Video: Locais no Plano Complexo Definidoa Usando o Argumento

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Neste vídeo, aprenderemos como desenhar e interpretar locais no plano complexo, expresso em termos do argumento. Assim como podemos usar o módulo para definir locais no plano complexo, considerando a geometria desse plano, também podemos usar os argumentos de um número complexo para interpretar os locais de pontos que atendem a determinados critérios. Consideraremos os locais dos meios planos, arcos principais, semicírculos e arcos menores e as equações cartesianas que correspondem a eles neste vídeo.

Lembre-se, para um número complexo representado em um diagrama de Argand que é unido por um segmento de reta ou meia reta à origem, o argumento é o ângulo que esse segmento de reta faz com o eixo real positivo. E é sempre medido no sentido anti-horário. Para calcular o argumento, primeiro consideramos em que quadrante o ponto que representa o número complexo se encontra. Para um número complexo da forma 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖, seu argumento é dado como o arctg de 𝑏 dividido por 𝑎, para números complexos que seria representado no primeiro e quarto quadrantes. Para números complexos que serão representados no segundo quadrante, o argumento é o arco de 𝑏 dividido por 𝑎 mais 𝜋. E se estivermos olhando para um número complexo que é desenhado no terceiro quadrante, seu argumento é arctg de 𝑏 dividido por 𝑎 menos 𝜋.

Agora, em vez de perguntar qual é o argumento de um número complexo, podemos perguntar, alternativamente, qual é o local de um ponto de um argumento fixo, dizer que o argumento de 𝑧 é igual a 𝜋 sobre três radianos? Isso representa o conjunto de números complexos que se encontram na semirreta ou na meia reta que faz um ângulo de 𝜋 sobre três com o eixo 𝑥 no sentido anti-horário. O lugar geométrico de 𝑧 é, portanto, essa meia reta. Lembre-se, no entanto, o argumento não é definido quando 𝑧 é igual a zero. Portanto, o local não pode incluir a origem.

Podemos generalizar isso para qualquer meia reta no plano complexo, considerando uma transformação subtraindo um número complexo fixo, 𝑧 um. Podemos dizer que o lugar geométrico do ponto 𝑧 tal que o argumento de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝜃 é uma meia reta de, mas não inclui o ponto em 𝑧 um. Essa meia reta faz um ângulo de 𝜃 com a meia reta horizontal que se estende de 𝑧 um na direção 𝑥 positiva. E é medido no sentido anti-horário. Vamos dar uma olhada em um exemplo disso.

Esboce o lugar geométrico de 𝑧 quando o argumento de 𝑧 mais dois mais 𝑖 é igual a 𝜋 sobre quatro.

Lembre-se, o local do ponto 𝑧 quando o argumento de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝜃 é a meia reta de, mas não incluindo 𝑧 um. Essa meia reta faz um ângulo de 𝜃 com a meia reta horizontal na direção 𝑥 positiva. E é medido no sentido anti-horário. Começaremos então escrevendo o argumento de 𝑧 mais dois mais 𝑖 na forma do argumento de 𝑧 menos 𝑧 um, para garantir que possamos identificar corretamente nosso valor de 𝑧 um. Nós fatoramos menos um e obtemos o argumento de 𝑧 menos menos dois menos 𝑖. E isso significa que podemos reescrever nossa equação como o argumento de 𝑧 menos menos dois menos 𝑖 igual a 𝜋 sobre quatro.

Agora podemos ver que 𝑧 um é igual a menos dois menos 𝑖. Este é a extremidade da semirreta ou meia reta. E precisamos lembrar que a meia reta não inclui esse ponto. Em um diagrama de Argand, 𝑧 um pode ser desenhado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são menos dois negativas, menos um como mostrado. E adicionamos esse círculo vazio para mostrar que não queremos incluir esse ponto em nosso local.

Em seguida, usamos o argumento. O argumento de 𝑧 mais dois mais 𝑖 é 𝜋 sobre quatro radianos. Isso significa que o local de 𝑧 é o conjunto de pontos que formam um ângulo de 𝜋 sobre quatro radianos no sentido anti-horário a partir da horizontal. 𝜋 sobre quatro radianos é equivalente a 45 graus. Então, adicionamos uma reta, como mostrado, neste ângulo. E isso significa que o local de 𝑧 quando o argumento de 𝑧 mais dois mais 𝑖 é igual a 𝜋 sobre quatro é mostrado. Também podemos reverter esse processo para formar a equação, dado um diagrama do local de 𝑧.

Em nosso próximo exemplo, veremos como o local pode ser expresso como uma equação cartesiana.

