Vídeo: Simplificando Radicais — Minimizando o valor sob a raiz

Entenda como usar fatores quadrados para minimizar o valor sob a raiz em uma expressão radical e como usar isso para simplificar expressões radicais.

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Transcrição do vídeo

Vamos dar uma olhada na simplificação de radicais. Agora, dependendo de onde você mora, você pode usar palavras como surds ou números irracionais, mas todas elas significam a mesma coisa. Agora, o que vamos nos concentrar é essa ideia de minimizar o radical. Então, se temos algo nesse formato aqui, como a raiz quadrada de vinte, é considerado educado entre os matemáticos, minimizar o número que está dentro da raiz quadrada. Então, procuramos por fatores que são números quadrados e então os fatoramos como temos aqui e simplificamos. E para que o número que resta dentro da raiz quadrada ou do radical seja tão pequeno quanto possível. Isso é chamado de “simplificação de radicais”. Então, vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

Logo, nosso primeiro exemplo é simplificar a raiz quadrada de oito. Então, o que precisamos fazer é olhar para oito e ver se podemos encontrar quaisquer fatores que sejam números quadrados. Na verdade, o que realmente queremos fazer é procurar o maior número, que é um número quadrado e também é um fator de oito, que podemos encontrar. E podemos ver que quatro e dois são fatores de oito. E quatro é um número quadrado, então vamos ter que pegar a raiz quadrada de quatro e obter um inteiro. Então nós vamos escrever isso um pouco diferente. Portanto, a raiz quadrada de oito é igual à raiz quadrada de quatro vezes dois. E podemos separar isso em dois termos: a raiz quadrada de quatro e a raiz quadrada de dois, e estamos multiplicando os dois. Portanto, este termo aqui e este termo aqui são todos equivalentes. E a raiz quadrada de quatro é dois. Então, isso nos dá duas vezes a raiz de dois, e essa é a resposta aqui.

A próxima pergunta é simplificar a raiz quadrada de cinquenta. Bem, existem alguns fatores diferentes de cinquenta. Então nós temos cinco; nós temos dez, mas eles não são números quadrados. Então lembre-se, o que estamos procurando é o maior fator de cinquenta, que é um número quadrado. Então eu costumo apenas dizer o que é cinquenta dividido por dois, o que é cinquenta dividido por três, o que é cinquenta dividido por quatro e continuar fazendo isso até que minha resposta seja um número quadrado. E, de fato, cinquenta dividido por dois é vinte e cinco e vinte e cinco é um número quadrado. Então eu posso reescrever a raiz quadrada de cinquenta como a raiz quadrada de vinte e cinco vezes dois. E isso é o mesmo que a raiz quadrada de vinte e cinco vezes a raiz quadrada de dois. E, claro, a raiz quadrada de vinte e cinco é cinco. Então, isso equivale a cinco raiz de dois.

E o próximo, simplifique a raiz quadrada de vinte e oito. Ok, então, novamente, estamos procurando por fatores de vinte e oito que sejam números quadrados. Então vinte e oito dividido por dois é catorze; dois e quatorze não são números quadrados. Vinte e oito dividido por quatro é sete, assim quatro e sete, quatro é um número quadrado. Vamos tentar, dividir por três? Não. E então estamos dividindo por quatro; oh, nós voltamos para quatro novamente. Então, ficamos sem fatores. Então, sabemos que o maior fator quadrado é quatro. Assim, podemos escrever isso como a raiz quadrada de quatro vezes sete, o que equivale à raiz quadrada de quatro vezes a raiz quadrada de sete. E, claro, a raiz quadrada de quatro é dois. Então, isso nos dá a nossa resposta de duas vezes raiz de sete ou apenas dois raiz de sete.

Ok, então o último exemplo rápido que vamos olhar é este: a raiz quadrada de trinta e dois. Então, vamos pensar em fatores que são números quadrados. Então, se eu tentar dividir por dois, depois por três, depois por quatro e ver qual dos outros fatores aparece como um número quadrado, trinta e dois dividido por dois é dezesseis. E, claro, dezesseis é um número quadrado. Então, raiz de trinta e dois é o mesmo que raiz de dezesseis vezes dois. E como vimos antes, é o mesmo que a raiz quadrada de dezesseis vezes a raiz quadrada de dois. E porque a raiz quadrada de dezesseis é quatro; isso é equivalente a quatro vezes a raiz de dois ou apenas quatro raiz de dois.

