𝑡 como derivada? Na verdade, existem infinitamente muitas primitivas de uma determinada função, pois você sempre pode adicionar alguma constante sem afetar a derivada. Então, você explica isso subtraindo o valor de qualquer função primitiva que escolher no limite inferior.

A propósito, uma coisa importante a ser apresentada antes de partirmos é a ideia de área negativa. E se a função velocidade fosse negativa em algum momento? Significa, que o carro recua. Ainda é verdade que uma pequena distância percorrida, d𝑠, em um pequeno intervalo de tempo é quase igual à velocidade naquele momento multiplicada pela pequena mudança no tempo. Apenas o número que você substituiria para a velocidade seria negativo. Portanto, a pequena mudança na distância é negativa. Em termos de nossos retângulos finos, se um retângulo ficar abaixo do eixo horizontal assim, sua área representará um pouco da distância percorrida para trás.

Portanto, se o que você deseja no final é encontrar a distância entre o ponto inicial e o ponto final do carro, é algo que você deseja subtrair. E isso geralmente acontece com integrais. Sempre que nosso gráfico cai abaixo do eixo horizontal, a área entre essa parte do gráfico e o eixo horizontal é contada como negativa. E o que você costuma ouvir é que as integrais não medem a área por dizer. Elas medem a área assinada entre o gráfico e o eixo horizontal.