Encontre a equação cartesiana do local de 𝑤 tal que o argumento de 𝑤 mais três mais 𝑖 seja igual a 𝜋 sobre três.

Lembre-se, o local nesta forma é meia reta. Estamos procurando a equação cartesiana dessa meia reta. Portanto, um ponto de partida sensato é encontrar o gradiente dessa reta. Podemos encontrar o gradiente dessa reta considerando o argumento, que é 𝜋 sobre três radianos. Agora, a fórmula do gradiente está aumentar ao longo da corrida. É o mesmo que o oposto sobre o adjacente. E, claro, isso é igual à função tangente. Podemos dizer então que o gradiente de nossa reta é igual a tg de 𝜋 sobre três, que é a raiz quadrada de três.

Nosso próximo trabalho é encontrar o ponto pelo qual essa reta deve passar. Usamos a definição do local geométrico para reescrever nossa equação. Nós fatoramos menos um. E podemos ver que isso é o mesmo que o argumento de 𝑤 menos menos três menos 𝑖 igual a 𝜋 sobre três. E podemos ver então que nossa reta começa no ponto que representa o número complexo menos três menos 𝑖. Isso terá coordenadas cartesianas menos três, menos um. Vamos substituir esses valores na fórmula de uma reta, 𝑦 menos 𝑦 um é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 um.

Quando o fazemos, vemos que 𝑦 menos menos um é igual a raiz de três vezes 𝑥 menos menos três. Distribuímos os parênteses e simplificamos o máximo possível. E podemos ver que a equação cartesiana da reta é 𝑦 igual a raiz de três 𝑥 mais três raiz de três menos um. Lembre-se, porém, isso é meia reta. E na verdade não inclui o ponto em menos três, menos um. Então, precisamos adicionar uma restrição em 𝑥 ou 𝑦. Podemos dizer que 𝑥 deve ser maior que menos três. E encontramos a equação cartesiana do local de 𝑤, dado que o argumento de 𝑤 mais três mais 𝑖 é 𝜋 sobre três.

O próximo local em que estamos interessados ​​é o de um círculo. Podemos dizer que o lugar geométrico do ponto 𝑧 tal que o argumento de 𝑧 menos 𝑧 um sobre 𝑧 menos 𝑧 dois é igual a 𝜃 que é o arco de um círculo que subtende um ângulo de 𝜃 entre os pontos representados por 𝑧 um e 𝑧 dois, como mostrado no diagrama. Se 𝜃 for menor que 𝜋 sobre dois radianos, o local é um arco principal. Se 𝜃 é igual a 𝜋 sobre dois, o local é um semicírculo. E se 𝜃 é maior que 𝜋 sobre dois radianos, o local é um arco menor. Agora, lembre-se, os pontos extremidade não fazem parte do local geométrico. Portanto, incluímos pontos abertos representando esses pontos, como mostrado. Vejamos um exemplo que usa essa ideia.

A figura mostra um local geométrico de um ponto 𝑧 no plano complexo. Escreva uma equação para o local geométrico na forma em que o argumento de 𝑧 menos 𝑎 sobre 𝑧 menos 𝑏 é igual a 𝜃, onde 𝑎 e 𝑏, que são números complexos, e 𝜃, que é maior que zero e menor que ou igual a 𝜋, são constantes a serem encontradas.

Lembre-se, o local geométrico de um ponto 𝑧 nesta forma é o arco de um círculo que subtende um ângulo de 𝜃 entre os pontos representados por 𝑧 um e 𝑧 dois. Temos três condições em 𝜃. Se for menor que 𝜋 sobre dois, o local é um arco principal. Se for igual a 𝜋 sobre dois, é um semicírculo. E se for maior que 𝜋 sobre dois, o local geométrico é um arco menor. E, lembre-se, os pontos extremidade não fazem parte desse local. Podemos ver olhando o diagrama que o local geométrico de nosso 𝑧 é o arco principal de um círculo. E isso faz sentido porque 𝜃 é igual a 𝜋 sobre cinco radianos.

Os pontos extremidade de nosso local estão em 𝐴 e 𝐵 cujas coordenadas cartesianas são quatro, menos três e menos três, um, respectivamente. Estes representam os números complexos quatro menos três 𝑖 e menos três mais 𝑖. E, lembre-se, esse local é traçado no sentido anti-horário. Como o ponto de partida é o representado no número complexo quatro menos três 𝑖, podemos dizer que a equação do nosso local é o argumento de 𝑧 menos quatro menos três 𝑖 sobre 𝑧 menos menos três mais 𝑖 igual a 𝜋 sobre cinco. Nos disseram para encontrar o valor das constantes 𝑎, 𝑏 e 𝜃. 𝑎 é quatro menos três 𝑖, 𝑏 é menos três mais 𝑖 e 𝜃 é 𝜋 sobre cinco.

