Lesson Video: A Regra do Produto

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Neste vídeo, aprenderemos como aplicar a regra do produto para encontrar a derivada de uma função que é o produto de duas ou mais outras funções. Começaremos aprendendo o que a regra do produto realmente é antes de aplicar a regra para nos ajudar a encontrar a derivada de várias funções, incluindo aquelas que são, elas próprias, produto de pelo menos três funções diferentes. Também consideraremos brevemente a aplicação da regra do produto para calcular as coordenadas dos pontos críticos ou estacionários em um gráfico.

Considere o exemplo de 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 mais um vezes 𝑥 menos quatro 𝑥 à potência de cinco.

Vamos pensar em como podemos encontrar a derivada dessa expressão em relação a 𝑥. No passado, poderíamos ter procurado distribuir esses parênteses antes de aplicar as regras normais de derivação a cada um dos termos resultantes. De fato, essa expressão é o produto de duas funções separadas. A primeira é a função 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 mais um. A segunda é a função 𝑥 menos quatro 𝑥 à potência de cinco.

E há uma regra que nos permitirá derivar qualquer expressão que seja o produto de duas ou mais funções. Curiosamente, essa regra é chamada de regra do produto. Agora, a prova da regra do produto é um pouco prolixa e está fora das restrições desse vídeo. Em vez disso, vamos simplesmente declarar a regra do produto e considerar sua aplicação ao cálculo.

A regra do produto afirma que a derivada do produto de funções 𝑓 e 𝑔 é igual a 𝑓 multiplicada pela derivada de 𝑔 mais a derivada de 𝑓 multiplicada por 𝑔. E isso às vezes é escrito alternativamente como a derivada de 𝑢𝑣 em relação a 𝑥 é 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥, onde aqui 𝑢 e 𝑣 são funções em 𝑥. É muito mais uma questão de preferência pessoal quanto a qual você decide usar. Mas esta regra precisa ser memorizada. Começaremos considerando um exemplo simples da aplicação dessa regra.

Encontre a primeira derivada da função 𝑦 é igual a três 𝑥 à potência de cinco mais sete multiplicada por sete menos três 𝑥 à potência de cinco.

Aqui temos uma equação que é o produto de duas funções. Como esse é o caso, podemos encontrar a derivada dessa função aplicando a regra do produto. Lembre-se que esta regra diz que a derivada do produto de 𝑓 e 𝑔 é igual a 𝑓 vezes a derivada de 𝑔 mais a derivada de 𝑓 vezes 𝑔. É sempre sensato escrever o que realmente sabemos sobre a expressão que estamos procurando derivar. Podemos dizer que é o produto de duas funções. Vamos chamar o primeiro 𝑓 de 𝑥 três 𝑥 elevado a cinco mais sete. E nós chamaremos o segundo 𝑔 de 𝑥. São sete menos três 𝑥 elevado a cinco. Precisamos encontrar a primeira derivada de cada uma dessas funções.

Lembre-se da derivada de expressões algébricas simples, como 𝑎𝑥 à potência de 𝑛, onde 𝑎 e 𝑛 são constantes reais, é 𝑛 vezes 𝑎𝑥 à potência de 𝑛 menos um. Nós multiplicamos pelo expoente e então reduzimos esse expoente em um. E o que isso realmente significa é que a derivada de uma constante é zero, já que uma constante — digamos que o número um — é, na verdade, um 𝑥 elevado a zero. Quando multiplicamos pelo expoente, na verdade acabamos com uma resposta de zero. Isto significa que a derivada de 𝑓 de 𝑥 é cinco vezes três 𝑥 para a potência de quatro mais zero, o que é simplesmente 15𝑥 para a potência de quatro. Da mesma forma, a derivada de 𝑔 de 𝑥 é zero menos cinco vezes três 𝑥 para a potência de quatro, o que é menos 15𝑥 para a potência de quatro.

Vamos substituir o que sabemos na fórmula da regra do produto. d𝑦 por d𝑥 é igual a três 𝑥 à potência de cinco mais sete vezes menos 15𝑥 à potência de quatro mais 15𝑥 à potência de quatro vezes sete menos três 𝑥 à potência de cinco. Em seguida, distribuímos esses parênteses multiplicando cada termo pelo termo de fora. E temos menos 45𝑥 elevado a nove menos 105𝑥 elevado a quatro mais 105𝑥 elevado a quatro menos 45𝑥 elevado a nove. Menos 105𝑥 elevado a quatro mais 105𝑥 elevado a quatro é zero. E podemos ver que a primeira derivada da nossa função é menos 90𝑥 elevado a nove. Também é útil saber que podemos aplicar essa regra para encontrar a derivada em um determinado ponto. Vamos considerar um exemplo disso.

