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Neste vídeo, aprenderemos como identificar, escrever e calcular uma função polinomial de uma variável e declarar seu grau e coeficiente principal.
Lemos isso como 𝑓 de 𝑥, onde 𝑓 é a função da única variável 𝑥. O grau, ou ordem, de 𝑓 é 𝑛, que é a maior potência da variável 𝑥 e deve ser um número inteiro não negativo. E os coeficientes 𝑎 sub 𝑖, onde 𝑖 vai de zero a 𝑛, são constantes reais. Até agora, você já trabalhou com algumas funções polinomiais, talvez sem perceber. Por exemplo, a área de um quadrado, que podemos chamar de 𝐴 de 𝑥, então 𝐴 é uma função de 𝑥, é o quadrado de seu comprimento lateral. E esta é uma função polinomial de grau dois. Um polinômio de grau dois é chamado de quadrático, e este, 𝐴 de 𝑥, tem coeficiente inicial igual a um.
O volume de um cubo, que podemos chamar de 𝑉 de 𝑥, é igual ao comprimento do lado ao cubo e este é um polinômio de grau ou ordem três. Chamamos isso de polinômio cúbico e, novamente, neste caso, seu coeficiente principal é igual a um. Outros exemplos de polinômios incluem funções lineares, que possuem grau um. Então, 𝑛 é igual a um, e uma função linear tem a forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 sub um vezes 𝑥 mais 𝑎 sub zero. E no exemplo mostrado, o coeficiente principal, 𝑎 sub um, é igual a três e a constante, 𝑎 sub zero, é igual a sete. Para uma função linear, como qualquer coisa elevada a um é ela mesma, podemos deixar de fora a potência 𝑛 igual a um de 𝑥.
Também vale a pena ressaltar que, como as potências de 𝑥 variam de zero a 𝑛, estamos incluindo 𝑥 elevado a zero em funções polinomiais. Só que, como qualquer coisa elevada a zero é igual a um e qualquer coisa multiplicada por um é ela mesma, não precisamos escrever explicitamente 𝑥 elevado a zero. Uma função polinomial de ordem ou grau 𝑛 não inclui necessariamente toda potência inteira não negativa de 𝑥 menor que 𝑛. Então, por exemplo, 𝑔 de 𝑥 como mostrado tem grau quatro, mas inclui apenas 𝑥 elevado a quatro, dois e zero, não 𝑥 elevado a três ou um.
Agora lembre-se, o grau 𝑛 deve ser um número inteiro não negativo, que é um número inteiro positivo ou zero. Portanto, funções como 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 não são funções polinomiais. E isso porque a raiz quadrada de uma expressão significa a expressão elevada a um meio, portanto, a potência ou expoente de 𝑥 não é um número inteiro não negativo. Da mesma forma, funções como 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥 mais dois não são funções polinomiais. Porque um sobre uma expressão é aquela expressão elevado a um negativo, que é um número inteiro negativo.
Por outro lado, as duas funções mostradas de graus dois e três, respectivamente, são funções polinomiais. A função 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 ao quadrado mais 11𝑥 menos um é outro exemplo de uma função quadrática. E 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro menos 𝑥 elevado a três, ou 𝑥 ao cubo, mais dois 𝑥 ao quadrado é outro exemplo de uma função cúbica. Na verdade, podemos ter polinômios onde 𝑛 é qualquer número inteiro não negativo. Então, nosso grau pode ser, por exemplo, 42 ou sete, como nos dois exemplos finais, respectivamente.
Para tornar nossa definição de uma função polinomial um pouco mais formal, definimos monômios, que são os blocos de construção dos polinômios, como o produto de constantes e variáveis em que as variáveis podem ter apenas expoentes inteiros não negativos. Considere a lista de expressões (a) a (g). Vamos ver quais desses são monômios.
A expressão (a) pode ser reescrita como 𝑥 elevado a um. E como um é um expoente inteiro não negativo, isso é um monômio. A expressão (b) consiste em uma variável 𝑡 elevado a seis, então isso também é um monômio, pois o expoente seis é um número inteiro positivo. A expressão (c), por outro lado, pode ser reescrita como 𝑥 elevado a um terço da potência, o que não é um número inteiro não negativo. Então, essa expressão não é um monômio.
