Vídeo: Áreas de Polígonos Regulares

Aprenda como utilizar trigonometria de triângulos retângulos e manipulação algébrica para deduzir uma fórmula para calcular a área de polígonos regulares a partir de comprimentos de arestas conhecidas. Depois, seguem-se dois exemplos, um deles trabalha-se em sentido contrário para determinar o comprimento de uma aresta sabendo a área.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como calcular a área de um polígono regular. Agora lembre-se de que um polígono regular é aquele em que todos as arestas têm o mesmo comprimento. E também todos os ângulos internos são iguais. Agora, existe uma fórmula para calcular a área de um polígono regular. E veremos primeiro de onde vem.

Portanto, deduziremos essa fórmula da área em termos de um pentágono. E, em seguida, analisaremos a generalização para polígonos com qualquer número de lados. Então, tenho aqui um diagrama de um pentágono regular. E o comprimento das arestas deste pentágono é 𝑥. Agora, o primeiro passo para elaborar esta fórmula da área é unir todos os vértices ao centro do pentágono. Desenhando assim como fiz aqui. Agora, o que isto faz é dividir o pentágono em cinco triângulos. E na verdade são triângulos congruentes. O que significa que todos têm exatamente o mesmo tamanho. Portanto, se quisermos descobrir a área total deste pentágono, podemos de facto focar num destes triângulos antes de mais, pensar em como determinar a sua área. E poderemos multiplicar a resposta por cinco para determinar a área total do pentágono. Então, vamos concentrar-nos num destes triângulos antes de mais. E desenhá-lo-ei novamente ao lado para que possamos visualizá-lo mais facilmente.

Aqui está um desses triângulos. Está um triângulo isósceles porque estas arestas que unem cada vértice ao centro do pentágono têm o mesmo comprimento. Então temos cinco triângulos isósceles congruentes em que pensar. Agora, sei que o comprimento da base deste triângulo é 𝑥, que é o comprimento da aresta do pentágono. E para já não tenho mais nenhuma informação. Então quero pensar se há mais alguma coisa que possa resolver sobre este triângulo. E de facto há. Posso calcular a amplitude ou a medida deste ângulo aqui. De volta ao contexto do pentágono original, este ângulo seria este ângulo aqui. E o que vê é que tem cinco destes ângulos agrupados à volta de um ponto.

Agora, como todos estes triângulos são congruentes, estes ângulos ao centro devem ser iguais. Então, se eu quiser calcular a amplitude de apenas um deles, preciso de dividir trezentos e sessenta, que é o total de ângulos à volta de um ponto, por cinco. Portanto, este ângulo na parte superior do meu triângulo, que escolhi identificar com 𝜃, é igual a trezentos e sessenta dividido por cinco. Agora, isto é obviamente igual a setenta e dois graus. Mas vou mantê-lo como trezentos e sessenta sobre cinco durante os meus cálculos. Para que se torne mais fácil generalizar para um polígono com um qualquer número de lados posteriormente.

Agora, se eu quiser determinar a área deste triângulo. Bem, a área de um triângulo é a base multiplicada pela altura dividida por dois. Portanto, no caso deste triângulo, isso será 𝑥 multiplicado por qualquer que seja a distância aqui e depois dividido por dois. A altura deste triângulo, que também vou marcar no meu diagrama do pentágono. Tem um nome muito específico no contexto dos polígonos. Chama-se apótema. E ao que se refere exatamente é um segmento de reta que liga o centro do polígono ao ponto médio de cada um dos lados. Portanto, como o nome é apótema, utilizarei 𝑎 minúsculo para me referir a esta neste triângulo aqui.