Encontre a primeira derivada de 𝑓 de 𝑥 igual a nove 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 menos sete vezes sete 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 menos sete em menos um, 24.

Aqui temos uma equação que é o produto de duas funções. Como esse é o caso, podemos encontrar a derivada dessa função aplicando a regra do produto. Lembre-se que diz que podemos encontrar a derivada do produto de 𝑓 e 𝑔 encontrando 𝑓 vezes a derivada de 𝑔 mais a derivada de 𝑓 vezes 𝑔. Agora, na verdade, nossa equação é 𝑓 de 𝑥. Então vamos dividir nossas duas funções em 𝑔 de 𝑥 e ℎ de 𝑥. Podemos dizer que 𝑔 de 𝑥 é igual a nove 𝑥 ao quadrado 𝑥 menos sete e ℎ de 𝑥 é igual a sete 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 menos sete. E então, eu mudei a regra do produto. Desta vez, disse que a derivada de 𝑔 vezes ℎ é 𝑔 vezes a derivada de ℎ mais a derivada de 𝑔 vezes ℎ. Vamos encontrar a derivada de 𝑔.

A derivada de nove 𝑥 ao quadrado é 18𝑥 e a derivada de menos 𝑥 é menos um. Portanto, a derivada de 𝑔 de 𝑥 é 18𝑥 menos um. Da mesma forma, a derivada de ℎ de 𝑥 é 14𝑥 menos oito. Vamos substituir o que sabemos na fórmula da regra do produto. A derivada de 𝑓 em relação a 𝑥 é, portanto, nove 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 menos sete vezes 14 𝑥 menos oito mais sete 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 menos sete vezes 18 𝑥 menos um. Nós distribuímos os parênteses cuidadosamente e agrupamos termos semelhantes. E vemos que a derivada de 𝑓 de 𝑥 é 252𝑥 ao cubo menos 237𝑥 ao quadrado menos 208𝑥 mais 63.

Mas nós ainda não terminamos. Fomos solicitados a encontrar a derivada no ponto menos um, 24. Este é o ponto no nosso plano cartesiano, onde 𝑥 é igual a menos um e 𝑦 é igual a 24. Assim, podemos substituir 𝑥 é igual a menos um em nossa expressão para a derivada. Isso é 252 vezes menos um ao cubo menos 237 vezes menos um ao quadrado menos 208 vezes menos um mais 63, que é menos 218. De fato, é útil lembrar que isso realmente nos diz o gradiente da tangente à curva no ponto menos um, 24. Em nosso próximo exemplo, consideraremos como aplicar a regra do produto para derivar uma expressão que é o produto de mais de duas funções.

A regra do produto diz que a derivada de 𝑓𝑔 é igual à derivada de 𝑓 vezes 𝑔 mais 𝑓 vezes a derivada de 𝑔. Use isso para derivar uma fórmula para a derivada de 𝑓 vezes 𝑔 vezes ℎ.

Nesta pergunta, recebemos a regra do produto e solicitamos usá-la para encontrar uma fórmula para a derivada do produto de três funções. Estas são 𝑓, 𝑔 e ℎ. Vamos começar dividindo 𝑓 vezes 𝑔 vezes ℎ. Vamos escrevê-la como 𝑓𝑔 vezes ℎ. Lembre-se de que, uma vez que a multiplicação é comutativa, poderíamos alternativamente escrevê-la como 𝑓 vezes 𝑔ℎ e obteríamos a mesma resposta de qualquer maneira. Assim, podemos dizer que a derivada de 𝑓𝑔ℎ é igual à derivada de 𝑓𝑔 vezes ℎ.

E agora vamos aplicar a regra do produto. Podemos ver que isso é igual à derivada de 𝑓𝑔 vezes ℎ mais 𝑓𝑔 vezes a derivada de ℎ. E agora, percebemos que o primeiro termo que temos é a derivada de 𝑓𝑔. Sabemos, no entanto, pela definição da regra do produto, que esta é a mesma que a derivada de 𝑓 vezes 𝑔 mais 𝑓 vezes a derivada de 𝑔. Então, substituímos isso em nossa fórmula. E nós vamos distribuir esses parênteses.