Para (d), zero é na verdade um monômio, já que zero pode ser escrito como zero vezes 𝑥, ou qualquer outra potência de 𝑥. De fato, como foi indicado anteriormente, qualquer constante 𝑐 é um monômio, pois 𝑐 pode ser escrito como 𝑐 vezes 𝑥 elevado a zero. Isso é 𝑐 vezes um. Agora, para a expressão (e), isso não é um monômio, pois contém mais de um termo, embora na verdade seja a soma de monômios 𝑥 ao quadrado e um. A expressão (f) também não é um monômio, porque menos dois, que é o expoente de 𝑦, é um número inteiro negativo.
E, finalmente, a expressão (g) é um monômio. É um único termo e cada variável nesse termo é elevada a um expoente inteiro não negativo. Podemos reescrever isso como mostrado. E o fato de que a constante três sobre dois não é um número inteiro não importa, pois são apenas os expoentes das variáveis que devem ser números inteiros não negativos. Observe também que este é um monômio multivariável, pois existem três variáveis, 𝑥, 𝑦 e 𝑧.
Portanto, as expressões (a), (b), (d) e (g) são monômios.
Definimos um polinômio como uma expressão que é a soma de monômios, onde cada termo é chamado de monômio. Uma função polinomial é chamada de função polinomial. E vemos que cada termo em nossa função polinomial 𝑓 de 𝑥 é um monômio. Vamos ver um exemplo em que identificamos quais funções são funções polinomiais.
Qual das seguintes opções é uma função polinomial? A opção (A) 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 mais quatro. Opção (B) 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 elevado à potência menos dois mais dois 𝑥 mais quatro. A opção (C) 𝑓 de 𝑥 é igual a um sobre 𝑥. Opção (D) 𝑓 de 𝑥 é igual a duas vezes 𝑥 elevado à potência menos dois. Ou a opção (E) 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais quatro.
Para responder a essa pergunta, lembramos que, por definição, todo termo de uma função polinomial de variável única deve ser um monômio. Esse é um produto de constantes e uma única variável com apenas expoentes inteiros não negativos. Vamos passar por cada opção, uma por uma, para ver se elas correspondem a essa definição.
Primeiro, vemos que a opção (A) contém o termo raiz 𝑥, que é equivalente a 𝑥 elevado à metade. Como essa é uma potência não -inteira da variável, a opção (A) não pode ser uma função polinomial. Agora, se considerarmos a opção (B), desta vez a função contém uma potência inteira negativa de 𝑥, ou seja, dois negativos. Portanto, a opção (B) não pode ser uma função polinomial. E, de fato, a opção (D) contém a mesma potência de 𝑥. Então, podemos descontar a opção (D) pelo mesmo motivo.
Agora, vamos ver a opção (C). Pelas leis dos expoentes, sabemos que um sobre 𝑥 pode ser escrito como 𝑥 elevado à potência menos um. E como isso é 𝑥 elevado a um número inteiro negativo, a opção (C) não pode ser uma função polinomial. Isso deixa a opção (E).
Passando por cada termo da opção (E), vemos que, primeiro, 𝑥 ao quadrado é a variável 𝑥 elevada a um expoente inteiro positivo. Dois 𝑥 podem ser escritos como duas vezes 𝑥 elevado à um, então esse termo é o produto de uma constante, dois, e a única variável 𝑥 elevada a um expoente inteiro positivo. E o termo final, quatro, é uma constante, que pode ser escrita como quatro vezes 𝑥 elevado à potência zero. Como esse termo é um monômio, a função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais quatro é uma soma de monômios. Portanto, apenas a opção (E) é uma função polinomial.
Agora, vamos ver como podemos construir uma função polinomial a partir de informações fornecidas sobre um problema do mundo real.
Um serviço de ônibus cobra uma taxa fixa de cinco libras e duas libras adicionais para cada parada de ônibus aprovada. Escreva uma função polinomial para representar o custo de uma viagem.
