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Vídeo da aula: Integrais Definidas como Limites das Somas de Riemann Matemática • Ensino Superior

Neste vídeo, aprenderemos como interpretar uma integral definida como o limite de uma soma de Riemann quando o tamanho das partições tender a zero.

14:49

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, procuraremos definir formalmente a integral definida de uma função como o limite de uma soma de Riemann. Ao fazer isso, estabeleceremos como podemos expressar integrais definidas como limites das somas de Riemann e vice-versa. E calcularemos uma integral definida tomando o limite da soma de Riemann correspondente escrita em notação sigma.

Lembre-se, podemos estimar a área entre a curva e o eixo 𝑥, que é delimitada pelas retas 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏, dividindo a região em, digamos, 𝑛 retângulos e calculando a área de cada uma. Isso é chamado de encontrar uma soma de Riemann. E é definido usando a notação sigma como a área é aproximadamente igual à soma de 𝑓 de 𝑥𝑖 estrela vezes Δ𝑥 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. Aqui Δ𝑥 é igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. Contextualmente, isso nos dá a largura de cada um dos nossos retângulos. E 𝑥𝑖 estrela é qualquer ponto amostral no subintervalo 𝑥𝑖 menos um a 𝑥𝑖.

Agora, é claro, segue-se que, à medida que 𝑛 aumenta, a largura de cada um dos nossos retângulos fica menor. E isso resulta em uma estimativa mais precisa para a área. De fato, à medida que 𝑛 se aproxima de ∞ — o número de retângulos se aproxima de ∞ — o limite dessa soma se aproxima da área exata da região.

Podemos, portanto, dizer que a área requerida é igual ao limite à medida que 𝑛 se aproxima de ∞ da soma de 𝑓 de 𝑥𝑖 estrela vezes Δ𝑥 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. E, de fato, esse limite é extremamente importante, pois ocorre em uma ampla variedade de situações, mesmo quando 𝑓 não é uma função positiva. Portanto, atribuímos a ele um nome especial, notação 𝑛.

Chegamos à definição de uma integral definida. Dizemos que se 𝑓 é uma função definida para 𝑥 é maior ou igual a 𝑎 e menor que ou igual a 𝑏, podemos dividir o intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 em 𝑛 subintervalos de largura igual. Vamos deixar 𝑥𝑖 estrela ser os pontos amostrais em cada subintervalo, de forma que 𝑥𝑖 estrela esteja no intervalo fechado 𝑥𝑖 menos um elevado a 𝑥𝑖. Então dizemos que a integral definida de 𝑓 de 𝑎 a 𝑏 é o limite conforme 𝑛 se aproxima de ∞ da soma de 𝑓 de 𝑥𝑖 estrela vezes Δ𝑥, valores de 𝑖 de um a 𝑛. E isso, é claro, desde que esse limite exista e forneça o mesmo valor para todos os pontos amostrais. Se existir, dizemos que 𝑓 é integrável no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏.

Agora, este símbolo de integração aqui foi introduzido por Leibniz. É um S alongado e foi escolhido porque a integral é o limite das somas. Agora observe que nem todas as funções são integráveis, embora as funções mais comuns sejam. De fato, se 𝑓 é contínua no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 ou se possui apenas um número finito de descontinuidades de salto, então 𝑓 é integrável no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏. Em outras palavras, a integral definida de 𝑎 a 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 existe.

Agora, de fato, se 𝑓 é integrável no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, esse limite deve existir. E deve dar a mesma resposta, não importa qual valor, qual ponto amostral 𝑥𝑖 estrela, nós escolhemos. Podemos, portanto, simplificar nosso cálculo escolhendo 𝑛 pontos puramente corretos. Podemos dizer que se 𝑓 é integrável no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, então a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é o limite conforme 𝑛 se aproxima de ∞ da soma de 𝑓 de 𝑥𝑖 vezes Δ𝑥 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. E aqui Δ𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛, e 𝑥𝑖 é 𝑎 mais 𝑖 vezes Δ𝑥.

Essa é uma definição que usaremos durante o restante deste vídeo. E agora temos tudo o que precisamos para poder expressar integrais definidas como limites das somas de Riemann e vice-versa.