No próximo exemplo, praticaremos o esboço de um local geométrico desta forma.

O ponto 𝑧 satisfaz a equação do argumento de 𝑧 menos seis sobre 𝑧 menos seis 𝑖 é igual a 𝜋 sobre quatro. Desenhe o local de 𝑧 em um diagrama de Argand.

O lugar geométrico de 𝑧 é o arco de um círculo que subtende um ângulo de 𝜋 sobre quatro radianos entre os pontos representados por seis e seis 𝑖. Lembre-se, estes são desenhados no sentido anti-horário de seis a seis 𝑖. Mas eles realmente não incluem esses pontos. Estes são os pontos no plano Argand cujas coordenadas cartesianas são seis, zero e zero, seis, respectivamente. E como 𝜋 sobre quatro é menor que 𝜋 sobre dois, sabemos que temos um arco maior. Então começamos adicionando os pontos seis, zero e zero, seis no nosso diagrama de Argand.

E então nos deparamos com um problema. Como sabemos onde fica o arco principal? Claro, é o arco principal de um círculo. Mas sem conhecer o centro do círculo, não podemos usar essas informações para encontrar o arco. Na verdade, pode ser um desses dois arcos mostrados. Aqui, lembramos o fato de que o local geométrico é desenhado no sentido anti-horário. Precisamos que o arco que começa no ponto seis, zero e termine no ponto zero, seis seja um arco principal, quando desenhado nessa direção.

Isso significa que temos que escolher esse arco à direita. E, portanto, o local é como mostrado. Não é realmente necessário adicionar as cordas mostradas. Mas, ao fazer isso, podemos ver que teremos um ângulo menor que 𝜋 sobre dois radianos. Também é possível encontrar a equação cartesiana do local nesta forma. Ocasionalmente, você pode adotar uma abordagem geométrica. Mas, em geral, uma abordagem algébrica é sensata.

Em nosso exemplo final, consideraremos uma dessas abordagens algébricas.

O local de 𝑧 satisfaz a equação; o argumento de 𝑧 menos três 𝑖 sobre 𝑧 menos cinco 𝑖 é igual a dois 𝜋 sobre três. Desenhe esse local em um diagrama de Argand e encontre sua equação cartesiana.

Lembre-se, o local geométrico do ponto 𝑧 de modo que o argumento de 𝑧 menos três 𝑖 sobre 𝑧 menos cinco 𝑖 igual a dois 𝜋 sobre três é o arco de um círculo que subtende um ângulo de dois 𝜋 sobre três radianos entre os pontos representados por três 𝑖 e cinco 𝑖. Desta vez, começará em três 𝑖 e viajará no sentido anti-horário. Dois 𝜋 sobre três é maior que 𝜋 sobre dois. Então, sabemos que isso forma um arco menor. E, como sempre, os pontos extremidade não fazem parte do local. Os pontos representados por três 𝑖 e cinco 𝑖 têm coordenadas cartesianas zero, três e zero, cinco, respectivamente.

Então, uma vez que desenhamos esses pontos em um diagrama de Argand, como decidimos onde fica o arco menor? Mais uma vez, não conhecemos o centro do círculo. Portanto, não podemos usar essas informações para encontrar a localização do arco. No entanto, sabemos que o local geométrico é desenhado no sentido anti-horário. Precisamos que o arco de zero, três a zero, cinco seja um arco menor, quando desenhado na direção anti-horária. Isso significa que percorremos ao longo deste arco como mostrado.

Em seguida, precisamos encontrar a equação cartesiana desse local. Em alguns cenários, podemos encontrar essa equação encontrando o centro e o raio do círculo. Aqui, isso não é tão fácil. Então, precisamos substituir 𝑧 igual a 𝑥 mais 𝑦𝑖 em nossa equação. Quando o fazemos, concluímos que o argumento de 𝑥 mais 𝑦𝑖 menos três 𝑖 sobre 𝑥 mais 𝑦𝑖 menos cinco 𝑖 é dois 𝜋 sobre três. Vamos começar calculando 𝑥 mais 𝑦𝑖 menos três 𝑖 sobre 𝑥 mais 𝑦𝑖 menos cinco 𝑖. Para calcular esse problema, precisamos multiplicar o numerador e o denominador de nossa fração pelo conjugado do denominador.

