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Vídeo da aula: Áreas de Superfície das Esferas Matemática • 8º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como usar a fórmula para a área da superfície de uma esfera em termos de seu raio ou diâmetro para encontrar a área da superfície da esfera.

15:52

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como calcular a área da superfície de uma esfera usando seu raio ou diâmetro. Vamos primeiro apresentar a fórmula padrão para fazer isso e, em seguida, ver como podemos aplicar isso a alguns exemplos. Também veremos como podemos trabalhar para trás, desde o conhecimento da área da superfície de uma esfera até a determinação de seu raio ou diâmetro, o que exigirá alguma habilidade na resolução de equações.

Primeiro, lembramos que uma esfera é uma forma tridimensional. Seu tamanho é completamente determinado por uma medida, seu raio, que é a distância do centro da esfera a qualquer ponto de sua superfície. A fórmula de que precisamos para calcular a área da superfície de qualquer esfera é esta, quatro 𝜋𝑟 ao quadrado. E devemos lembrar que é apenas o raio que está sendo elevado ao quadrado, não o fator de quatro ou o fator de 𝜋. Lembre-se de que, em duas dimensões, a fórmula para encontrar a área de um círculo é 𝜋𝑟 ao quadrado. Portanto, a fórmula para calcular a área da superfície de uma esfera difere apenas porque há um fator extra de quatro.

Em alguns casos, podemos receber o diâmetro em vez do raio da esfera. Essa é a distância entre dois pontos opostos na superfície da esfera, passando pelo centro da esfera. Nesse caso, devemos nos certificar de que calculamos o raio da esfera antes de tentar encontrar sua área de superfície, o que podemos fazer lembrando que o diâmetro é o dobro do raio ou, equivalentemente, o raio é a metade do diâmetro. Agora que identificamos as fórmulas principais de que precisamos, vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

Encontre a área da superfície da esfera dada com a aproximação do décimo.

Em primeiro lugar, lembramos a fórmula de que precisamos para encontrar a área da superfície de uma esfera. São quatro 𝜋𝑟 ao quadrado, onde 𝑟 representa o raio da esfera. Essa é a distância entre o centro da esfera e qualquer ponto na superfície da esfera. Pela figura, podemos ver que o raio dessa esfera é de seis centímetros. Portanto, podemos substituir esse valor de 𝑟 diretamente em nossa fórmula, dando quatro 𝜋 multiplicado por seis ao quadrado. E devemos lembrar que é apenas o raio que precisamos elevar ao quadrado. Agora, podemos simplificar seis ao quadrado é 36 e quatro multiplicado por 36 são 144. Portanto, a área de superfície exata desta esfera é 144𝜋.

No entanto, a pergunta nos pede para dar essa resposta ao décimo mais próximo. Então podemos usar uma calculadora para calcular isso como um decimal. E dá 452,3893. Se estivermos arredondando para o décimo mais próximo, nosso algarismo decisivo é o oito na coluna dos centésimos, o que nos diz que precisamos arredondar para cima. Portanto, temos um valor de 452,4. Como as unidades do raio eram centímetros, as unidades da área da superfície da esfera serão centímetros quadrados. Portanto, temos nossa resposta para o problema. A área da superfície desta esfera com a aproximação do décimo é de 452,4 centímetros quadrados.

Nesta questão, vimos como encontrar a área da superfície de uma esfera, dado seu raio. Em nosso próximo exemplo, veremos como calcular a área da superfície de uma esfera quando a medida que recebemos é seu diâmetro.

Encontre a área da superfície de uma esfera cujo diâmetro é de 12,6 centímetros. Use 𝜋 é igual a 22 sobre sete.

A fórmula de que precisamos para calcular a área da superfície de uma esfera é esta, quatro 𝜋𝑟 ao quadrado, onde 𝑟 é o raio da esfera. Nesta questão, porém, não nos foi dado o raio; nos foi dado o comprimento do diâmetro da esfera. Isso não é um grande problema, porque sabemos a relação que existe entre o raio e o diâmetro da esfera. O raio é a metade do comprimento do diâmetro. Então, se o diâmetro é de 12,6 centímetros, o raio é a metade disso. São 6,3 centímetros. Portanto, podemos substituir esse valor pelo raio diretamente em nossa fórmula para a área da superfície, dando quatro 𝜋 multiplicado por 6,3 ao quadrado. E lembre-se, é apenas o raio que estamos elevando ao quadrado.

Agora, a questão nos pede para usar 22 sobre sete como uma aproximação para 𝜋. Então, isso sugere que não temos acesso a uma calculadora nesta questão. Nossa área de superfície se torna quatro multiplicada por 22 sobre sete multiplicada por 6,3 ao quadrado. E vamos ver como poderíamos resolver isso sem uma calculadora. Primeiro, podemos escrever 6,3 ao quadrado como 6,3 multiplicado por 6,3. Agora, devemos identificar que sete é um fator de 63. Portanto, podemos dividir 6,3 por sete com relativa facilidade. Usando uma divisão curta ou método rápido, em primeiro lugar, não há setes em seis, então colocamos um zero e carregamos o seis. E então há nove setes em 63. Então, 6,3 dividido por sete é 0,9. Portanto, nosso cálculo se torna quatro multiplicado por 22 multiplicado por 0,9 multiplicado por 6,3.

