O portal foi desativado. Entre em contato com o administrador do portal.

Vídeo da aula: Aplicações de funções exponenciais Matemática • 9º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como resolver problemas contextualizados na realidade que envolvem funções exponenciais.

14:50

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como resolver problemas contextualizados na realidade que envolvem funções exponenciais. Para fazer isto, recordaremos as formas gerais da função exponencial. Começaremos com 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, onde a base 𝑏 é um número positivo diferente de um. No entanto, quando queremos modelar dados do mundo real de forma exponencial, precisamos de modificar isto um pouco. Utilizamos 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 vezes 𝑏 elevado a 𝑥. Ainda é verdade que 𝑏 é um número positivo diferente de um. A variável independente, a potência, geralmente representa alguma unidade de tempo. E a variável 𝐴 representa o valor inicial do que a função está a medir.

Podemos ver facilmente qual é o valor inicial quando 𝑥 é zero, quando nenhum tempo passou. Já dissemos que a base 𝑏 deve ser um número positivo diferente de um. Este valor para a base 𝑏 diz-nos algo sobre a taxa na qual a quantidade muda ao longo do tempo. Diz-nos como o nosso valor inicial está a mudar. E estas mudanças enquadram-se numa de duas categorias. Teremos uma função que aumenta com o tempo ou uma função que diminui com o tempo. Um aumento representa um crescimento exponencial, enquanto uma diminuição representa um decaimento exponencial. Quando estamos a lidar com crescimento exponencial, o valor de 𝑏 é maior do que um. E quando estamos a lidar com decaimento exponencial, o valor de 𝑏 será menor do que um.

Mas lembre-se, já dissemos que o valor de 𝑏 deve ser positivo. E isto significa que para o decaimento exponencial, o valor de 𝑏 deve estar entre zero e um. Antes de olharmos para qualquer exemplo, há mais uma coisa que precisamos de observar sobre esta taxa, este valor de 𝑏. Na modelação exponencial, muitas vezes lidaremos com aumento ou diminuição percentual. E precisamos de pensar cuidadosamente sobre como traduzimos um aumento percentual ou uma diminuição percentual num valor exponencial de base.

Digamos que queremos modelar uma diminuição de três por cento ao longo do tempo. Como sabemos que é uma diminuição, sabemos que estamos à procura de um valor exponencial de base entre zero e um. Também sabemos que três por cento é três em 100 ou, escrito na forma decimal, 0.03. No entanto, esta função modela a variação da quantidade inicial ao longo do tempo. E isto significa que não estamos a modelar o quanto perdemos; estamos a modelar quanto resta em cada unidade de tempo. E se três por cento é a diminuição, os 97 por cento permanecem. E isto significa que, como uma função, poderemos chamar isto de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 vezes 0,97 elevado a 𝑥. Também é possível modelar isto como a fração 97 sobre 100 elevado a 𝑥, embora seja mais comum neste tipo de modelação utilizar a forma decimal.

Agora vamos pensar em como modelaríamos um aumento de três por cento. Esta percentagem escrita na forma decimal é 0.03. Isto está a dizer-nos que a cada unidade de tempo, estamos a ganhar três por cento da quantidade inicial. E quando estamos a trabalhar com aumento exponencial, este valor de 𝑏 será maior do que um. E o que está a acontecer aqui é que temos 100 por cento do que começámos mais o aumento de três por cento a cada unidade de tempo. E modelamos isto como 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 vezes 1.03 elevado a 𝑥. Na modelação, existem algumas razões comuns que vemos repetidamente. Se o valor duplicar por cada unidade de tempo, o valor de 𝑏 é igual a dois. E se as variações ao longo do tempo forem um meio, o valor de 𝑏 será igual a um meio. Agora estamos prontos para considerar alguns exemplos.

O número de pessoas que visitam um museu está a diminuir três por cento ao ano. Este ano, houve 50.000 visitantes. Assumindo que a diminuição continua, escreva uma equação que possa ser utilizada para determinar 𝑉, o número de visitantes que haverá daqui a 𝑡 anos.

Quando estamos a lidar com a redução percentual, não estamos a lidar com uma função linear, então sabemos que precisaremos de uma função exponencial para modelar isto. Isto significa que utilizaremos a forma geral 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 vezes 𝑏 elevado a 𝑥. A nossa variável 𝑏 é a taxa de variação. A variável 𝑥 representa a unidade de tempo que estamos a medir. E 𝐴 representa o valor inicial. Precisamos de deixar claro aqui que queremos modelar o número de visitantes que haverá no museu.

