Vídeo: Como o seu dispositivo GPS sabe onde você está?

Neste vídeo, veremos como os dispositivos de GPS usam sinais de satélites para calcular sua posição na Terra e por que precisamos levar em conta as teorias de relatividade geral e especial de Einstein para obter leituras úteis e precisas.

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Transcrição do vídeo

Como o seu dispositivo GPS sabe onde você está?

Desde os anos 80, o governo dos EUA fez com que os sinais de rádio de sua rede de satélites de GPS, orbitando a mais de 20,000 quilômetros acima da superfície da Terra, estivessem disponíveis para qualquer um com um receptor de GPS apropriado. A cobertura mundial por 24 satélites chegou em 1993, e tornou-se realmente útil para toda uma gama de propósitos civis quando o acesso foi totalmente aberto em 2000.

Mais recentemente, outros serviços foram lançados pela Rússia, China, Índia, Japão e União Europeia, para funcionar independentemente ou para aumentar a precisão do sistema americano. Os satélites transmitem informações de geolocalização e tempo, juntamente com um fluxo gerado de pseudocódigo. E, comparando sinais de quatro ou mais satélites, um receptor GPS pode calcular com segurança onde está, no mundo, a poucos metros. Com mais satélites e informações de sistemas adicionais baseados em chão, a localização pode ser calculada em centímetros.

Neste vídeo, veremos como a navegação por satélite funciona, alguns dos cálculos envolvidos e como precisamos usar a relatividade geral e especial de Einstein para torná-la tão precisa quanto ela. Primeiro, vamos imaginar que estamos perdidos em uma paisagem plana bidimensional inexpressiva, cuja única característica redentora é que ela existe dentro de um sistema de coordenadas claramente definido, com unidades medidas em quilômetros a leste de um local conhecido, a coordenada 𝑥, e quilómetros ao norte dessa localização, a coordenada 𝑦.

Estamos muito tristes por estarmos perdidos. Então, de repente, um ser mágico aparece e perguntamos onde estamos. Ele nos diz que estamos a exatamente 39 quilômetros do centro de Antville, que tem as coordenadas 14, 45. Rapidamente tiramos papel quadriculado, fazemos uma grade e desenhamos uma circunferência. Assim, poderíamos estar em qualquer lugar na borda de uma circunferência com raio de 39 quilômetros e seu centro em Antville. Podemos até escrever a equação da circunferência de pontos onde poderíamos estar. 𝑥 menos 14 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 45 tudo ao quadrado é igual a 39 ao quadrado.

Agora isso é útil, mas ainda existem infinitos lugares onde poderíamos estar. Ok, então estou sendo um pouco pedante para dizer que existem infinitas posições em torno dessa circunferência, mas existem. Certamente, diminuímos significativamente nossa posição no mundo, mas não sabemos exatamente onde estamos. E provavelmente estamos nos perguntando por que o ser mágico não nos disse apenas nossas próprias coordenadas, em vez de nos dar essa referência enigmática a Antville. Talvez eles fossem um professor de matemática em uma vida anterior.

Então, como se lesse nossos pensamentos, o ser mágico nos diz que também estamos exatamente a 50 quilômetros do centro de Buffalo Town, que tem as coordenadas 80, 70. Agora isso é bastante útil. Nós adicionamos essa circunferência ao nosso papel quadriculado e escrevemos sua equação: 𝑥 menos 80 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 70 tudo ao quadrado é igual a 50 ao quadrado. Se Antville e Buffalo Town tivessem exatamente 39 mais 50 - 89 quilômetros de distância - então essas duas circunferências tocariam em apenas um lugar e saberíamos exatamente onde estávamos. Infelizmente, eles não são, e há dois lugares onde as circunferências se cruzam, e nós podemos estar em qualquer um deles.

Então o ser mágico nos diz que estamos exatamente a 29 quilômetros do centro de Cat City, que tem as coordenadas 71, 50. Extraímos essa circunferência e escrevemos sua equação - 𝑥 menos 71 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 50 tudo ao quadrado é igual a 29 ao quadrado - e descobrimos que ela corta cada uma das duas circunferências anteriores em dois lugares. Mas todas as três circunferências apenas se cruzam em um ponto, com as coordenadas 50, 30.

Agora, se todas as informações são 100 por cento precisas e o ser mágico estava nos dizendo a verdade, então agora sabemos exatamente onde estamos. Se os centros das circunferências tivessem caído em linha reta, provavelmente todas se cruzariam em dois lugares. Então, não poderíamos restringir nossa posição a apenas um lugar. Mas se pudermos fazer um acordo com o ser mágico para garantir que as informações que ele nos deu não sejam de circunferência com seus centros todos em uma linha reta, então poderemos descobrir exatamente onde estamos.