Podemos trabalhar esse cálculo em pares. Quatro multiplicado por 22, em primeiro lugar, são 88. E para calcular 0,9 multiplicado por 6,3, podemos primeiro calcular 63 vezes nove, que é 567, e depois lembrar que precisamos dividir por 10 duas vezes para dar a resposta ao cálculo decimal. Então, dividindo 567 por 100 dá 5,67. Isso também faz sentido do ponto de vista de estimativa. Estamos multiplicando 6,3 por algo um pouco menor que um, então a resposta que obtemos deve ser um pouco menor que 6,3 e 5,67 é razoável.

Finalmente, podemos calcular 5,67 multiplicado por 88, primeiro calculando 567 multiplicado por 88, que é 49896 e depois dividindo esse valor por 100, o que dá 498,96. Como as unidades do diâmetro são centímetros, as unidades da área da superfície serão centímetros quadrados. E assim temos nossa resposta para o problema. Usando 22 sobre sete como uma aproximação para 𝜋, descobrimos que a área da superfície da esfera cujo diâmetro é 12,6 centímetros é 498,96 centímetros quadrados. Lembre-se, o ponto chave nessa questão era que precisávamos calcular o raio da esfera antes que pudéssemos calcular sua área de superfície.

Em nosso próximo exemplo, veremos como podemos trabalhar para trás, desde o conhecimento da área da superfície de uma esfera até o cálculo de seu raio ou diâmetro.

Qual é o diâmetro de uma esfera cuja área de superfície é de 36𝜋 centímetros quadrados?

Nesta pergunta, recebemos a área da superfície de uma esfera e pedimos para usá-la para determinar seu diâmetro. Lembramos que a fórmula geral para encontrar a área da superfície de uma esfera é quatro 𝜋𝑟 ao quadrado. Então, ao igualar essas duas informações, podemos formar uma equação que nos permitirá determinar primeiro o raio da esfera. Temos a equação quatro 𝜋𝑟 ao quadrado igual a 36𝜋. E agora podemos resolver essa equação. Em primeiro lugar, podemos cancelar um fator de 𝜋 em cada lado. Podemos então dividir cada lado da equação por quatro para deixar 𝑟 ao quadrado no lado esquerdo e nove no lado direito. Então agora temos a equação 𝑟 ao quadrado é igual a nove.

Nós resolvemos essa equação fazendo a raiz quadrada. E nós só vamos pegar o valor positivo aqui porque 𝑟 tem um significado físico como o raio da esfera. Nove é um número quadrado e sua raiz quadrada é três. Então descobrimos que o raio da esfera é de três centímetros. Devemos ter cuidado, porém, porque não foi o raio da esfera que nos foi pedido originalmente para encontrar. Foi o diâmetro. Mas isso não é problema, porque sabemos que o diâmetro de uma esfera é o dobro do seu raio. Então, se o raio for três, o diâmetro será seis. Resolvemos o problema, e o diâmetro da esfera cuja área de superfície é de 36𝜋 centímetros quadrados é de seis centímetros.

Vamos agora levar um pouco de tempo para considerar os hemisférios, que são simplesmente meia esfera. Podemos, portanto, adaptar a fórmula para a área da superfície de uma esfera para encontrar uma fórmula para a área da superfície de um hemisfério. Mas devemos ter cuidado, pois o hemisfério tem uma superfície extra. Além da área da superfície curva ou lateral, que será metade da área da superfície total da esfera, um hemisfério também tem uma base circular plana adicional, que é chamada de grande círculo da esfera. Formalmente, um grande círculo de uma esfera é a interseção da esfera e qualquer plano ⁠-que é uma fatia bidimensional ⁠-que passa pelo centro da esfera. Mas podemos pensar nisso como qualquer círculo que divide a esfera em dois hemisférios idênticos.

A área da superfície curva ou lateral do hemisfério será metade da área da superfície da esfera inteira. Isso é metade de quatro 𝜋𝑟 ao quadrado, que é dois 𝜋𝑟 ao quadrado. E a área da base circular é simplesmente 𝜋𝑟 ao quadrado. No geral, então, a área total da superfície do hemisfério é de três 𝜋𝑟 ao quadrado. Devemos ter cuidado com as perguntas, no entanto, para ter certeza de que estamos certos de que devemos encontrar a área total da superfície ou simplesmente a área da superfície curva ou lateral.

Encontre, com aproximação ao décimo, a área da superfície curva de um hemisfério, dado que a área do grande círculo é de 441𝜋 milímetros quadrados.