Quando o fazemos, vemos que a fórmula para a derivada de 𝑓𝑔ℎ é a derivada de 𝑓 vezes 𝑔 vezes ℎ mais 𝑓 vezes a derivada de 𝑔 vezes ℎ mais 𝑓 vezes 𝑔 vezes a derivada de ℎ. Você também pode querer ver se pode aplicar essa ideia para ajudá-lo a encontrar uma fórmula para a derivada do produto de quatro funções, digamos 𝑓𝑔ℎ𝑖. A seguir, vamos ver como esse exemplo pode nos ajudar a encontrar a derivada de uma expressão que é o produto de três funções.

Encontre a primeira derivada de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 à potência de oito mais quatro vezes três 𝑥 raiz de 𝑥 menos sete vezes três 𝑥 raiz de 𝑥 mais sete em 𝑥 é igual a menos um.

Para responder a essa pergunta, temos duas opções. Poderíamos usar a regra do produto duas vezes ou poderíamos lembrar a definição da derivada do produto de três funções. A derivada de 𝑓 vezes 𝑔 vezes ℎ é a derivada de 𝑓 vezes 𝑔 vezes ℎ mais 𝑓 vezes a derivada de 𝑔 vezes ℎ mais 𝑓 vezes 𝑔 vezes a derivada de ℎ. Agora, como nossa função é realmente 𝑓 de 𝑥, alterei as funções dessa fórmula para 𝑢 𝑣 e 𝑤. Então, vamos descobrir quais são as funções 𝑢, 𝑣 e 𝑤. Podemos dizer que 𝑢 de 𝑥 é igual a 𝑥 à potência de oito mais quatro. 𝑣 de 𝑥 é igual a três 𝑥 raiz de 𝑥 menos sete. E 𝑤 de 𝑥 é igual a três 𝑥 raiz de 𝑥 mais sete.

Precisamos derivar cada uma dessas funções em relação a 𝑥 conforme a fórmula para a regra do produto com três funções. A derivada de 𝑢 é bastante direta. É apenas oito 𝑥 elevado a sete. Mas e sobre 𝑣 e 𝑤? Bem, poderíamos usar a regra do produto. Mas, na verdade, podemos simplesmente reescrever cada uma dessas expressões. Sabemos que a raiz quadrada de 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a um meio. E as propriedades de potência nos dizem que podemos simplificar essa expressão adicionando os expoentes.

E quando o fazemos, vemos que 𝑣 de 𝑥 pode ser escrito como três 𝑥 elevado a três sobre dois menos sete e 𝑤 de 𝑥 é três 𝑥 elevado a três sobre dois mais sete. E isso significa que a derivada do 𝑣 é três sobre dois vezes três 𝑥 elevado a um meio ou nove sobre dois 𝑥 elevado a um meio. E, na verdade, a derivada de 𝑤 é a mesma.

Agora temos tudo o que precisamos para substituir isso em nossa fórmula para a regra do produto. Agora, neste ponto, você pode ser tentado a ir direto para substituir 𝑥 é igual a menos um na derivada. No entanto, temos algumas raízes aqui e isso pode causar problemas. Em vez disso, distribuímos cuidadosamente cada conjunto de parênteses e simplificamos totalmente. E quando o fazemos, vemos que a derivada de 𝑓 de 𝑥 é 99𝑥 elevado a 10 menos 392𝑥 elevado a sete mais 108𝑥 com a potência de dois.

E agora podemos calcular isso para 𝑥 é igual a menos um. É 99 vezes menos um elevado a 10 menos 392 vezes menos um elevado a sete mais 108 vezes menos um ao quadrado que é igual a 599. No nosso último exemplo, vamos considerar como usar a regra do produto para resolver problemas envolvendo pontos críticos.

Encontre as coordenadas dos pontos críticos na curva com a equação 𝑦 igual a 𝑥 sobre 16 mais 𝑥 ao quadrado.