Expresse a integral definida entre três e nove de três 𝑥 à sexta potência em relação a 𝑥 como o limite da soma de Riemann.

Lembre-se, se 𝑓 é integrável no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, então a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 pode ser expressa como o limite das somas de Riemann, como mostrado. Vamos comparar tudo em nosso teorema com a nossa integral. Nossa função é um polinômio. E sabemos que todos os polinômios são contínuos em seu domínio, o que significa que são, portanto, integráveis ​​em seu domínio. Portanto, a função 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 a sexta potência é contínua e, portanto, integrável ao longo do intervalo fechado definido pelo limite inferior três e pelo limite superior nove.

Então, seria 𝑎 igual a três e 𝑏 igual a nove. Vamos seguir em frente e definir Δ𝑥. Isso é 𝑎 menos 𝑏 sobre 𝑛. Bem, dissemos que 𝑏 é nove e 𝑎 é três. E está tudo sobre 𝑛. Isso nos dá que Δ𝑥 é igual a seis sobre 𝑛. E agora podemos definir 𝑥𝑖. É 𝑎 mais 𝑖 vezes Δ𝑥. Bem, 𝑎 é três. E precisamos de 𝑖 vezes Δ𝑥, que calculamos ser seis sobre 𝑛. Vamos escrever isso como três mais seis 𝑖 sobre 𝑛.

Em nosso limite, precisamos calcular 𝑓 de 𝑥𝑖. Portanto, podemos encontrar isso substituindo a expressão de 𝑥𝑖 em nossa função. Isso nos dá três vezes três mais seis 𝑖 sobre 𝑛 elevado à sexta potência. E agora podemos substituir tudo o que temos em nossa definição pela integral. Quando o fazemos, vemos que a integral definida entre seis e nove de três 𝑥 elevado à sexta potência em relação a 𝑥 é igual ao limite conforme 𝑛 se aproxima de ∞ da soma de três vezes três mais seis 𝑖 sobre 𝑛 elevado à sexta potência vezes seis sobre 𝑛 calculado entre 𝑖 é igual a um e 𝑛.

Como a multiplicação é comutativa, podemos reescrever três vezes seis sobre 𝑛 como 18 sobre 𝑛. E temos nossa integral definida expressa como o limite das somas de Riemann. É o limite em que 𝑛 se aproxima de ∞ da soma de 18 sobre 𝑛 vezes três mais seis 𝑖 sobre 𝑛 elevado a sexta potência calculada de 𝑖 igual a um elevado a 𝑛.

Vamos agora dar uma olhada em um exemplo mais complicado.

Sem calcular o limite, expresse a integral definida entre menos cinco e dois da raiz quadrada de sete menos quatro 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥 como limite das somas de Riemann.

Lembre-se, se 𝑓 é integrável em algum intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, então a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual ao limite à medida que 𝑛 se aproxima do ∞ da soma de 𝑓 de 𝑥𝑖 vezes Δ𝑥 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. Calculamos Δ𝑥 subtraindo 𝑎 de 𝑏 e depois dividindo por 𝑛. E 𝑥𝑖 é 𝑎 mais 𝑖 vezes Δ𝑥.

Nesse caso, podemos dizer que 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de sete menos quatro 𝑥 ao quadrado. O limite inferior da nossa integral é menos cinco. Então, vamos considerar 𝑎 igual a menos cinco e o limite superior é dois. Então, vamos considerar 𝑏 igual a dois. É sempre sensato logo após elaborar o Δ𝑥. Aqui, é 𝑏 menos 𝑎. Portanto, é dois menos menos cinco tudo sobre 𝑛. Isso nos dá Δ𝑥 igual a sete sobre 𝑛. Então podemos trabalhar 𝑥𝑖. É 𝑎, que é menos cinco, mais 𝑖 vezes Δ𝑥, que acabamos de calcular e é sete sobre 𝑛. Isso simplifica para menos cinco mais sete 𝑖 sobre 𝑛.