Então, gostaríamos de saber qual é o comprimento deste apótema, porque, se o souber, posso fazer a base vezes a altura sobre dois. Ou no contexto das letras que temos aqui, 𝑥 multiplicado por 𝑎 sobre dois. Portanto, é útil pensar numa subseção ainda menor do diagrama. E o que vou fazer é desenhar metade deste triângulo. Então, tenho este triângulo retângulo aqui. Agora, algumas informações que podemos colocar, esta altura é 𝑎 para a apótema. Esta base era o que era anteriormente 𝑥, mas agora tenho apenas metade. Então esta base aqui será 𝑥 sobre dois. E o ângulo, bem como o ângulo completo, foi identificado como 𝜃, que lembre-se era trezentos e sessenta sobre cinco. Novamente, tenho apenas metade disto. Então este ângulo aqui será 𝜃 sobre dois. Ou especificamente, bem, se é trezentos e sessenta sobre cinco e depois metade, poderia pensar nisso como cento e oitenta sobre cinco. Agora, novamente, é claro que isto tem um valor específico, trinta e seis graus. Mas vou mantê-lo assim para que possa generalizar mais facilmente mais tarde.

Agora, gostaria de saber o comprimento do apótema, supondo que sei qual é o comprimento da aresta deste polígono. É por isso que preciso de utilizar um pouco de trigonometria. Então vamos identificar os lados deste triângulo retângulo de acordo com este ângulo, 𝜃 sobre dois. Este lado aqui, 𝑥 sobre dois, é o oposto de um triângulo. E 𝑎, o apótema, é o adjacente porque está entre o ângulo reto e o ângulo conhecido. Ora, se eu pensar em trigonometria e se pensar em SOH CAH TOA, a razão trigonométrica que envolve o oposto e o adjacente é tangente. Então, vou utilizar tan aqui. E posso escrever o que a razão tan me diz sobre este triângulo. Assim, tan deste ângulo é o oposto dividido pelo adjacente, que é 𝑥 sobre dois dividido por 𝑎. Outra maneira de escrever o segundo membro seria 𝑥 sobre dois 𝑎. E posso escrever assim.

E a seguir, se procurar reorganizar isto para descobrir qual é o apótema. Bem, 𝑎 atualmente está no denominador desta fração no segundo membro. Portanto, se multiplicar os dois membros por 𝑎, terei 𝑎 vezes tan de cento e oitenta sobre cinco igual a 𝑥 sobre dois. E o passo final para isolar 𝑎 é dividir os dois membros desta equação por esta razão tangente, o que me dá esta expressão para o apótema. 𝑎 igual a 𝑥 sobre dois tan de cento e oitenta sobre cinco. Agora que tan está no denominador. Então, nesta fase, deve-se lembrar de que há outra razão trigonométrica chamada cot, que é equivalente a um sobre o tan. Então, eu poderia substituir aquele um sobre tan por cot. Em vez disto, o que tenho agora é esta expressão para o apótema aqui. 𝑎 igual a 𝑥 sobre dois multiplicado por cot de cento e oitenta sobre cinco. Isto dá-me um método para calcular o apótema deste polígono, se eu souber o comprimento da aresta.

Agora, voltando ao cálculo da área deste pentágono. Dissemos que, nesta fase, a área era equivalente à base vezes a altura divididos por dois para cada um destes triângulos. Então, agora só preciso de substituir o que são a base e a altura. Portanto, a base deste triângulo é 𝑥. E a altura, que é o apótema, é 𝑥 sobre dois vezes cot de cento e oitenta sobre cinco. Posso substituir esta parte. Lembre-se de que preciso de dividir por dois novamente. Portanto incluirei outra divisão por dois. Agora, isto simplifica um pouco. Tenho 𝑥 vezes 𝑥 no numerador. Pelo que pode ficar 𝑥 ao quadrado. E no denominador, existem dois fatores de dois. Que passam a quatro, o que me dá a área de 𝑥 ao quadrado sobre quatro vezes cot de cento e oitenta sobre cinco para cada um destes triângulos.