Uma diminuição de três por cento dos visitantes significa que 97 por cento dos visitantes são mantidos. Como estamos a modelar o número de visitantes, utilizaremos 97 %. Vamos escrever esta percentagem na forma decimal 0.97. Sabemos que o nosso valor de 𝑥 está a ser medido em 𝑡 anos. E o nosso valor inicial, o nosso valor inicial, são os 50.000 visitantes deste ano. A nossa equação é modelada com um 𝑉 maiúsculo tal que temos a equação 𝑉 igual a 50.000 vezes 0.97 elevado a 𝑡.

No nosso próximo exemplo, temos um modelo e precisamos de interpretar os dados desse modelo.

Uma população de bactérias diminui como resultado de um tratamento químico. A população 𝑡 horas após a aplicação do tratamento pode ser modelada pela função 𝑃 de 𝑡, onde 𝑃 de 𝑡 é igual a 6000 vezes 0.4 elevado a 𝑡. Qual era a população quando o produto químico foi aplicado pela primeira vez? E qual é a taxa de diminuição da população?

A nossa função, que é a forma geral 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 vezes 𝑏 elevado a 𝑥. Nesta forma, o 𝐴 representa o valor inicial, o que significa que identificamos 6000 como o valor inicial. Uma maneira de verificar se isto é verdade será inserir 𝑡 igual a zero. Quando o tempo zero passa, sabemos que a bactéria tem a sua população original. 0.4 elevado a zero é igual a um e 6000 vezes um é igual a 6000, o que confirma o valor da população inicial. Agora voltamos a nossa atenção para a taxa de diminuição da população.

Para este modelo, sabemos que o valor de 𝑏 nos diz algo sobre a taxa. A função é escrita para nos dizer quantas das bactérias permanecem após 𝑡 horas. Se restar 0.4, então 0.6 é a quantidade que foi reduzida. Se começarmos com uma quantidade inteira, alguma taxa de diminuição nos dará 0.4 da população restante. E este valor aqui é 0.6. Geralmente queremos escrever isto na forma de percentagem, então dizemos que houve uma redução de 60 %. Este modelo está a mostrar-nos que, após o tratamento químico, há uma diminuição de 60 % por hora da população de bactérias.

No próximo exemplo, escreveremos um modelo e utilizá-lo-emos para resolver uma quantidade após um certo tempo.

Um microrganismo reproduz-se por fissão binária, onde por hora cada célula divide-se em duas células. Dado que havia 15.141 células no início, determine quantas células havia após cinco horas.

Como este microrganismo está a reproduzir-se, esperaremos mais células e não menos, o que significa que esperamos um crescimento exponencial. A nossa unidade de tempo é cada hora. Isto significa que podemos ter 𝑡 igual às horas após a contagem inicial. Se por hora uma célula divide-se em duas células, uma célula torna-se duas células numa hora. Após mais uma hora, as duas células tornam-se quatro. Isto representa o dobro das células por hora.

Então, precisamos de considerar a nossa forma exponencial 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 vezes 𝑏 elevado a 𝑥, onde 𝐴 é o nosso valor inicial, 15.141. 𝑏 é a taxa. Como a nossa taxa está a duplicar, 𝑏 é igual a dois. E a nossa variável será 𝑡. Serão unidades de tempo. Agora queremos pegar nesta função e utilizá-la para resolver quantas células havia após cinco horas, o que significa que precisamos de calcular 15.141 vezes dois elevado a cinco, que é 484.512. Após cinco horas, podemos esperar que este microrganismo tenha 484.512 células.

No nosso exemplo final, consideraremos alguns dados que temos e utilizá-los-emos para criar um modelo de população.

O censo dos EUA é realizado a cada 10 anos. A população do Texas era de 3.05 milhões em 1900 e 20.9 milhões em 2000. Ao modelar o crescimento como exponencial, responda às seguintes questões. Escreva uma função exponencial na forma 𝑃 de 𝑑 igual a 𝑃 zero vezes 𝑘 elevado a 𝑑 para modelar a população do Texas, em milhões, 𝑑 décadas após 1900. Arredonde o seu valor de 𝑘 com três casas decimais, se necessário. De acordo com o modelo, qual era a população do Texas em 1950? Dê a sua resposta com três algarismos significativos. E, por fim, reescreva a sua função na forma 𝑃 de 𝑦 igual a 𝑃 zero vezes 𝑏 elevado a 𝑦, onde 𝑦 é o tempo em anos após 1900. Arredonde o seu valor de 𝑏 com quatro casas decimais.