Em seguida, trabalharemos 𝑓 de 𝑥𝑖. E segue que podemos encontrar isso substituindo 𝑥𝑖 na expressão 𝑓 de 𝑥. É a raiz quadrada de sete menos quatro vezes menos cinco, mais sete 𝑖 sobre 𝑛 ao quadrado. E agora temos tudo o que precisamos para poder expressar nosso limite. Substituímos Δ𝑥 por sete sobre 𝑛 e 𝑓 de 𝑥𝑖 pela raiz quadrada de sete menos quatro vezes menos cinco, mais sete 𝑖 sobre 𝑛 tudo ao quadrado.

E assim obtemos que nossa integral como um limite de somas de Riemann é o limite à medida que 𝑛 se aproxima do ∞ da soma de sete sobre 𝑛 vezes a raiz quadrada de sete menos quatro vezes menos cinco mais sete 𝑖 sobre 𝑛 ao quadrado para valores de 𝑖 de um até 𝑛. Agora, este exemplo é interessante, pois essa equação não é realmente integrável no intervalo especificado. Lembre-se, para 𝑓 ser integrável, ele deve ser contínuo no intervalo 𝑎 a 𝑏. Bem, o gráfico de 𝑦 igual à raiz quadrada de sete menos quatro 𝑥 ao quadrado se parece um pouco com isso. Claramente, isso não é contínuo durante o intervalo fechado menos cinco a dois. Portanto, não poderíamos calcular esse limite.

É importante perceber que podemos realizar o procedimento e obter uma soma de Riemann. Mas precisamos verificar se a função é integrável nessa região. Embora tenhamos uma expressão resultante nesse caso, não é uma resposta válida para a pergunta. Se tivéssemos recebido limites de, digamos, menos raiz quadrada de sete sobre dois e mais raiz quadrada de sete sobre dois, então tudo bem. Vamos agora ver como podemos reverter o processo e expressar um limite na forma de integral.

Expresse o limite conforme 𝑛 tende ao ∞ da somatória de 𝑒 elevado a 𝑥𝑖 sobre dois menos quatro 𝑥𝑖 vezes Δ𝑥𝑖 para valores de 𝑖 de um a 𝑛 como uma integral definida no intervalo fechado menos cinco a menos três.

Lembre-se, se 𝑓 é integrável em algum intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, então a integral definida entre 𝑏 e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual ao limite à medida que 𝑛 tende ao ∞ da soma de 𝑓 de 𝑥𝑖 vezes Δ𝑥 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. Agora podemos ver claramente que nosso intervalo é de menos cinco a menos três, inclusive. Então começamos definindo 𝑎 igual a menos cinco e 𝑏 igual a menos três.

Vamos agora comparar nosso limite com a forma geral. Podemos ver que 𝑓 de 𝑥𝑖 é igual a 𝑒 elevado a 𝑥𝑖 sobre dois menos quatro 𝑥𝑖. Bem, isso é ótimo porque isso significa que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑒 elevado a 𝑥 sobre dois menos quatro 𝑥. Isso significa que o limite de nossas somas de Riemann pode ser expresso como uma integral definida. É a integral definida entre menos cinco e menos três de 𝑒 à potência de 𝑥 sobre dois menos quatro 𝑥 em relação a 𝑥.

Em nosso exemplo final, veremos como podemos realmente calcular a integral calculando o limite das somas de Riemann.

Calcule a integral definida entre menos quatro e dois de menos 𝑥 menos quatro em respeito a 𝑥 usando o limite das somas de Riemann.

Lembre-se, se 𝑓 é alguma função integrável no intervalo fechado de 𝑎 para 𝑏, então a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é definida como o limite conforme 𝑛 se aproxima de ∞ da soma de 𝑓 de 𝑥𝑖 vezes Δ𝑥 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. E, é claro, Δ𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛 e 𝑥𝑖 é 𝑎 mais 𝑖 vezes Δ𝑥.

Vamos começar comparando esta definição com a nossa integral. Vemos que 𝑓 de 𝑥 é igual a menos 𝑥 menos quatro. Este é um polinômio. E sabemos que os polinômios são contínuos sobre seus domínios. Portanto, a função menos 𝑥 menos quatro é contínua e, portanto, integrável sobre o intervalo fechado definido pelo limite inferior menos quatro e pelo limite superior dois.