Agora usamos o desenho em escala para calcular nossa posição. Mas também podemos usar um pouco de álgebra, resolvendo o sistema de equações, para trabalhar com mais precisão. A outra vantagem da álgebra é que poderíamos programar um computador para resolver a resposta para nós muito rapidamente. Este é um tipo de analogia bidimensional simples à navegação por satélite.

Quando estendemos o sistema de coordenadas para três dimensões, obtemos esferas de possíveis posições, em vez de circunferências. E precisamos de quatro esferas com seus centros não em linha reta para trabalhar as coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧 de nossa localização, em vez de três. Mas ainda é apenas uma questão de resolver sistema de equações. Essa técnica de usar circunferências ou, no caso do GPS, esferas de pontos de referência conhecidos para elaborar um local é conhecida como trilateração. Mas é apenas parte do processo que seu dispositivo receptor GPS usa para descobrir onde você está.

Um sistema de comunicação do mundo real não tem um ser mágico que lhe diga as coordenadas exatas e as distâncias para os locais conhecidos. Em vez disso, em nossa analogia 2D, digamos que temos transmissores de rádio nos centros de Antville, Buffalo Town e Cat City, e eles estão transmitindo mensagens codificadas por tempo com suas coordenadas. Os transmissores de rádio sabem o tempo de forma super precisa, porque eles têm relógios atômicos. E eles também sabem exatamente onde estão.

As ondas de rádio são ondas eletromagnéticas que viajam à velocidade da luz, 299,792.458 quilômetros por segundo. Bem, essa é a velocidade no vácuo, e isso vai variar um pouco na atmosfera, mas não vamos nos preocupar com isso ainda. Para tornar as coisas mais simples em nosso exemplo 2D, digamos que tenhamos ondas de rádio especiais que viajam a apenas um quilômetro por segundo.

Então, estamos na paisagem sem características, sem saber onde estamos. Nós temos nosso receptor. E o sinal demora 39 segundos para chegar de Antville, 50 segundos para chegar a Buffalo Town e 29 segundos para chegar a Cat City. Se o relógio do nosso receptor estiver perfeitamente sincronizado com os relógios nos transmissores e continuar a rodar na mesma velocidade, então poderemos examinar as marcas de tempos nas mensagens e compará-las com a hora em que elas chegaram. E então podemos descobrir quanto tempo demoraram para chegar até aqui.

Sabemos que a velocidade é igual a distância dividida pelo tempo, então podemos reorganizá-la em distância igual a velocidade vezes o tempo. O sinal de Antville, por exemplo, levou 39 segundos para chegar até aqui, e a velocidade do sinal é de um quilômetro por segundo. Portanto, a distância até Antville é de um quilômetro por segundo vezes 39 segundos. São 39 quilômetros. Da mesma forma, podemos calcular as distâncias de Buffalo Town e Cat City a partir das diferenças nas marcas de tempo quando as mensagens foram enviadas e quando as recebemos.

Como as mensagens também contêm as coordenadas das cidades, é como se nosso ser mágico estivesse de volta, nos dando as informações, e sabemos que podemos descobrir exatamente onde estamos. Então, de volta ao mundo real tridimensional, os satélites de GPS têm relógios atômicos super precisos a bordo e são programados para transmitir simultaneamente suas coordenadas no espaço tridimensional, junto com a marca de tempo exato correspondente.

No entanto, o receptor de GPS médio não tem um relógio tão preciso. Eles seriam grandes e caros demais para serem colocados em seu smartphone. Isso significa que o tempo decorrido entre a saída do sinal e a chegada ao seu receptor não pode ser medido com a precisão que gostaríamos. Se os relógios estiverem dessincronizados, os cálculos dirão que você está em um lugar bem diferente do que estava.

Felizmente, a maioria dos receptores inteligentemente e repetidamente analisa as mensagens de muitos satélites e faz engenharia reversa dos cálculos que fizemos anteriormente para comparar onde eles realmente estão com a diferença de tempo que eles têm. Isso permite que eles atualizem seus relógios internos para manter um tempo muito mais preciso. Receptores de GPS não precisam de relógios atômicos porque podem efetivamente aproveitar os relógios atômicos dos satélites.

