Vídeo: Perímetros de Circunferências

A definição de perímetro de uma circunferência. Determinar o perímetro de uma circunferência dado o seu raio ou o seu diâmetro. Determinar o diâmetro ou o raio de uma circunferência dado o seu perímetro. Trabalhar com um determinado número de casas decimais ou apresentar as respostas em termos de 𝜋.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como calcular o perímetro de uma circunferência.

Primeiro, verifiquemos se sabemos exatamente o que significa este termo perímetro. Portanto, o perímetro de uma circunferência é a distância ao redor da fronteira do círculo. Então, é esta distância que marquei a verde no diagrama aqui. É o que chamaria a outra forma 2D de perímetro. Mas no caso dos círculos, temos um nome específico, circunferência (em Inglês).

Antes de examinarmos como calcular o perímetro, existem outras terminologias com as quais precisamos de estar familiarizados. E a primeira delas é o nome dado a um segmento de reta como o que desenhei aqui. Portanto, este segmento de reta que atravessa a circunferência de um lado ao outro e passa pelo centro do círculo. E qualquer segmento que faça isto é chamada de diâmetro do círculo. Este geralmente é representado pela letra 𝑑 quando estamos a fazer cálculos com círculos. Então esta é a primeira palavra com a qual precisamos de nos familiarizar.

A segunda palavra é utilizada para descrever o segmento de reta que começa na circunferência do círculo e a une ao centro do círculo. Um segmento como o que desenhei a laranja aqui. E este tipo de segmento é chamado de raio do círculo. E utilizamos a letra 𝑟 quando utilizamos o raio nos cálculos relacionados com os círculos.

Provavelmente percebes que existe uma relação entre o diâmetro e o raio de um círculo. Se o diâmetro começa na circunferência e vai até ao lado oposto, enquanto o raio só vai até o centro, então o diâmetro é duas vezes maior que o raio. Portanto, temos esta relação de que o diâmetro é igual ao dobro do raio ou o raio é igual ao diâmetro dividido por dois, se preferires pensar desta maneira.

Ok, agora estamos prontos para ver como calcular o perímetro de uma circunferência. E existe uma fórmula que podemos utilizar para o fazer. E é esta fórmula aqui. 𝑐 ou perímetro é igual a 𝜋 multiplicado por 𝑑, em que 𝑑, lembra-te, representa o diâmetro do círculo. Agora, se ainda não viste este símbolo antes, é a letra grega 𝜋 e é utilizada para representar um número muito especial em matemática. É um número especial por causa da relação que existe entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência.

Se desenhasses uma circunferência de qualquer tamanho e medisses com precisão o perímetro, talvez utilizando um pedaço de corda e o diâmetro da circunferência, descobririas que estão sempre relacionados da mesma maneira. Portanto, este símbolo 𝜋 representa um número. É um número muito especial. É o que chamamos de número irracional.

O que significa que, se o escreveres na sua representação decimal, terá uma sequência infinita de algarismos depois da vírgula. E nunca haverá um padrão repetido. Assim, segue e segue sem repetir um padrão nos seus algarismos. A tua calculadora terá um botão para 𝜋 para que possas utilizá-lo nos cálculos. Mas às vezes é bom saber que 𝜋 é aproximadamente igual a três vírgula um quatro. E podes utilizá-lo com este nível de precisão em cálculos.

E aqui está a nossa fórmula. O perímetro de uma circunferência é igual a 𝜋 multiplicado pelo diâmetro. Também podes preferir ter a fórmula em termos do raio. Portanto, se te lembrares que o diâmetro é apenas o dobro do raio, podemos substituir 𝑑 nesta fórmula por dois 𝑟. E isso dar-nos-á uma segunda fórmula para o perímetro. O perímetro é igual a dois multiplicado por 𝜋 multiplicado por 𝑟. Para que possas utilizar uma destas duas versões da mesma fórmula. Então, vejamos alguns exemplos.

Temos uma circunferência aqui. E gostaríamos de calcular o perímetro desta circunferência.

Assim, olhando o diagrama, podemos ver que o diâmetro da circunferência foi traçado e deram-nos com dez centímetros de comprimento. Então, precisamos de lembrar-nos da nossa fórmula para o perímetro de uma circunferência. E vou utilizar esta versão, que o perímetro é igual a 𝜋 multiplicado pelo diâmetro. Então, tudo o que precisamos de fazer é substituir o valor de dez, que é o comprimento do diâmetro, nesta fórmula. E tenho que o perímetro é igual a 𝜋 vezes dez.

Agora, muitas vezes verás isto escrito, em vez de 𝜋 vezes dez, dez 𝜋. E, às vezes, serás solicitado a deixar as tuas respostas nesta forma aqui. Este é um valor exato em que não precisas de fazer nenhum arredondamento. E também significa que podes executar cálculos com circunferências quando não tiveres uma calculadora se deixares a tua resposta em termos de 𝜋 assim. Mas, para esta questão, iremos além. Calcularemos isto.