Para construir uma função polinomial que representa o custo de uma viagem no ônibus, primeiro precisamos extrair as informações relevantes da pergunta. Somos informados de que há uma taxa fixa de cinco libras. Essas cinco libras serão uma constante em nossa função. Em seguida, somos informados de que há uma taxa adicional de duas libras para cada parada de ônibus aprovada.
O número de pontos de ônibus passados é uma quantidade variável, então vamos chamar isso de 𝑥. E é importante notar que 𝑥 deve ser um número inteiro positivo, pois representa o número de paradas de ônibus passadas. Isso significa que, se passarmos 𝑥 número de paradas de ônibus, precisamos pagar duas 𝑥 libras mais a taxa fixa de cinco libras. Este é o custo total da viagem de ônibus. E escrevendo isso em função de 𝑥, temos 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 mais cinco. Nossa resposta é, portanto, 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 mais cinco.
Vale a pena verificar se essa função é na verdade um polinômio, pois a questão pede explicitamente uma função polinomial. Para fazer isso, lembramos algumas definições. O primeiro é um monômio. Este é um produto de constantes e variáveis, onde os expoentes das variáveis só podem ser números inteiros não negativos. A segunda definição é a de uma função polinomial. Esta é uma função que é uma soma de monômios.
Em nosso caso, nosso primeiro termo é dois 𝑥. Agora, dois 𝑥 são na verdade duas vezes 𝑥 elevado a um. Então, temos o produto de uma constante, dois, e 𝑥 elevado a um expoente inteiro positivo, um. Este termo é, portanto, um monômio. Nosso segundo termo é a constante cinco. E isso pode ser escrito como cinco vezes 𝑥 elevado a zero, lembrando que 𝑥 elevado a zero é igual a um. Então, o segundo termo cinco também é um monômio, e nossa função 𝑓 de 𝑥 é a soma dos monômios.
Portanto, o custo da viagem de ônibus, onde 𝑥 é o número de paradas de ônibus passadas, pode ser representado como a função polinomial 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 mais cinco. Lembre-se de que, para calcular uma função em um valor específico da variável, 𝑥, digamos que 𝑥 é igual a 𝑎, substituímos 𝑥 igual a 𝑎 em 𝑓 de 𝑥 sempre que 𝑥 ocorre e depois calculamos o resultado. Por exemplo, se nos for pedido para calcular 𝑓 de 𝑥 igual a sete 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado mais três em 𝑥 igual a dois, sempre que tivermos um 𝑥 em 𝑓 de 𝑥, substituímos o valor de 𝑥 igual a dois. E como dois elevado a três, ou ao cubo, são oito e dois ao quadrado são quatro, isso dá 56 menos 16 mais três, que é 43.
Vamos ver outro exemplo disso.
Se 𝑓 de 𝑥 é igual a menos oito 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais quatro, encontre 𝑓 de menos três.
Somos solicitados a encontrar o valor de 𝑓 de menos três. E lembramos que esta é a notação de função para o valor de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 é igual a menos três. Isso significa que em nossa função 𝑓 de 𝑥, sempre que tivermos um 𝑥, substituímos menos três. Então, temos 𝑓 de menos três é igual a menos oito vezes menos três ao quadrado menos três vezes menos três mais quatro. Isso é menos oito vezes nove mais nove mais quatro, que resulta em menos 59. Portanto, 𝑓 de menos três é igual a menos 59.
Antes de passarmos para mais alguns exemplos, vamos nos lembrar de algumas terminologias que nos ajudarão a descrever o tipo de função polinomial com a qual estamos trabalhando. Lembre-se, para um polinômio de variável única, o maior expoente de uma variável em qualquer termo diferente de zero é chamado de grau ou ordem de um polinômio. O termo em um polinômio com o maior grau é chamado de termo principal do polinômio e o fator constante do termo principal em um polinômio é chamado de coeficiente principal. Vamos ver um exemplo.
Encontre o grau e o coeficiente principal da função polinomial 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 elevado a quatro mais dois 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑥 ao quadrado mais sete.