Para encontrar o conjugado de um número complexo, alteramos o sinal da parte imaginária. Portanto, o conjugado de 𝑥 mais 𝑦 menos cinco 𝑖 é 𝑥 menos 𝑦 menos cinco 𝑖. Vamos multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por esse número. No numerador, terminamos com 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 𝑦 menos cinco 𝑖 mais 𝑥 𝑦 menos três 𝑖 menos 𝑦 menos três vezes 𝑦 menos cinco vezes 𝑖 ao quadrado. E no denominador, temos 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 vezes 𝑦 menos cinco vezes 𝑖 mais 𝑥 vezes 𝑦 menos cinco vezes 𝑖 menos 𝑦 menos cinco ao quadrado 𝑖 ao quadrado. E podemos ver que menos 𝑥 vezes 𝑦 menos cinco vezes 𝑖 mais 𝑥 vezes 𝑦 menos cinco vezes 𝑖 é zero.

Então, usando o fato de que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um e distribuindo nossos parênteses, temos a expressão mostrada. Em seguida, agrupamos as partes reais e imaginárias. E agora podemos encontrar o argumento de 𝑥 mais 𝑦𝑖 menos três 𝑖 sobre 𝑥 mais 𝑦𝑖 menos cinco 𝑖. Se considerarmos 𝑎 a parte real de nosso número complexo e 𝑏 a parte imaginária, isto é, dois 𝑥 sobre 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado menos 10𝑥 mais 25, podemos dizer que 𝑏 dividido por 𝑎, a parte imaginária dividida pela parte real, deve ser igual a tg de dois 𝜋 sobre três. Agora, normalmente, estaríamos preocupados com qual quadrante o número complexo se encontra. Mas, como o tempo é periódico com um período de 𝜋 radianos, adicionar ou subtrair múltiplos de 𝜋 ao nosso valor de 𝜃 não afeta o valor de tg de 𝜃. Vamos abrir espaço para a próxima etapa.

Podemos dizer que dois 𝑥 dividido por 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado menos oito 𝑦 mais 15 é igual a tg de dois 𝜋 sobre três, que é igual à menos raiz de três. Multiplicamos os dois lados desta equação por 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado menos oito 𝑦 mais 15. E então podemos simplificar um pouco multiplicando por menos raiz de três. E então, adicionamos dois raiz de três 𝑥 a ambos os lados desta equação. Agora precisamos completar o quadrado para 𝑥 e 𝑦.

Lembre-se, estamos tentando encontrar a equação do círculo. Isso é 𝑥 mais raiz de três tudo ao quadrado menos três mais 𝑦 menos quatro tudo ao quadrado menos 16 mais que 15. Menos três menos 16 mais 15 são menos quatro. Então, adicionamos quatro aos dois lados desta equação. E temos 𝑥 mais raiz de três tudo ao quadrado mais 𝑦 menos quatro tudo ao quadrado é igual a quatro. E podemos ver que o centro do nosso círculo agora está no ponto com as coordenadas cartesianas menos raiz de três, quatro. É claro que precisamos adicionar uma restrição em 𝑥 e 𝑦 para garantir que os pontos três 𝑖 e cinco 𝑖 não estejam no local. Essa restrição é que 𝑥 é maior que zero. Portanto, a equação cartesiana de nosso local é quatro igual a 𝑥 mais raiz de três tudo ao quadrado mais 𝑦 menos quatro tudo ao quadrado, apenas quando 𝑥 é maior que zero.

Neste vídeo, vimos que podemos usar os argumentos da mesma maneira que podemos usar o módulo para definir local geométrico no plano complexo. Vimos que o local geométrico de um ponto 𝑧 que satisfaz o argumento de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝜃 é uma meia reta de, mas não incluindo 𝑧 um. E faz um ângulo de 𝜃 com a meia reta horizontal que se estende de 𝑧 um na direção 𝑥 positiva.

Também vimos que 𝜃 deve ser medido no sentido anti-horário. Vimos como o local geométrico de um ponto 𝑧 que satisfaz a equação o argumento de 𝑧 menos 𝑧 um sobre 𝑧 menos 𝑧 dois igual a 𝜃 é um arco. Quando 𝜃 é menor que 𝜋 sobre dois, é um arco principal. Quando é igual a 𝜋 sobre dois, é um semicírculo. E quando é maior que 𝜋 sobre dois, o local geométrico é um arco menor. E vimos que os pontos de extremidade não podem fazer parte desse local. E o local geométrico é medido no sentido anti-horário.