Então, na minha calculadora, digito dez multiplicado por 𝜋. E dar-me-á esta resposta de trinta e um vírgula quatro um cinco nove dois seis, e assim por diante. Então arredondarei a uma casa decimal. E dar-me-á uma resposta de trinta e um vírgula quatro centímetros com uma casa decimal. Observa as unidades que utilizamos aqui. O perímetro é apenas um comprimento; portanto, as unidades, centímetros, são iguais às unidades que tínhamos para o diâmetro. Ok, vamos olhar para o segundo exemplo.

Então, gostaríamos de calcular o perímetro desta circunferência aqui.

Observando atentamente o diagrama, podemos ver que não temos o diâmetro desta vez. Temos o raio, pois este segmento de reta chega apenas até ao centro do círculo. Então, utilizo a versão da fórmula que envolve o raio. E aqui está. O perímetro igual a duas vezes 𝜋 vezes 𝑟. Então, só preciso de substituir sete vírgula dois no raio dentro desta fórmula.

Portanto, o perímetro é igual a dois multiplicado por 𝜋 multiplicado por sete vírgula dois. Agora, existem maneiras diferentes de escrever isso. Eu poderia escrever como catorze vírgula quatro 𝜋. Ou poderia escrevê-lo como uma fração de setenta e dois 𝜋 sobre cinco. Qualquer uma das formas estará absolutamente bem. Mas irei calculá-lo na forma decimal. E isso dá-me uma resposta de quarenta e cinco vírgula dois milímetros, novamente arredondado a uma casa decimal. Unidades, lembras-te, porque é um comprimento, os nossos milímetros, a mesma que as unidades que utilizamos para o raio.

Então, quando estás a calcular o perímetro de uma circunferência, precisas de ser claro antes de mais. Deram-me o diâmetro? Deram-me o raio? E, dependendo da tua versão, afetará a versão da fórmula que utilizarás. Agora vamos ver um tipo diferente de questão.

Portanto, a questão diz que o perímetro de uma circunferência, arredondada a uma casa decimal, é trinta e dois vírgula sete centímetros. Determina o raio do círculo também arredondado a uma casa decimal.

Portanto, este é um exemplo do tipo de questão em que estás na verdade a trabalhar de trás para frente por já teres a circunferência, voltando à medida do raio. Então, vamos precisar da fórmula do perímetro de uma circunferência. E, como a questão é feita sobre o raio, vou começar com esta versão, que era o perímetro igual a dois 𝜋𝑟.

Agora, na questão, o perímetro também é igual a trinta e dois vírgula sete, para que eu possa escrever uma relação entre estas duas coisas. Então, eu sei que dois 𝜋𝑟 deve ser igual a trinta e dois vírgula sete. Agora é um caso de trabalhar para trás, a fim de descobrir qual é o raio. Eu estava neste membro da equação, mas está multiplicado por dois 𝜋. Se eu quiser obter apenas um 𝑟, preciso de dividir os dois membros desta equação por dois 𝜋. Então isso dar-me-á 𝑟 igual a trinta e dois vírgula sete sobre dois 𝜋. Então, posso continuar e calcular isto utilizando a minha calculadora.

E dá-me 𝑟 igual a cinco vírgula dois zero quatro três e assim por diante. A questão pedia este valor com uma casa decimal, então preciso de arredondá-lo a uma casa decimal. E tenho 𝑟 igual a cinco vírgula dois centímetros com uma casa decimal. Como 𝑟 representa o raio, representa o comprimento, tenho unidades de centímetros iguais às unidades do perímetro da circunferência. Portanto, este é um tipo comum de questão em que podes ter o perímetro e pedem-te que trabalhes para trás, para calcular o raio ou o diâmetro do círculo. Ok, vamos olhar para outra questão.

Esta questão diz que, utilizando três vírgula um quatro como aproximação para 𝜋, calcula o perímetro da forma apresentada.

Portanto, a primeira coisa a observar é que não estamos a utilizaro valor decimal completo de 𝜋, estamos apenas a utilizar três vírgula um quatro como uma aproximação. Portanto, nos nossos cálculos, onde quer que tenhamos utilizado 𝜋 antes, utilizaremos este valor três pontos um quatro. Agora, a forma que estamos a ver não é uma circunferência. É composta por semicircunferências. Por isso não nos pedem “a circunferência” (do Inglês). Pedem-nos o perímetro, por isso, precisamos de verificar com atenção a composição do perímetro.

Portanto, se começarmos num ponto e traçarmos a forma, teremos uma semicircunferência antes de mais e depois uma segunda semicircunferência. Temos depois uma porção reta aqui, uma terceira semicircunferência e outra porção reta aqui. Portanto, precisamos de garantir que todas estas partes sejam incluídas no cálculo do perímetro.