Quanto mais satélites seus receptores de GPS puderem ver, mais dados eles terão para trabalhar e mais precisos poderão ser. Em três dimensões, você geralmente precisa de pelo menos quatro sinais de satélites separados para descobrir onde você está, embora se você tiver três sinais, pode ser possível usar o centro da Terra como uma espécie de quarto satélite, supondo que você esteja na superfície da Terra. Mas isso quase certamente lhe dará uma ideia menos precisa de onde você está.

Se você está à vista de sete ou mais satélites e as condições são ideais, é possível obter resultados a apenas alguns metros de sua posição real em 95 por cento do tempo com sistemas GPS disponíveis publicamente. E isso pode ser melhorado com informações adicionais de sistemas suplementares baseados em terra.

Mesmo com as atualizações inteligentes do relógio e as múltiplas leituras de satélite, os sinais de rádio podem ser refletidos pelos prédios, árvores e até pelas nuvens e desacelerar levemente em partes mais densas da atmosfera, o que pode afetar o tempo que levam para chegar ao seu receptor. Isso torna muito complicado saber quando sua leitura de local é altamente precisa e quando é menos precisa.

Mas há uma coisa ainda mais surpreendente que os sistemas de navegação por satélite precisam levar em conta ao descobrir onde você está: a relatividade. Como os satélites estão viajando tão rapidamente em órbita ao redor da Terra, precisamos usar essa fórmula de dilatação de tempo ao calcular o tempo do ponto de vista do relógio no satélite.

No nosso caso, Δ𝑡 é o tempo em segundos, como observado por um observador teórico na Terra. Δ𝑡 sub zero é o tempo em segundos que se registra no relógio atômico a bordo do satélite. 𝑣 é a velocidade do satélite em metros por segundo. E 𝑐 é a velocidade da luz em metros por segundo. Agora, há 86,400 segundos em um dia, e a velocidade da luz é de 2.998 vezes 10 a oitava metros por segundo. Mas qual é a velocidade do satélite?

Bem, os satélites de GPS orbitam 20,000 quilômetros acima da superfície da Terra, e a Terra tem um raio de cerca de 6,371 quilômetros. Assim, o comprimento da circunferência da órbita, supondo que seja uma circunferência, é duas vezes 𝜋 vezes o raio da órbita, e isso faz 165,693,879.7 metros. Leva o satélite 11 horas e 58 minutos para orbitar a Terra uma vez; são 43,080 segundos. Isso significa que o satélite viaja a 3,846.19 metros por segundo, ou 13,846 quilômetros por hora, o que é bastante rápido.

Quando inserimos esses valores na fórmula, vemos que um dia parece um dia mais sete microssegundos para o satélite. Vai perder sete microssegundos por dia em comparação com um relógio na Terra, mesmo com o seu relógio atômico.

Mas isso não é tudo. Os satélites estão quatro vezes mais distantes do centro de massa da Terra do que do solo, o que torna o efeito gravitacional de toda essa massa mais fraca. De fato, o efeito gravitacional varia conforme o inverso do quadrado da distância da massa. Então a gravidade parece 17 vezes mais forte para nós no solo do que para o satélite. Isso significa que o espaço-tempo é deformado e os relógios funcionam mais rápido do que na Terra.

Podemos expressar as diferenças devido à gravidade em observações temporais feitas na Terra em comparação com o satélite usando esta fórmula, onde Δ𝑡 linha é o tempo em segundos que passa pelo relógio do observador sob a influência da gravidade, Δ𝑡 é o tempo em segundos que se registra em um relógio teórico observador-não-afetado-por-gravidade, 𝐺 é a constante gravitacional universal, 𝑀 é a massa do objeto gravitacional, a Terra em nosso caso, em quilogramas, 𝑟 é a distância em metros do objeto gravitacional e 𝑐 é a velocidade da luz em metros por segundo.

Se substituirmos os números, descobrimos que os relógios funcionam 45 microssegundos por dia mais rapidamente no satélite do que na Terra. Então sete microssegundos mais lentos por dia devido à alta velocidade e 45 microssegundos mais rápido por dia devido à menor gravidade. Isso faz uma diferença total de 38 microssegundos por dia.

Se não levássemos isso em conta, os horários chegariam a 38 microssegundos por dia. E como os sinais de rádio viajam à velocidade da luz, isso significaria que nossas medições se desviariam cerca de 11.4 quilômetros por dia. Satélite de navegação seria inútil. Você poderia dizer que não estaríamos onde estamos hoje sem as teorias especiais e gerais da relatividade de Einstein.

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