Agora vale a pena fazer isso novamente de uma maneira um pouco diferente, apenas para mostrar alguns dos problemas que você pode encontrar se você não achar o maior fator desse número, que é um número quadrado. Então, por exemplo, trinta e dois também tem os fatores quatro e oito, então quatro vezes oito. Quatro é um número quadrado. Então eu escrevi isso como a raiz quadrada de quatro vezes oito, que é claro a raiz quadrada de quatro vezes a raiz quadrada de oito, o que nos dá dois raiz de oito. Então, achamos duas respostas diferentes para a mesma pergunta. Mas o problema é que essa segunda que temos aqui não está totalmente simplificada porque, como vimos aqui, a raiz quadrada de oito pode ser escrita como dois raiz de dois; de modo que está em sua forma mais simples. Como não encontramos o maior fator de trinta e dois, que é um número quadrado, simplificamos um pouco, mas não simplificamos totalmente essa expressão. Porque a raiz de oito é o mesmo que dois raiz de dois, essa expressão aqui significa duas vezes dois raiz de dois, que são obviamente quatro raiz de dois. Então, continuando e identificando o fato de que eu não o simplifiquei totalmente, ainda posso obter a mesma resposta correta. Mas a vida é muito mais fácil se você encontrar o maior fator quadrado do número em primeiro lugar.

Ok, então vamos dar uma olhada nessa questão. Resolva 𝑥 ao quadrado é igual a duzentos, deixando sua resposta em formato de número irracional em sua forma mais simples. Por isso, diz formato de número irracional aqui. Isso pode ser dito em formato radical ou pode dizer expressá-lo como um múltiplo de número irracional; você poderia encontrar isso em qualquer uma dessas formas. Então, vamos apenas escrever essa expressão: 𝑥 ao quadrado é igual a duzentos. Bem, se estamos resolvendo isso, queremos saber o que 𝑥 é igual. Então, o que nós temos que fazer para transformar em 𝑥? Bem, precisamos pegar a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Assim, a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado é 𝑥 e isso é igual à raiz quadrada de duzentos. Mas não é tão simples assim, porque pode ser positivo para a raiz de duzentos ou pode ser negativo para a raiz de duzentos, porque negativo vezes negativo torna-se positivo.

Então, lá vamos nós, 𝑥 é igual a mais ou menos raiz de duzentos. Bem, nós resolvemos isso, mas ainda precisamos colocá-lo em sua forma mais simples. Então, temos que tentar encontrar fatores de duzentos, que são números quadrados e queremos o maior daqueles que temos. Então eu estou procurando o maior fator quadrado que eu possa encontrar de duzentos e depois vezes outra coisa. Então, duzentos, então vamos dividir por dois, dividir por três, dividir por quatro até encontrarmos o fator que é um número quadrado. Então duzentos dividido por dois é cem. Ah, isso é um número quadrado. Então são cem vezes dois. E lembre-se que podemos dividir o cem e o dois, de modo que temos mais ou menos a raiz quadrada de cem vezes a raiz quadrada de dois. E a raiz quadrada de cem é dez. Isso se torna dez vezes raiz de dois ou dez raiz de dois. Portanto, nossa resposta final aqui é mais ou menos dez raiz de dois.

No próximo exemplo, um retângulo tem lados de cinco mais raiz de sete centímetros e cinco menos raiz de sete centímetros. Encontre o perímetro e a área do retângulo, dando suas respostas em sua forma mais simples. Então, primeiro de tudo, eu recomendo fortemente desenhar um diagrama, sempre ajuda você a coletar seus pensamentos e entender o que você tem que fazer. Então, basicamente, temos um lado que tem um comprimento de cinco mais raiz de sete. Vou colocar isso entre parênteses apenas para deixar alguns dos nossos cálculos mais claros. E o outro lado é cinco menos raiz de sete. Então, para calcular o perímetro, vou somar o comprimento de todos os lados, de modo que temos um mais o outro mais o outro mais o outro. E para trabalhar a área, você apenas faz o comprimento vezes a largura do retângulo.

Então, para trabalhar no perímetro, temos cinco menos raiz de sete aqui e cinco menos sete de raiz aqui. Então, vamos adicionar esses dois, então esse dois aqui. Então, dois vezes cinco menos raiz de sete e temos cinco mais raiz de sete aqui. E nós temos que adicionar isso a mais cinco raiz de sete aqui, então nós temos dois dos que estamos adicionando aqui. Então, é meio que multiplicar os parênteses assim. Estes dois vezes cinco e dois vezes raiz de sete e depois dois vezes cinco e dois vezes menos raiz de sete. Assim, o primeiro parêntese, dois vezes cinco é dez e dois vezes raiz de sete são dois raiz de sete. E para o segundo parêntese, temos dois vezes raiz de cinco - desculpe! dois vezes cinco que são outros dez, e temos dois vezes menos raiz de sete, que é menos dois raiz de sete. Então eu tenho dez e estou adicionando mais dez, o que nos dá vinte. E então eu tenho dois raiz de sete. E então eu estou tirando a mesma quantia - outro dois raiz de sete. Então esses dois termos vão se anular. Então o comprimento total é vinte. Lembre-se de adicionar no comprimento - as unidades que são centímetros. Então a resposta é que o perímetro é de vinte centímetros.