Os pontos críticos de uma curva são encontrados quando a derivada é igual a zero. Começaremos então derivando nossa equação 𝑦 em termos de 𝑥. Podemos começar reescrevendo nossa equação como 𝑥 vezes 16 mais 𝑥 ao quadrado elevado a menos um. E agora podemos derivar isso usando a regra do produto. Vamos deixar nossa primeira função — eu a chamo de 𝑢 — ser igual a 𝑥. E nós diremos que nossa segunda função é 16 mais 𝑥 ao quadrado elevado a menos um. É bem fácil encontrar a derivada de 𝑢. Nós apenas temos um. Mas vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar 16 mais 𝑥 ao quadrado elevado a menos um.

Vamos deixar 𝑡 ser igual a 16 mais 𝑥 ao quadrado. Então, derivando 𝑡 em relação a 𝑥 nos dá dois 𝑥. E agora podemos dizer que 𝑣 é igual a 𝑡 elevado a menos um. Precisamos derivar 𝑣 em relação a 𝑡. E quando o fazemos, vemos que é menos 𝑡 elevado a menos dois. A derivada da nossa função 𝑣 em relação a 𝑥 é igual a d𝑣 por d𝑡 vezes d𝑡 por d𝑥. No momento, isso é menos 𝑡 elevado a menos duas vezes dois 𝑥. Podemos agora substituir 𝑡 por 16 mais 𝑥 ao quadrado. E nós derivamos 𝑣 em relação a 𝑥.

Agora podemos liberar algum espaço e aplicar a regra do produto. É 𝑢 multiplicado pela derivada de 𝑣 mais 𝑣 multiplicado pela derivada de 𝑢. Nós então reescrevemos. Dizemos que a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é menos dois 𝑥 ao quadrado sobre 16 mais 𝑥 ao quadrado todos ao quadrado mais um sobre 16 mais 𝑥 ao quadrado. Vamos simplificar essa expressão multiplicando o denominador e o numerador de nossa segunda fração por 16 mais 𝑥 ao quadrado. E vemos que agora temos menos dois 𝑥 quadrados sobre 16 mais 𝑥 ao quadrado ao quadrado mais 16 mais 𝑥 ao quadrado sobre 16 mais 𝑥 ao quadrado ao quadrado.

Ao adicionar os numeradores, vemos que encontramos a derivada com sucesso. É menos 𝑥 ao quadrado mais 16 sobre 16 mais 𝑥 ao quadrado tudo ao quadrado. Agora, anteriormente, dissemos que as coordenadas dos pontos críticos poderiam ser encontradas deixando a derivada igual a zero. Então, vamos dizer que nossa fração menos 𝑥 ao quadrado mais 16 sobre 16 mais 𝑥 ao quadrado é igual a zero. E então, nós consideramos o que precisa ser verdade para que este seja o caso. Bem, não importa realmente qual é o denominador de nossa fração. Se o numerador da nossa fração é zero, então a fração inteira deve ser igual a zero.

Então, dizemos que o negativo 𝑥 ao quadrado mais 16 é igual a zero e resolvemos isso. Nós adicionamos 𝑥 ao quadrado em ambos os lados, o que nos dá 𝑥 ao quadrado igual a 16. E então, encontramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação, lembrando de pegar ambas as raízes quadradas positivas e negativas de 16. E acabamos com dois valores para 𝑥: mais e menos quatro. Portanto, os pontos críticos de nossa curva ocorrem quando 𝑥 é igual a mais ou menos quatro. Precisamos substituir isso novamente na equação original para encontrar as coordenadas dos pontos críticos.

Quando 𝑥 é igual a quatro, 𝑦 é quatro sobre 16 mais quatro ao quadrado, que é um oitavo. E quando 𝑥 é igual a menos quatro, 𝑦 é menos quatro sobre 16 mais menos quatro ao quadrado que é menos um oitavo. Portanto, as coordenadas dos pontos críticos da curva com a equação 𝑦 igual a 𝑥 sobre 16 mais 𝑥 ao quadrado são quatro, um oitavo e menos quatro, menos um oitavo.

Neste vídeo, aprendemos que podemos aplicar a regra do produto para encontrar a derivada do produto de duas funções. Nós aprendemos que para duas funções 𝑓 e 𝑔, a derivada de seu produto é 𝑓 vezes a derivada de 𝑔 mais a derivada de 𝑓 vezes 𝑔. E, finalmente, vimos que, embora possamos aplicar a regra do produto em sucessão, também podemos encontrar o produto de três funções usando a fórmula dada.