Vídeo: Determinando a Distância de um Ponto a uma Reta No Plano Coordenado

Aprenda a calcular a menor distância entre um dado ponto e uma dada reta no plano coordenado. Esta é a distância numa reta que é perpendicular à reta dada.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver como determinar a menor distância entre um ponto e uma reta no plano de coordenadas. Então, esta é a situação em que estamos interessados. Temos um plano de coordenadas, uma reta e um ponto, e estamos de determinar a menor distância entre o ponto e a reta.

Agora, a primeira questão pode ser: “Bem, como é que eu determino em que direção esta distância deve estar?” Há muitas distâncias possíveis diferentes do ponto para a reta, dependendo do ponto da reta que escolha ligar. Um facto importante que precisa de estar ciente é de que a menor distância de um ponto a uma reta é a distância perpendicular. Então, quando nos referimos à distância entre um ponto e uma reta, é esta distância que estamos a tentar calcular.

Por isso, escolhi identificar a equação da reta na forma 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a 0, e escolhi identificar o ponto em que estavam interessados ​​como tendo as coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um. Existe uma fórmula que podemos utilizar para calcular a distância entre o ponto e a reta, e é esta fórmula aqui: 𝑙, que representa a distância, é igual ao valor absoluto ou o módulo de 𝑎𝑥 um mais 𝑏𝑦 um mais 𝑐 tudo dividido pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado.

Este símbolo de módulo no numerador significa que considera o valor absoluto de uma quantidade. Assim, se for um valor positivo, é apenas esse valor. Mas se for um valor negativo, multiplique-o por menos um. Assim, por exemplo, o módulo de seis é seis e o módulo de menos seis também é seis. Agora, esta fórmula é um atalho útil se puder se lembrar dela, mas também há um método mais completo que pode querer utilizar e que talvez seja um pouco mais intuitivo.

Este método não considera apenas esta distância menor 𝑙, mas a reta completa na qual faz parte. Agora esta reta é perpendicular à reta que dada na pergunta, então o primeiro passo é determinar a sua equação. Lembre-se, sabe as coordenadas de um ponto nesta reta, 𝑥 um, 𝑦 um. Também conhece o declive dessa reta porque é perpendicular à reta 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero. Precisa de utilizar a relação entre os declives de retas perpendiculares; isto é, que se multiplicam por menos um.

Depois de determinar a equação dessa reta, resolveria o sistema de equações com a equação da primeira reta para determinar o ponto de interseção das duas retas, o que fornecerá as coordenadas 𝑥 dois, 𝑦 dois. Uma vez que tenha as coordenadas deste ponto, passamos a utilizar a fórmula da distância para calcular a distância 𝑙, a raiz quadrada de 𝑥 dois menos 𝑥 um tudo ao quadrado mais 𝑦 dois menos 𝑦 um tudo ao quadrado. Isto é apenas uma aplicação do teorema de Pitágoras. Então, como mencionei, este método certamente será mais longo e talvez mais complexo do que utilizar a fórmula que mencionei anteriormente. Mas este é o método por trás do que esta fórmula está a fazer, assim veremos os dois métodos neste vídeo.

Determine o comprimento do segmento de reta perpendicular desenhado a partir do ponto 𝐴 — um, nove — para a reta menos cinco 𝑥 mais 12 𝑦 mais 13 igual a zero. Então, vamos responder a esta questão utilizando a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta. Então, a fórmula é esta se eu tiver uma reta com equação 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero e tiver um ponto com coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um, assim, a distância perpendicular entre eles 𝑙 é dada pelo módulo de 𝑎𝑥 um mais 𝑏𝑦 um mais 𝑐 tudo dividido pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado.

Então o que eu preciso de fazer é determinar os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 um e 𝑦 um e depois substituí-los na fórmula. Vamos olhar para a reta em primeiro lugar e compará-la com 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero. Isto mostra-se que 𝑎 é igual a menos cinco, 𝑏 é igual a 12 e 𝑐 é igual a 13. Agora, vamos ver o ponto 𝐴, que tem coordenadas um, nove. Isso diz-me que 𝑥 um é igual a um e 𝑦 um é igual a nove. Então agora eu tenho todos os valores de que preciso, e é apenas um caso de substituí-los nesta fórmula da distância 𝑙.

