Vídeo: Encontrando a Relação entre os Lados e seus Ângulos Correspondentes em um Triângulo Utilizando outra Relação

Na figura abaixo, determine a inequação correta a partir das seguintes. [A] 𝐴𝐵 >𝐶𝐵 [B] 𝐴𝐵< 𝐶𝐵 [C] 𝐴𝐵 >𝐴𝐶 [D] 𝐴𝐶< 𝐶𝐵.

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A partir da figura abaixo, determine a desigualdade correta a partir das seguintes: 𝐴𝐵 é maior que 𝐶𝐵, 𝐴𝐵 é menor que 𝐶𝐵, 𝐴𝐵 é maior que 𝐴𝐶 ou 𝐴𝐶 é menor que 𝐶𝐵.

Olhando para o diagrama, podemos ver que 𝐴𝐵, 𝐶𝐵 e 𝐴𝐶 representam os comprimentos dos lados de um triângulo. Recebemos quatro possibilidades de relações que podem existir entre os diferentes pares de lados. Não nos deram qualquer dimensão no diagrama. Em vez disso, recebemos algumas informações sobre alguns dos ângulos. Isso sugere que precisamos considerar a relação entre o comprimento dos lados e o tamanho dos ângulos em um triângulo. E, portanto, abordaremos essa questão utilizando a desigualdade triangular lado-ângulo.

Veja o que a desigualdade triangular lado-ângulo nos diz. Se um ângulo de um triângulo tiver uma medida maior que outro ângulo, então o lado oposto ao maior ângulo será maior que o lado oposto ao menor ângulo. Basicamente, o que isto significa é que o maior lado de um triângulo é oposto ao maior ângulo. O menor lado é oposto ao menor ângulo. E o lado médio é oposto ao ângulo médio. No diagrama, no entanto, atualmente temos apenas o tamanho de um dos ângulos no triângulo. Então, precisamos considerar como podemos encontrar os outros ângulos.

Primeiro de tudo, vamos considerar o ângulo 𝐴𝐵𝐶. Podemos ver que as retas 𝐴𝐷 e 𝐶𝐵 são paralelas, pois foram marcadas com setas azuis em seus comprimentos. A reta 𝐴𝐵 é transversal a essas retas paralelas. E, portanto, podemos ver que o ângulo 𝐴𝐵𝐶 e o ângulo de 66 graus são ângulos alternos internos. O que significa que eles são congruentes. Então, o ângulo 𝐴𝐵𝐶 também é de 66 graus.

Agora que conhecemos as medidas de dois dos ângulos do triângulo, podemos calcular o terceiro porque a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180 graus. Assim, o ângulo 𝐴𝐶𝐵 pode ser encontrado subtraindo 52 graus e 66 graus de 180 graus. Que são 62 graus.

Portanto, agora que conhecemos os tamanhos dos três ângulos no triângulo, podemos deduzir algo sobre os comprimentos dos três lados. O maior ângulo no triângulo é de 66 graus. E a desigualdade triangular lado-ângulo nos diz que o maior lado do triângulo será oposto a esse ângulo. Então, o lado mais longo do triângulo é o lado 𝐴𝐶. O segundo maior ângulo no triângulo é o ângulo de 62 graus, oposto ao lado 𝐴𝐵. Isto significa então que 𝐴𝐵 é o segundo maior lado do triângulo. O menor ângulo de 52 graus é oposto ao menor lado do triângulo. Então, 𝐶𝐵 é o menor lado.

Agora que temos os três lados do triângulo ordenados do maior ao menor, podemos voltar nossa atenção para as quatro desigualdades e determinar quais são as verdadeiras. Primeiramente, 𝐴𝐵 é maior que 𝐶𝐵? Sim, 𝐴𝐵 aparece acima de 𝐶𝐵 na lista. O que significa que essa primeira desigualdade é verdadeira. 𝐴𝐵 é menor que 𝐶𝐵? Bem, este é o inverso da desigualdade que acabamos de mostrar ser verdade. Portanto, esta deve ser falsa. Em terceiro lugar, 𝐴𝐵 é maior que 𝐴𝐶? Não, 𝐴𝐶 é o maior lado do triângulo. Então essa desigualdade também é falsa. E finalmente, é 𝐴𝐶 menor que 𝐶𝐵? Mais uma vez, isso é falso. 𝐴𝐶 é o maior lado do triângulo.

Assim, podemos concluir que, das quatro desigualdades, apenas uma é verdadeira. 𝐴𝐵 é maior que 𝐶𝐵.

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