Para responder a isso, lembramos que, para uma função polinomial de variável única, o grau do polinômio é o maior expoente de uma variável em qualquer termo diferente de zero. Para encontrar o grau da função polinomial dada, notamos que a única variável é 𝑥. E podemos reescrever o termo final para incluir 𝑥 elevado a zero, já que 𝑥 elevado a zero é igual a um. A variável então aparece em cada termo diferente de zero. Podemos ver que 𝑥 tem expoentes quatro, três, dois e zero. E o maior desses expoentes é igual a quatro. O grau da função é, portanto, quatro.
Observamos ainda que o termo em um polinômio com o maior grau é chamado de termo principal do polinômio. E no nosso caso, o termo com o maior grau é o termo em que o expoente de 𝑥 é quatro. Isso é três vezes 𝑥 elevado a quatro. Então, este é o nosso termo principal. Mas não nos é pedido o termo principal da função polinomial; nos é pedido o coeficiente principal. Esse é o fator constante do termo principal, e isso é igual a três. Portanto, o grau da função polinomial dada é quatro e seu coeficiente principal é três.
Podemos obter informações sobre a forma e a complexidade de um polinômio a partir de seu grau. E damos nomes específicos a algumas famílias de polinômios com base em seu grau. Vimos alguns deles no início deste vídeo. Uma função polinomial de grau zero é chamada de função constante. Uma função polinomial de grau um é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau dois é chamada de função quadrática. Um de grau três é chamado de função cúbica. Uma função polinomial de grau quatro é chamada de função de quarto grau. E um de grau cinco é uma função de quinto grau.
Como vimos, uma função constante tem a forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 para algum número real 𝑎. Podemos escrever isso como 𝑎 vezes 𝑥 elevado a zero, pois 𝑥 elevado a zero é igual a um. Portanto, o grau é zero. É importante notar, no entanto, que para o caso especial em que 𝑎 é igual a zero, isso é chamado de polinômio zero. E lembrando a definição de grau, o maior expoente de uma variável em qualquer termo diferente de zero, nessa função especial, todo termo é zero. Portanto, deixamos o grau do polinômio zero como indefinido. Existem nomes para polinômios de grau superior a cinco, mas normalmente não os usamos. Vejamos um exemplo de determinação do tipo de função polinomial.
Identifique o nome da função polinomial 𝑓 de 𝑥 igual a dois 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 ao cubo mais três 𝑥 mais cinco.
Agora podemos ser tentados a nomear nossa função polinomial com algo como Fred ou Philomena. Mas isso seria bobo. Em vez disso, lembramos que nomeamos funções polinomiais com base em seu grau. Ou seja, em um polinômio de variável única, o grau é o maior expoente de uma variável em qualquer termo diferente de zero. Podemos reescrever a função dada como mostrado, de modo que todo termo seja produto de uma constante e uma variável de uma potência. Portanto, o termo final é na verdade cinco 𝑥 elevado a zero e o termo anterior é três 𝑥 elevado a um.
Vemos agora que o maior expoente da variável 𝑥 é três no segundo termo. Então, esse é o grau do polinômio. Finalmente, lembramos que polinômios de variável única de grau três são chamados de funções cúbicas. Portanto, 𝑓 de 𝑥 é uma função cúbica.
Vamos agora concluir este vídeo recapitulando alguns dos pontos importantes que abordamos.
Primeiro, um monômio é um produto de constantes e variáveis em que as variáveis podem ter apenas expoentes inteiros não negativos. Um polinômio é uma expressão que é uma soma de monômios. Um polinômio de variável única é um polinômio que contém uma única variável. O grau de um polinômio é o maior expoente da variável em qualquer termo diferente de zero. O termo principal de um polinômio é o termo com o maior grau. O coeficiente principal é o fator constante do termo principal.
E, finalmente, certos tipos de funções polinomiais têm nomes específicos com base em seu grau. Um polinômio de grau zero é chamado de função constante. O grau um é uma função linear. O grau dois é uma função quadrática. O grau três é cúbico. O grau quatro é chamado de função de quarto grau. E um polinômio de grau cinco é chamado de função de quinto grau.