Vamos começar esboçando este hemisfério. Lembre-se de que o grande círculo de uma esfera é o círculo que divide a esfera em dois hemisférios. Portanto, é a base circular plana do nosso hemisfério. É esse cara aqui. Somos informados de que a área desse grande círculo é de 441𝜋 milímetros quadrados. E também sabemos que a fórmula geral para calcular a área de um círculo é 𝜋𝑟 ao quadrado. Portanto, podemos usar essas duas informações para formar uma equação. 𝜋𝑟 ao quadrado é igual a 441𝜋. Podemos resolver essa equação para encontrar o raio do nosso hemisfério. Primeiro, podemos dividir por 𝜋 para dar 𝑟 ao quadrado igual a 441. Em seguida, tiramos a raiz quadrada de cada lado da equação. E como 441 é um número quadrado, sua raiz quadrada é 21. Então nós temos que o raio deste hemisfério é 21.

Lembramos então que a área da superfície curva de um hemisfério é metade da área da superfície de uma esfera inteira. São dois 𝜋𝑟 ao quadrado. Portanto, podemos substituir nosso valor pelo raio nessa fórmula. Isso dá dois 𝜋 multiplicado por 21 ao quadrado. Sabemos pelo nosso trabalho anterior que 𝑟 ao quadrado ou 21 ao quadrado é 441. Então temos dois 𝜋 multiplicados por 441, que é 882𝜋. A pergunta nos pede para dar esse valor ao décimo mais próximo. Então podemos calcular 882𝜋 em uma calculadora e dá 2770,884. O algarismo decisivo neste caso é o oito na coluna dos centésimos. Então, estamos arredondando para cima, o que dá 2770,9, e as unidades para isso serão milímetros quadrados.

Agora você pode ter notado que, na verdade, não precisamos calcular o raio deste hemisfério. Se a área do grande círculo for 𝜋𝑟 ao quadrado e a área da superfície curva do hemisfério for dois 𝜋𝑟 ao quadrado, poderíamos simplesmente ter dobrado a área que nos foi dada para o grande círculo. Isso daria dois multiplicado por 441𝜋, que é 882𝜋. E assim teríamos chegado ao mesmo estágio de cálculo que tivemos aqui em nosso método anterior. Ambos os métodos seriam igualmente bons e forneceriam a mesma resposta de 2770,9 milímetros quadrados.

Vamos agora considerar um exemplo final com uma ênfase um pouco maior na solução de problemas.

Um recurso de água pode ser modelado como um hemisfério com sua base definida em um pátio quadrado. Se o diâmetro do hemisfério é de quatro pés e o pátio tem um lado de seis pés de comprimento, qual seria a área visível do pátio? Dê sua resposta com precisão de duas casas decimais.

Vamos começar com um esboço desse recurso de água. É um hemisfério, então é meia esfera, com um diâmetro de quatro pés. E está situado em um pátio quadrado, que tem um comprimento lateral de seis pés. A área visível do pátio será toda a área do pátio que não seja coberta pela base circular deste hemisfério. É a área do quadrado menos a área do círculo, que na verdade é o grande círculo deste hemisfério. Sabemos como encontrar as áreas de cada uma dessas formas bidimensionais. A área de um quadrado é simplesmente um comprimento lateral ao quadrado; são seis ao quadrado. E a área de um círculo é 𝜋𝑟 ao quadrado.

Agora, precisamos ter um pouco de cuidado aqui, porque nos foi dado o diâmetro do hemisfério, que é o diâmetro desse círculo. São quatro pés. Então o raio é a metade disso; são dois pés. Temos então seis ao quadrado menos 𝜋 multiplicado por dois ao quadrado. Isso simplifica para 36 menos quatro 𝜋. E poderíamos deixar nossa resposta nesta forma se quiséssemos. Mas essa pergunta nos pediu para dar nossa resposta com precisão de duas casas decimais. Calculando em uma calculadora dá 23,43362, e então o arredondamento para as duas casas decimais necessárias dá 23,43. Como as unidades de comprimento nesta questão foram dadas em pés, as unidades de área serão pés quadrados. E assim temos nossa resposta para o problema. A área visível do pátio com duas casas decimais é de 23,43 pés quadrados.

Vamos agora resumir alguns dos principais pontos que vimos neste vídeo. Em primeiro lugar, a área da superfície de uma esfera pode ser encontrada usando a fórmula quatro 𝜋𝑟 ao quadrado, onde 𝑟 é o raio da esfera. Devemos ter certeza de verificar cuidadosamente em qualquer problema, se nos foi dado o raio ou o diâmetro de uma esfera. Poderíamos usar a fórmula equivalente quatro 𝜋 multiplicada por 𝑑 sobre dois ao quadrado, ou poderíamos simplesmente reduzir pela metade o diâmetro para encontrar o raio antes de substituir na fórmula.

Também vimos que podemos trabalhar para trás, conhecendo a área da superfície de uma esfera para calcular seu raio ou diâmetro, formando e resolvendo uma equação. Vimos então que o grande círculo de uma esfera, que formalmente é a interseção da esfera com qualquer plano que passe pelo seu centro, divide a esfera em dois hemisférios. Uma esfera tem infinitos grandes círculos, dependendo do ângulo do plano que desenhamos. E, finalmente, para um hemisfério, vimos que sua área de superfície lateral ou curva é dada por dois 𝜋𝑟 ao quadrado e sua área de superfície total, que inclui sua base circular, é dada por três 𝜋𝑟 ao quadrado.

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