Então, temos que 𝑙 é igual a cinco vezes um mais 12 vezes nove mais 13, o módulo desta quantidade. A seguir, vamos dividi-lo pela raiz quadrada de menos cinco ao quadrado mais 12 quadrados. Isto dá-nos o módulo de menos cinco mais 108 mais 13 tudo dividido pela raiz quadrada de 25 mais 144. Isto dá o módulo de 116 sobre a raiz quadrada de 169. Agora, como 116 é positivo, então o seu módulo é apenas o seu próprio valor, pelo que o numerador será 116. E no denominador a raiz quadrada de 169 é exatamente 13. Portanto, temos a nossa resposta para o problema; o comprimento do segmento de reta perpendicular entre o ponto um, nove e a reta menos cinco 𝑥 mais 12𝑦 mais 13 igual a 0 é 116 sobre 13.

Determine o comprimento do segmento de reta perpendicular desenhado a partir do ponto 𝐴 — menos um, menos sete — para a reta que passa pelos pontos 𝐵 — seis, menos quatro — e 𝐶, nove, menos cinco. Então, a primeira coisa de que precisamos é saber a equação da reta que une os pontos 𝐵 e 𝐶. Então, eu determinarei essa equação utilizando a forma declive e ponto, 𝑦 menos 𝑦 um é igual a 𝑚𝑥 menos 𝑥 um. Primeiro, determinares o valor do declive 𝑚 da reta utilizando 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um. Não importa em que ordem coloque 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois, escolhi coloca-los nesta ordem.

Isto dá-me menos cinco menos menos quatro sobre nove menos seis. Que me dá um declive de menos um terço para esta reta. Em seguida, vou substituir um destes pontos na equação da reta. E novamente, não importa qual escolha. Eu escolhi substituir as coordenadas de 𝐵, pelo que substitui seis em 𝑥 um e menos quatro em 𝑦 um. Isto simplifica para dar 𝑦 mais quatro é igual a menos um terço 𝑥 mais dois. E, finalmente, se eu multiplicar toda a equação por três e agrupar todos os termos no primeiro membro, então isso dá a equação da reta que é 𝑥 mais três 𝑦 mais seis é igual a zero.

Ora, poderíamos responder a este problema utilizando a fórmula que está no ecrã, que nos diz que a distância mais curta perpendicular entre a reta 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero e o ponto 𝑥 um, 𝑦 um é dado pelo módulo de 𝑎𝑥 um mais 𝑏𝑦 um mais 𝑐 tudo sobre a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. No entanto, vou trabalhar com a matemática e a lógica por trás desta fórmula nesta questão. Ssim, eu acabei de desenhar um esboço para ajudar a visualizar a situação. Eu tenho a reta 𝑥 mais três 𝑦 mais seis é igual a zero e o ponto 𝐴 com coordenadas menos um e menos sete, e é esta distância 𝑙 que estou à procura.

A primeira coisa que vou fazer é determinar a equação da reta que liga 𝐴 à reta 𝑥 mais três 𝑦 mais seis igual a zero. Agora, existem duas coisas sobre esta reta; eu sei as coordenadas de um ponto na reta — menos um, menos sete — e sei que é perpendicular à reta 𝑥 mais três 𝑦 mais seis igual a zero. Então, isto é informação suficiente para me permitir determinar a sua equação. Como é perpendicular à primeira reta, posso utilizar o facto de que os declives de retas perpendiculares serem simétricos um do outro; multiplicam por menos.

Reorganizando a equação da primeira reta dá-me 𝑦 igual a menos um terço 𝑥 menos dois. Então eu posso ver que o declive da primeira reta é menos um terço. Isto significa que o declive de uma reta perpendicular deve ser três. Então, eu vou determinar a equação desta reta utilizando a forma do declive e ponto 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥 um. Agora sei que 𝑚 é três e sei que o ponto que vou utilizar, o 𝑥 um, 𝑦 um, é o ponto com coordenadas menos um, menos sete. Então isto dá-me 𝑦 menos menos sete é igual a três 𝑥 menos um. Isto pode ser simplificado nalgumas linhas de álgebra para dar a equação da reta 𝑦 igual a três 𝑥 menos quatro.

Então agora eu tenho as equações de ambas as retas. Há mais duas etapas no método que estou a utilizar aqui. A próxima etapa é determinar as coordenadas do ponto de interseção das duas retas, o ponto que identifiquei a laranja no diagrama. Para fazer isso, preciso de resolver o sistema de equações das duas retas. Eu vou fazê-lo utilizando substituição, substituindo a expressão 𝑦 da equação dois na equação um. Então isso dá-me 𝑥 mais três vezes três 𝑥 menos quatro mais seis igual a zero. Agora, existem algumas linhas de álgebra para resolver a equação de 𝑥, e deixarei que preencha essas informações por si. Mas se as fizer corretamente, levá-lo-á a 𝑥 é igual a três quintos.

