Vídeo: Utilizando Razões Trigonométricas para Determinar o Valor Exato de Funções Trigonométricas

Determine o valor exato de cos (sin⁻¹(5/13)).

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Determine o valor exato de cos da inversa do sen de cinco sobre 13.

Como nos pedem o valor exato, talvez não possamos simplesmente colocar esta expressão na nossa calculadora. E mesmo que a nossa calculadora nos forneça o valor exato de cos da inversa do sen de cinco sobre 13, provavelmente é uma boa ideia determinar porque é que esta expressão tem um valor exato.

Vamos começar por pensar na inversa do sen de cinco sobre 13. O que significa isto? No triângulo retângulo apresentado, o seno de 𝜃 é a razão entre o comprimento do lado oposto 𝜃 e o comprimento da hipotenusa. De certa forma, esta é a definição da função seno.

Aplicando a função inversa do seno a ambos os membros desta equação, vemos que 𝜃 é à inversa do seno de 𝑜 sobre ℎ. Se compararmos isto com a inversa do seno de cinco sobre 13, podemos ver que 𝜃 é a inversa do seno de cinco sobre 13 quando o comprimento do lado oposto 𝑜 é cinco e o comprimento da hipotenusa ℎ é 13. Alterando os valores de 𝑜 e ℎ no diagrama para cinco e 13, respetivamente, sen 𝜃 é agora cinco sobre 13 e assim 𝜃 é a inversa de sen de cinco sobre 13. Claro, estamos a procurar por cos da inversa do seno de cinco sobre 13, tal como 𝜃 é inversa do seno de cinco sobre 13 é cos 𝜃.

Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo é o comprimento do lado adjacente daquele ângulo dividido pelo comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo. E assim, olhando para o nosso diagrama, podemos ver que cos 𝜃 é 𝑎 — o comprimento do lado adjacente - sobre 13 — o comprimento da hipotenusa. Então, o valor exato que procuramos é apenas 𝑎 sobre 13, onde 𝑎 é o comprimento do lado adjacente.

Nós apenas temos que determinar o valor de 𝑎. Como determinamos esse valor? Bem, sabemos que pelo teorema de Pitágoras, num triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados. Então, aplicando isto ao nosso triângulo, 𝑎 ao quadrado mais cinco ao quadrado é igual a 13 ao quadrado. E podemos resolver esta equação para 𝑎, obtendo que 𝑎 ao quadrado é 144. E assim como 𝑎 é ​​positivo, 𝑎 deve ser 12. Utilizando este valor de 𝑎, descobrimos que o valor exato de cos da inversa do seno de cinco sobre 13 é 12 sobre 13.

Sempre que quiser calcular a composta de uma função trigonométrica com a inversa de outra função trigonométrica, como por exemplo, cos da inversa de seno como temos aqui ou também poderíamos ter inversa do cos de seno ou inversa da cot da tan, é uma boa ideia desenhar um triângulo retângulo como este ou, alternativamente, utilizar o círculo trigonométrico.

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