Vídeo: Simplificando Expressões Trigonométricas Utilizando Identidades Trigonométricas

Simplifique cos (180° − 𝜃).

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Transcrição do vídeo

Simplifique cosseno de 180 graus menos 𝜃.

Vamos começar por analisar isto tentando visualizar. Ao trabalhar com o círculo trigonométrico, o cosseno de 𝜃 representa os valores em 𝑥 e o seno de 𝜃 representa os valores em 𝑦. Então, para a esquerda, o cosseno será negativo e para baixo o seno será negativo. Assim, no primeiro quadrante, o cosseno é positivo e o seno é positivo, no segundo quadrante, o cosseno é negativo, mas o seno é positivo, no terceiro quadrante, o cosseno e o seno são ambos negativos, e no quarto quadrante, o cosseno é positivo, mas o seno é negativo.

Ora, 𝜃 representa um ângulo. Então vamos pensar em substituí-lo por alguma coisa. No primeiro quadrante, podemos substituí-lo desde zero a 90 graus. Então, se considerássemos qualquer um destes valores e os substituíssemos, teríamos 180 menos 90 até 180 menos zero. Pelo que acabaríamos no segundo quadrante ou em qualquer lugar entre 90 a 180 graus. E o cosseno nesse quadrante é negativo.

Agora vamos imaginar que estamos a substituir os valores a cor de rosa. Se substituíssemos os valores a cor de rosa, 180 menos 90 até 180 menos 180, nós acabaríamos primeiro quadrante a amarelo. Assim mudámos o cosseno novamente. Então, se formos de um cosseno negativo para um cosseno positivo, devemos colocar um menos à sua frente. E a mesma coisa funcionaria na parte inferior no terceiro e no quarto quadrantes, mas vamos avançar e analisemos isto algebricamente.

Podemos começar por separar 180 graus em 90 e 90. E agora combinar os 90 graus menos 𝜃 é na verdade juntá-los, o que equivale a um menos seno de 90 graus menos 𝜃. Uma vez que cosseno de 90 mais 𝜃 é menos sen 𝜃, este 𝜃 a que se referem é o 90 menos 𝜃. E isto é igual a menos cosseno de 𝜃 porque o seno de 90 menos 𝜃 é igual ao cosseno de 𝜃. Então, uma vez que originalmente tínhamos um sinal negativo no seno, temos que acrescentá-lo ao cosseno. Portanto, depois de simplificar, obtemos menos cos 𝜃.

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