Vamos começar com o que sabemos. Em 1900, a população era de 3.05 milhões. E em 2000, este valor era de 20,9 milhões. Sabemos que a forma geral da função exponencial 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝐴 vezes 𝑏 elevado a 𝑥. Estamos a seguir esta forma geral com a função 𝑃 de 𝑑 igual a 𝑃 zero vezes 𝑘 elevado a 𝑑, onde o nosso 𝑑 representa o tempo em décadas após 1900. E isto significa que o nosso valor inicial 𝑃 zero deve ser a população em 1900. Como estamos a trabalhar em milhões, podemos deixar isto como 3.05. 𝑘 é o nosso valor desconhecido. Para resolver 𝑘, podemos utilizar o nosso outro ponto de dados.

Sabemos que em 2000 havia uma população de 20,9 milhões. Também sabemos que 2000 são 10 décadas após 1900. Substituindo tudo isto, podemos utilizar estas informações para resolver em ordem a 𝑘. Para isolar 𝑘, dividimos ambos os membros da equação por 3.05, o que nos dá 6.8524 e continua igual a 𝑘 elevado a 10. Em vez de arredondar, vamos deixar na nossa calculadora como está. Para isolar 𝑘, elevaremos ambos os membros desta equação a uma décima. 𝑘 elevado a 10 elevado a um décimo é igual a 𝑘, e 6.8524 elevado a uma décima é igual a 1.212228 e continua. Queremos arredondar este valor de 𝑘 com três casas decimais.

A quarta casa decimal tem dois. Então, dizemos que 𝑘 é igual a 1.212. Este valor de 𝑘 maior do que um diz-nos que estamos a lidar com crescimento populacional. E se pensarmos no número decimal 0.212 como uma percentagem, podemos dizer que a população está a crescer a uma taxa de cerca de 21.2 % a cada década. E criámos um modelo para calcular qual seria a população 𝑑 décadas após 1900. 𝑃 de 𝑑 é igual a 3.05 vezes 1.212 elevado a 𝑑. Utilizando este modelo, queremos estimar qual era a população em 1950. 1950 são 50 anos após 1900, ou seja, cinco décadas. Para calcular isto, queremos considerar 𝑃 de cinco, 3.05 vezes 1.212 elevado a cinco, que é igual a 7.9765 e continua. Três algarismos significativos neste caso serão até à segunda casa decimal. Se arredondarmos até à segunda casa decimal, obteremos 7.98. Com base no nosso modelo, podemos esperar que a população do Texas em 1950 tenha sido de 7,98 milhões.

Para a parte três desta questão, queremos reescrever o nosso modelo exponencial, onde a nossa unidade de tempo é anos em vez de décadas. Será um processo muito semelhante ao que fizemos na primeira parte. Ainda teremos o mesmo valor inicial de 3.05. Mas para resolver em ordem a 𝑦, utilizaremos nosso segundo ponto de dados. Em 2000, a população era de 20,9 milhões. E isto foi 100 anos após o nosso valor inicial. Então, substituiremos 100 para 𝑦 e, em seguida, podemos resolver em ordem a 𝑏. Dividindo ambos os membros da equação por 3.05, obtemos 6.8524 e continua igual a 𝑏 elevado a uma centésima. Novamente, não queremos arredondar este 6.852 e continua ainda. Vamos deixá-lo na nossa calculadora para que possamos elevar ambos os membros desta equação a uma potência de um sobre 100.

𝑏 elevado a uma centésima elevado a um sobre 100 é igual a 𝑏. E 6.8524 e continua para um sobre 100 é igual a 1.01943 e continua. Desta vez, estamos a arredondar com quatro casas decimais, o que significa que utilizaremos 𝑏 igual a 1.0194. O nosso valor de 𝑏 é menor do que o nosso valor de 𝑘. De acordo com o valor de 𝑏, o crescimento populacional por ano foi de 1.94 % contra um crescimento populacional de 21.2 % década após década. Portanto, para o nosso modelo anual, temos 𝑃 de 𝑦 igual a 3.05 vezes 1.0194 elevado a 𝑦.

A partir daqui, estamos prontos para rever os nossos pontos principais. A forma exponencial para modelar problemas do mundo real é 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐴 vezes 𝑏 elevado a 𝑥, onde 𝑎 é a quantidade inicial, 𝑏 é como a quantidade muda ao longo do tempo – quando 𝑏 é maior do que um, temos crescimento exponencial, quando 𝑏 está entre zero e um, temos decaimento exponencial – e 𝑥 é a unidade de tempo.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.