Mas lembre-se, existem cinco deles. Então, se quero a área total deste pentágono, preciso de multiplicar por cinco. Então, isto dá-me a seguinte fórmula. A área total do pentágono é de cinco 𝑥 ao quadrado sobre quatro multiplicado por cot de cento e oitenta sobre cinco. Onde lembre-se que 𝑥 representa o comprimento da aresta deste pentágono. Então, se eu soubesse que 𝑥 por exemplo era de quatro centímetros, é apenas uma questão de substituir esse valor nesta fórmula para determinar a área.

Agora, esta fórmula que acabámos de elaborar. Especificamente para um pentágono. Gostaríamos de ter uma fórmula que funcione para qualquer polígono. Apenas alguns ajustes muito pequenos que precisamos de fazer nesta fórmula. Se olharmos para a fórmula, existem dois lugares com o número cinco. E este número cinco é porque era um pentágono, que tinha cinco lados. Se quiser fazer com que funcione para qualquer polígono, tudo o que precisamos de fazer é substituir estes cinco pela letra 𝑛. Onde 𝑛 representa o número de lados que o polígono possui. Então, aqui temos a nossa fórmula geral. A área de um polígono regular de 𝑛 lados de comprimento lateral 𝑥 é dada por 𝑛, número de lados, multiplicado por 𝑥 ao quadrado sobre quatro vezes cot de cento e oitenta sobre 𝑛.

Agora, basta mencionar que isto pressupõe que estamos a trabalhar em graus e não noutro tipo de medida. Se estivesse a trabalhar em radianos pelo ângulo, estes cento e oitenta seriam substituídos por 𝜋 porque cento e oitenta graus é equivalente a 𝜋 radianos. Portanto, também pode ver versões desta fórmula escrita, onde o ângulo está em termos de 𝜋 em vez de cento e oitenta graus. Então, vamos analisar a sua aplicação numa questão.

A questão pede-nos para calcular a área de um hexágono regular de sete metros de comprimento da aresta.

Então, para recordar, aqui está a fórmula de que precisamos. A área é igual a 𝑛𝑥 ao quadrado sobre quatro multiplicado cot de cento e oitenta sobre 𝑛. Então, 𝑛 é o número de lados. Bem, para um hexágono comum, serão seis. E 𝑥, lembre-se, representa o comprimento do lado. Portanto, nesta questão é sete. Então, tudo o que precisamos de fazer é substituir os valores de 𝑛 e 𝑥 nesta fórmula. Portanto, temos que a área deste hexágono é igual a seis multiplicado por sete ao quadrado sobre quatro multiplicado por cot de cento e oitenta sobre seis, o que me dá duzentos e noventa e quatro sobre quatro multiplicado por cot de trinta. Neste ponto, posso utilizar a minha calculadora para calcular a resposta. Lembre-se de que estou a trabalhar em graus aqui. Então a minha calculadora precisa estar em modo graus. Portanto, calcular isto dá-me cento e vinte e sete vírgula três um metros quadrados. E arredondado a duas casas decimais.

Agora, suponha que não se lembra desta fórmula. Ou talvez goste de trabalhar um pouco mais a partir dos primeiros princípios. Pode resolver isto como fizemos quando deduzimos a fórmula. Então, aqui está o hexágono com lados de comprimento sete. Cada um destes ângulos ao centro é de sessenta graus, porque são trezentos e sessenta divididos por seis. E pode desenhar um destes seis triângulos congruentes. Então aqui está. E dividi ao meio. Agora, este comprimento aqui seria de três metros e meio, porque é metade dos sete. Este ângulo seria metade dos sessenta graus. Então são trinta graus. E pode utilizar a trigonometria como fizemos para calcular o comprimento do apótema. Então, teria tan de trinta igual a três vírgula cinco sobre 𝑎.

Reorganizando esta fórmula em ordem a 𝑎 daria 𝑎 igual a três vírgula cinco sobre tan de trinta ou três vírgula cinco cot de trinta. E teria tudo o que precisa para descobrir a área deste hexágono. Portanto, a área de cada triângulo seria base vezes a altura sobre dois, então sete vezes três vírgula cinco cot trinta e dois. Mas lembre-se, para o hexágono total, precisaríamos de multiplicar por seis, pois temos seis destes triângulos. E é claro que nos dá o mesmo valor de cento e vinte e sete vírgula três um metros quadrados. Então, aprende esta fórmula de cor, coloca-a na memória. Ou lembra-se do processo e do entendimento por trás dela, para poder trabalhar de maneira semelhante. Certo, a questão final que veremos aqui é.