E agora vamos trabalhar na área, eu vou multiplicar o comprimento pela largura. Então, isso é cinco mais raiz de sete vezes cinco menos raiz de sete. Então, para multiplicar esses parênteses, vou usar meu método PEIU - Primeiro, Exterior, Interior, Último – ou a distributiva. Então cinco vezes cinco são vinte e cinco; cinco vezes menos raiz de sete é menos cinco raiz de sete. Então eu tenho cinco vezes a raiz de sete novamente, mas isso é positivo vezes positivo neste caso, que está fazendo um positivo cinco raiz de sete. E, em seguida, raiz de sete vezes raiz de sete, e nós temos um positivo vezes negativo que dá negativo.

Portanto, a expressão é vinte e cinco menos cinco raiz de sete mais cinco raiz de sete. Bem, eles vão se anular. Pois se eu tiver menos cinco raiz de sete e adicionar cinco raiz de sete, vou somar algo ao seu próprio negativo; Eu vou chegar a zero e então eu tenho menos raiz de sete vezes raiz sete.

Agora a definição de uma raiz quadrada é o que é quando você multiplica a raiz dela por ela mesma e você obtém o próprio número. Então, raiz de sete vezes a raiz de sete será sete. Pense nisso, se você tivesse a raiz quadrada de quatro vezes a raiz quadrada de quatro, bem a raiz quadrada de quatro é dois. Então duas vezes dois é quatro. Se eu tivesse a raiz quadrada de dezesseis vezes a raiz quadrada de dezesseis, a raiz quadrada de dezesseis é quatro, de modo que quatro vezes quatro nos dariam dezesseis. Então a raiz quadrada de sete vezes a raiz quadrada de sete é apenas sete. Então, isso significa que temos vinte e cinco menos sete, e vinte e cinco menos sete é dezoito. Lembre-se que a unidade para a área é centímetros quadrados ao quadrado, porque as medidas estavam em centímetros. Portanto, nossa resposta é de dezoito centímetros ao quadrado.

Certo, vamos seguir para o nosso exemplo final, nesta seção. Simplifique totalmente um mais raiz de dois vezes quatro menos raiz dois, dando sua resposta na forma a mais b raiz de dois, onde 𝑎 e 𝑏 são inteiros. Então, o que eles estão dizendo para você fazer basicamente é multiplicar esses parênteses. E acabamos de ver um exemplo disso usando o método PEIU, mas eles estão pedindo a resposta em um formato muito específico. E eles pretendem lançar esses tipos de pequenas reviravoltas na tentativa de tirar você do sentido algumas vezes. 𝑎 mais 𝑏 raiz dois, então isso significa apenas um inteiro - portanto, um número inteiro - mas um número inteiro multiplicado pela raiz quadrada de dois. Então, eles não estão perguntando pelo valor de 𝑎 ou 𝑏 particularmente, eles estão apenas pedindo para você representar sua resposta nesse formato. Ok, vamos escrever a pergunta e parar de multiplicar os parênteses.

Então, vamos fazer uma vez quatro, o que nos dá quatro. Então vamos fazer um vezes menos raiz de dois, que é apenas menos raiz de dois. Em seguida, raiz de dois vezes quatro ou quatro vezes raiz de dois, ambos são números positivos; então vai ser uma resposta positiva. E depois temos raiz de dois vezes menos raiz de dois. Então, o positivo vezes o negativo nos dará uma resposta negativa e, em seguida, temos raiz de dois vezes a raiz de dois. Então, eu realmente preciso disso por enquanto, mas sabemos que a raiz de dois vezes raiz de dois, como acabamos de ver, é apenas dois. Então, temos quatro para tirar dois em termos de números racionais normais e quatro menos dois é dois. E então vamos começar com a raiz negativa de dois. Bem, isso realmente significa que há apenas uma delas. Então, é realmente menos um raiz dois, um vezes raiz de dois. E então estamos adicionando mais quatro vezes raiz de dois. Então, se começarmos com um número negativo na linha numérica e adicionarmos quatro, vamos um, dois, três, quatro passos até três positivos.

Então aqui está a nossa resposta, dois mais três raiz de dois. E isso coincide com o formato que nos foi pedido para dar a resposta. Assim, neste caso, 𝑎 seria dois e 𝑏 é o multiplicador da raiz de dois aqui seria igual a três. Basta verificar os sinais com cuidado. Então nos perguntaram por 𝑎 mais 𝑏 raiz de dois. Bem, nós temos dois mais três raiz de dois. Então sabemos que 𝑎 será dois e 𝑏 será três. Como eu disse antes, eles não pediram o valor de 𝑎 e 𝑏. Mas em algumas perguntas, eles fazem; então, pelo menos, agora você sabe como responder a esse tipo de pergunta também. Então, espero que isso tenha ajudado você a ver como simplificar os radicais ou os números irracionais ou surds em alguns exemplos básicos.

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