Agora precisamos de encontrar o valor de 𝑦 então eu vou substituir 𝑥 igual a três quintos na equação dois. Assim, temos 𝑦 igual a três multiplicado por três quintos menos quatro, e isto dá-nos um valor de menos 11 sobre cinco. Então agora sabemos as coordenadas do ponto de interseção das duas retas, e só resta um passo no nosso método: precisamos de determinar a distância entre o ponto 𝐴 e este ponto de interseção que acabámos de calcular. Para fazer isso, podemos utilizar a fórmula da distância que nos diz que a distância 𝑙 é igual à raiz quadrada de 𝑥 dois menos 𝑥 um tudo ao quadrado mais 𝑦 dois menos 𝑦 um tudo ao quadrado onde 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois representam as coordenadas dos dois pontos dos quais pretendemos determinar a distância entre eles.

Então, substituindo os valores por 𝑥 um, 𝑥 dois, 𝑦 um e 𝑦 dois dá-me este cálculo aqui para 𝑙. Agora, se calcular isto com uma calculadora ou se trabalhar com a aritmética, levá-lo-á à raiz quadrada de 640 sobre 25. Mas isso pode ser simplificado, então temos uma resposta final simplificada de oito raiz de 10 sobre cinco unidades de comprimento. Pode confirmar que esta é a mesma resposta que teríamos alcançado se tivéssemos utilizado aquela fórmula padrão na questão.

Se o comprimento do segmento perpendicular traçado a partir do ponto menos cinco 𝑦 para a reta menos 15 𝑥 mais oito 𝑦 menos cinco igual a zero for de 10 unidades de comprimento, determine todos os valores possíveis de 𝑦. Portanto, esta questão está a pedir-nos o comprimento do segmento de reta perpendicular de um ponto a uma reta, pelo que precisamos de nos lembrar da fórmula padrão para a calcular. A fórmula é esta, que o comprimento do segmento perpendicular do ponto 𝑥 um, 𝑦 um para a reta 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero é dado pelo módulo de 𝑎𝑥 um mais 𝑏𝑦 um mais 𝑐 tudo dividido pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Também nos é dito que, nesta questão em particular, este comprimento é de 10 unidades de comprimento.

Então, vamos comparar as informações gerais com os valores específicos desta questão. Se eu olhar para a equação da reta em primeiro lugar, diz-me que 𝑎 é igual a menos 15, 𝑏 é igual a oito e 𝑐 é igual a menos cinco. Agora, se eu olhar para as coordenadas dos pontos em que estamos interessados, diz-me que 𝑥 um é igual a menos cinco e 𝑦 um acaba por ser a coordenada genérica 𝑦. Estou à procura dos possíveis valores de 𝑦, portanto, preciso de utilizar estas informações para estabelecer e resolver uma equação.

Então, substituindo estes cinco valores nos locais relevantes da fórmula e lembrando que me disseram que é igual a 10, dá-me esta equação aqui. Calcular as partes numéricas leva-me ao módulo de 70 mais oito 𝑦 dividido por 17 igual a 10. E multiplicando por 17, eu tenho que o módulo de 70 mais oito 𝑦 é igual a 170. Agora vamos ver o que este módulo significa; significa o valor absoluto de 70 mais oito 𝑦. Então 70 mais oito 𝑦 é igual a 170 ou pode ser igual a menos 170.

Isto significa que eu tenho duas equações lineares para resolver, levando a dois valores possíveis de 𝑦. A primeira equação dá oito 𝑦 igual a 100 e, em seguida, 𝑦 é igual a 100 sobre oito, o que simplifica para 25 sobre dois. A segunda equação dá oito 𝑦 igual a 240, e a seguir dividir por oito dá 𝑦 igual a menos 30. Portanto, nesta questão, há dois valores possíveis de 𝑦: 𝑦 igual a 25 sobre dois ou igual a menos 30.

Em resumo, vimos que a menor distância entre um ponto e uma reta é a distância de um segmento de reta perpendicular. Vimos a fórmula para calcular essa distância, 𝑙 igual ao módulo de 𝑎𝑥 mais um 𝑏𝑦 mais 𝑐 dividido pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Também vimos como adotar uma abordagem mais baseada nos primeiros princípios para responder a este problema resolvendo um sistema de equações lineares.

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