A área de um decágono regular é cento e cinquenta e cinco vírgula oito centímetros quadrados. Qual é o perímetro do decágono?

Agora, antes de mais, uma lembrança de que o decágono tem dez lados. Portanto, estamos interessados ​​num polígono em que 𝑛 é igual a dez. Agora, olhando para a questão, não temos o comprimento da aresta em lado nenhum. Mas queremos calcular o perímetro. Portanto, esta é uma questão em que trabalhamos para trás, conhecendo a área, deduzindo o comprimento da aresta. E, em seguida, utilizando-o para calcular o perímetro do decágono. Assim, vamos precisar da nossa fórmula da área. Vamos lembrar-nos dela do trabalho anterior. Aí está. A área é 𝑛𝑥 ao quadrado sobre quatro multiplicado por cot de cento oitenta sobre 𝑛. Agora sabemos que 𝑛 é igual a dez porque estamos a trabalhar com um decágono. E também sabemos que esta área é igual a cento e cinquenta e cinco vírgula oito centímetros quadrados. Pelo que podemos formular uma equação. E aqui está. Dez vezes 𝑥 ao quadrado sobre quatro vezes cot de cento e oitenta sobre dez é igual a cento e cinquenta e cinco vírgula oito.

Então, agora temos uma equação que podemos resolver para calcular o valor de 𝑥. 𝑥 lembre-se de que representa o comprimento da aresta. E uma vez que o tenhamos, podemos facilmente calcular o perímetro. Então, vamos simplificar um pouco esta equação antes de mais. Dez sobre quatro simplificará para cinco sobre dois. E também cot de cento e oitenta e dez. Bem, isto é apenas cot de dezoito. Então, temos esta equação aqui. Agora, queremos isolar 𝑥 ao quadrado. Então temos este fator de dois no denominador. Também temos um fator de tan de dezoito no denominador, porque lembre-se de que cot é um sobre tan. Então, vou multiplicar os dois membros da equação por dois tan dezoito. E isso dar-me-á cinco 𝑥 ao quadrado igual a dois tan dezoito multiplicado por cento e cinquenta e cinco vírgula oito. E posso dividir os dois membros da equação por cinco, o que me dará esta linha aqui.

E vou calcular isto na minha calculadora. Lembre-se de que estou a trabalhar em graus. Então, dá-me 𝑥 ao quadrado igual a vinte vírgula dois quatro oito nove nove, e assim por diante. Em seguida, precisamos de aplicar a raiz quadrada para descobrir quanto é 𝑥. Então uso a minha calculadora para calcular a raiz quadrada de vinte vírgula dois quatro oito. E dá-me 𝑥 igual a quatro vírgula quatro nove nove oito oito oito. E este valor com um grau de precisão tão razoável é 𝑥 igual a quatro vírgula cinco. Então, calculei o comprimento de um lado deste decágono.

Mas ainda não terminei a questão porque me pediu para calcular o perímetro. Agora, no perímetro, só preciso de somar todos os lados. Bem, existem dez deles. E todos têm o mesmo comprimento. Portanto, o perímetro será de dez 𝑥. Então, dez vezes este valor que acabámos de calcular de quatro vírgula cinco. Portanto, o perímetro deste decágono é de quarenta e cinco centímetros.

Então, vimos a fórmula para calcular a área de um polígono regular. Lembre-se de que precisa de aprender de cor ou apenas ter confiança na lógica e no método por trás dela. Vimos como aplicá-la a questões. E também vimos o método de trabalhar para trás, desde o conhecimento da área até calcular o comprimento da aresta ou o perímetro do polígono.

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