Então, vamos pensar nas semicircunferências antes de mais. Temos esta medida de dezoito centímetros, que é a distância total dessa forma. Portanto, esta distância, se olharmos para esta parte aqui, é duas vezes o diâmetro de cada uma das semicircunferências, o que significa que o diâmetro da semicircunferência deve ser de nove centímetros. Vamos analisar primeiro o comprimento das partes curvas. Ora, estas partes curvas não são o perímetro completo da circunferência. Não são referidas como circunferências. São chamadas de arco, então utilizaremos o termo comprimento do arco para nos referir a estas.

Portanto, o perímetro de uma circunferência seria 𝜋 multiplicada pelo diâmetro, mas cada um destes é apenas metade da circunferência. Então, vamos fazer 𝜋 multiplicado por nove, mas depois reduziremos para metade, pois temos apenas metade desta circunferência. Portanto, temos 𝜋 vezes nove sobre dois, o que significa que cada um destes arcos é igual a quatro vírgula cinco 𝜋. Portanto, cada um destes comprimentos é igual a quatro vírgula cinco 𝜋. No entanto, lembra-te da questão que dizia que deveríamos utilizar três vírgula um quatro como uma aproximação para 𝜋. Então, na verdade, em vez de 𝜋, eu deveria estar a utilizar este valor.

Portanto, tenho quatro vírgula cinco multiplicado por três vírgula um quatro, o que dá um valor de catorze vírgula um três centímetros para cada um destes comprimentos de arco. Agora, lembra-te, existem três deles, então no meu cálculo final terei que utilizar este valor três vezes. Agora, não devo esquecer estas duas partes retas aqui. Agora, cada uma delas tem metade do diâmetro da circunferência, então cada uma tem quatro centímetros e meio. Mas como existem duas delas, a contribuição total destas partes é de nove centímetros.

Então, agora preciso de juntar tudo isto para calcular o perímetro. Portanto, o perímetro total é de três vezes catorze vírgula um três para estes três arcos semicirculares separados e, depois, quatro e meio e quatro e meio para cada uma das duas partes retas. Portanto, isto dá-me um perímetro total de cinquenta e um vírgula três nove centímetros para toda a forma. Então, duas coisas nesta questão. Se tiveres que encarar uma forma mais complicada, não apenas uma circunferência, certifica-te de distinguires as arestas para conheceres todas as partes que compõem o perímetro. Segundo, se fores solicitado utilizar três vírgula um quatro como uma aproximação de 𝜋, sempre que tiveres 𝜋 no teu cálculo poderás substituí-lo por três vírgula um quatro.

Ok, a questão final deste vídeo. Uma roda de bicicleta tem um raio de 35 centímetros. Que distância a Alice percorre na sua bicicleta, se a roda girar duzentas e cinquenta vezes?

Considero sempre útil esboçar um diagrama muito rápido para entender a situação primeiro. Então, a bicicleta de Alice, que é representada por uma circunferência. Disseram-me que tem um raio de trinta e cinco centímetros. Então, para responder a esta questão, primeiro precisamos de calcular o perímetro da roda da bicicleta e depois multiplicá-la por duzentos e cinquenta, pois nesta viagem ela gira duzentas e cinquenta vezes.

Portanto, o perímetro, lembra-te, é igual a dois 𝜋𝑟. Então, substituiremos o valor de trinta e cinco no raio aqui. O perímetro é igual a dois multiplicado por 𝜋 multiplicado por trinta e cinco, o que nos dá um valor de setenta 𝜋 para o perímetro da roda da bicicleta. Vamos deixar assim por enquanto, porque este é um valor exato.

Agora precisamos de calcular a distância total percorrida. Portanto, se a roda gira duzentas e cinquenta vezes, precisamos de multiplicar este valor por duzentos e cinquenta. E duzentos e cinquenta vezes setenta 𝜋, o que nos dá dezassete mil e quinhentos 𝜋. Agora, resolvo isto como um valor decimal. Portanto, é cinquenta e quatro mil novecentos e setenta e sete vírgula oito e alguns centímetros. Agora, considerando que esta é uma distância e que estamos a falar de alguém a viajar de bicicleta, talvez faça sentido convertê-la em unidades mais razoáveis ​​do que os centímetros. Então, converto para metros, dividindo por cem. Portanto, temos uma resposta de quinhentos e quarenta e nove vírgula sete sete oito sete metros. E se arredondar isto talvez às unidades, tenho uma resposta de quinhentos e cinquenta metros, arredondada às unidades.

Então aqui está. Vimos como calcular o perímetro de uma circunferência a partir do raio ou do diâmetro. Vimos como trabalhar para trás por termos o perímetro para calcular o raio ou o diâmetro. Vimos como utilizar três vírgula um quatro como uma aproximação de 𝜋. E vimos como dar respostas como múltiplos de 𝜋 ou como valores decimais.

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