Portanto, seja 𝑎 igual a menos quatro e 𝑏 igual a dois. E veremos a seguir para definir Δ𝑥. É 𝑏 menos 𝑎. Portanto, são dois menos menos quatro sobre 𝑛. Isso nos dá seis sobre 𝑛. Em seguida, definiremos 𝑥𝑖. É 𝑎, que é menos quatro, mais 𝑖 vezes Δ𝑥, que calculamos ser seis sobre 𝑛. Isso nos dá que 𝑥𝑖 é menos quatro mais seis 𝑖 sobre 𝑛.

Segue-se que podemos encontrar 𝑓 de 𝑥𝑖 substituindo essa expressão em nossa função. Isso nos dá menos menos quatro mais seis 𝑖 sobre 𝑛 menos quatro. Quando distribuímos os parênteses, encontramos 𝑓 de 𝑥𝑖 sendo igual a quatro menos seis 𝑖 sobre 𝑛 menos quatro. E, claro, quatro menos quatro é zero. Então 𝑓 de 𝑥𝑖 é simplesmente menos seis 𝑖 sobre 𝑛.

E agora podemos substituir tudo o que temos em nossa definição na integral. Isso nos diz que a integral definida entre menos quatro e dois de menos 𝑥 menos quatro em relação a 𝑥 é igual ao limite quando 𝑛 se aproxima de ∞ da soma de menos seis 𝑖 sobre 𝑛 vezes seis sobre 𝑛 para valores de 𝑖 de um 𝑛. Agora, de fato, menos seis 𝑖 sobre 𝑛 vezes seis sobre 𝑛 é menos 36𝑖 sobre 𝑛 ao quadrado. Então esta é a soma.

Agora, é claro, esse fator, menos 36 sobre 𝑛 ao quadrado, é realmente independente de 𝑖. Portanto, podemos reescrever nosso limite como o limite conforme 𝑛 se aproxima de ∞ de menos 36 sobre 𝑛 ao quadrado vezes a soma de 𝑖 dos valores de 𝑖 de um a 𝑛. Na verdade, embora esteja fora do escopo deste vídeo provar isso, podemos citar o resultado geral. A soma de 𝑖 a 𝑖 é igual de um a 𝑛 é igual a 𝑛 vezes 𝑛 mais um sobre dois. E isso significa que podemos substituir toda essa soma pela expressão 𝑛 vezes 𝑛 mais um sobre dois.

Nossa integral definida pode ser calculada, calculando o limite à medida que 𝑛 se aproxima de ∞ de menos 36 sobre 𝑛 vezes ao quadrado 𝑛 vezes 𝑛 vezes 𝑛 mais um sobre dois. E você pode perceber que podemos dividir 36 e dois por dois. Também podemos cancelar um 𝑛. E nosso limite se reduz ao limite à medida que 𝑛 se aproxima de ∞ de menos 18 vezes 𝑛 mais um sobre 𝑛.

Vamos distribuir nossos parênteses. E quando o fazemos, descobrimos que isso pode ser escrito como menos 18𝑛 sobre 𝑛 menos 18 sobre 𝑛. Agora, é claro, menos 18𝑛 sobre 𝑛 é menos 18. E agora podemos calcular nosso limite por substituição direta. À medida que 𝑛 se aproxima de ∞, menos 18 sobre 𝑛 se aproximam de zero. E assim, o limite em que 𝑛 se aproxima de ∞ de menos 18 menos 18 sobre 𝑛 é simplesmente menos 18. Podemos, portanto, dizer que a integral definida entre menos quatro e dois de menos 𝑥 menos quatro em relação a 𝑥 é menos 18.

Neste vídeo, vimos que podemos escrever uma integral definida como o limite das somas de Riemann. Dizemos que, para uma função integrável 𝑓 em algum intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual ao limite conforme 𝑛 se aproxima de ∞ da soma de 𝑓 de 𝑥𝑖 vezes Δ𝑥 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. Aqui Δ𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. E 𝑥𝑖 é igual a 𝑎 mais 𝑖 vezes Δ𝑥.

Vimos que podemos usar essa definição para escrever uma integração como o limite de um somatório e vice-versa. E que, com alguma manipulação inteligente, podemos até calcular esses limites para nos ajudar a calcular a integral.

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