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Vídeo da aula: Limites de uma diferença de potências Mathematics

Neste vídeo, aprenderemos como calcular os limites de uma diferença de potências.

17:59

Transcrição do vídeo

Limites de uma diferença de potências

Neste vídeo, discutiremos e provaremos vários resultados diferentes para nos ajudar a calcular os limites de uma diferença de potências. Também veremos vários exemplos e aplicações diferentes destes resultados. Antes de começarmos com o caso geral do limite de uma diferença de potências, vamos começar com um caso que vimos antes, o limite de uma função racional. Lembramos que se 𝑃 de 𝑥 dividido por 𝑄 de 𝑥 é uma função racional - isto significa que 𝑃 e 𝑄 são polinómios - então podemos calcular o limite da nossa função racional utilizando substituição direta. O limite quando 𝑥 tende para de 𝑎 de 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥 é igual a 𝑃 de 𝑎 dividido por 𝑄 de 𝑎. E isto é, é claro, desde que o denominador 𝑄 de 𝑎 não seja igual a zero.

Podemos provar isto diretamente das propriedades dos limites. Utilizamos apenas a regra do quociente para limites e o facto de que podemos calcular polinómios por substituição direta. E a função racional é um exemplo de diferença de potências. Por exemplo, 𝑥 elevado a 𝑛 dividido por 𝑥 elevado a 𝑚 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑚. Queremos generalizar isto ainda mais. Mas, por enquanto, vamos focar no caso que temos com funções racionais. E vamos focar na condição de que 𝑄 de 𝑎 não pode ser igual a zero.

Para ver como podemos contornar esta condição, vamos começar por relembrar a definição de um limite. Lembramos que dizemos que o limite de alguma função 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 é igual um valor finito de 𝐿 se os valores de 𝑓 de 𝑥 tendem para 𝐿 quando os valores de 𝑥 tendem para de 𝑎 de ambos os lados. Em particular, estamos interessados apenas nos valores das imagens da nossa função 𝑓 de 𝑥, pois os nossos valores de 𝑥 tendem para 𝑎. Por outras palavras, queremos saber o que acontece à medida que os nossos valores de 𝑥 se aproximam cada vez mais de 𝑎. Na verdade, não nos importamos com o que acontece quando 𝑥 é igual a 𝑎.

Podemos usar isto para criar um teorema muito útil. E se tivéssemos uma função 𝑔 de 𝑥 que fosse exatamente igual à nossa função 𝑓 de 𝑥 em todos os lugares, exceto quando 𝑥 fosse igual a 𝑎? Então, começaremos com uma função 𝑔 de 𝑥, que é exatamente igual à nossa função 𝑓 de 𝑥 em todos os lugares, exceto quando 𝑥 for igual a 𝑎. Queremos utilizar isto para determinar o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. E, de facto, podemos fazer isto. Sabemos que 𝑔 de 𝑥 é exatamente igual a 𝑓 de 𝑥 em todos os lugares, exceto quando 𝑥 é igual a 𝑎. E 𝑔 de 𝑥 não sendo igual a 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 é igual a 𝑎 não afetará o seu limite, porque na verdade não nos importamos com o que acontece quando 𝑥 é igual a 𝑎.

Então, na verdade, os seus limites quando 𝑥 tende para 𝑎 devem ser iguais. O limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 será igual ao limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. E isto dá-nos um resultado realmente útil. Se tivermos duas funções 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 que são iguais em todos os lugares, exceto onde 𝑥 é igual a 𝑎, e sabemos que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 é igual a um valor finito de 𝐿, então o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 também deve ser igual a 𝐿.

Agora estamos prontos para aplicar este resultado diretamente ao nosso exemplo que envolve funções racionais. Para fazer isto, vamos começar com um exemplo. Suponha que queremos calcular o limite quando 𝑥 tende para menos um de 𝑥 mais um multiplicado por 𝑥 menos um dividido por 𝑥 mais um. Como esta é uma função racional, podemos tentar calcular este limite por substituição direta. No entanto, se fizermos isto, no nosso numerador vemos que 𝑥 mais um tornar-se-ia um fator de zero. E no nosso denominador, 𝑥 mais um também seria igual a zero. Portanto, a substituição direta dá-nos zero dividido por zero, que é uma indeterminação, o que significa que não podemos calcular este limite utilizando a substituição direta.

Mas é importante lembrar que não podemos simplesmente concluir que o limite não existe. Tudo o que nos diz é que não podemos calcular este limite utilizando este método. Precisamos de tentar um método diferente. Em vez disso, o que podemos tentar fazer é anular o fator partilhado de 𝑥 mais um no numerador e no denominador. Isto dar-nos-á o limite quando 𝑥 tende para menos um de 𝑥 menos um, que podemos calcular utilizando substituição direta. Mas precisamos de ter cuidado. O anulamento do fator partilhado de 𝑥 mais um mudou a função da qual estamos a considerar o limite. Anteriormente, menos um não estava no domínio da nossa função. No entanto, menos um está no domínio de 𝑥 menos um.

Mas podemos justificar que temos permissão para fazer isto utilizando a propriedade que acabámos de provar. Quando 𝑥 não é igual a menos um, 𝑥 mais um é um número diferente de zero. E um número diferente de zero dividido por si mesmo é sempre igual a um. O que isto realmente significa é que a nossa função racional original e o polinómio 𝑥 menos um são iguais em todos os lugares, exceto quando 𝑥 é igual a menos um. Portanto, ao utilizar a nossa propriedade, os seus limites devem ser iguais. E podemos calcular o limite de 𝑥 menos um quando 𝑥 tende para menos um utilizando a substituição direta. É igual a menos um menos um, o que obviamente é igual a menos dois.

Podemos utilizar exatamente este mesmo raciocínio para calcular o limite de outras funções racionais. Então, vamos abrir espaço e passar por um destes exemplos. Queremos determinar o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 tudo dividido por 𝑥 menos 𝑎. E, por enquanto, assumiremos que o nosso valor de 𝑛 é um número inteiro positivo. E esta é uma função racional, então poderemos tentar calcular este limite por substituição direta. Se fizéssemos isto, obteríamos 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 dividido por 𝑎 menos 𝑎, o que simplifica para nos dar zero dividido por zero, que é obviamente uma indeterminação.

Então, em vez disso, para calcular este limite, queremos utilizar o mesmo truque que fizemos antes. Queremos anular um fator partilhado de 𝑥 menos 𝑎 no numerador e no denominador. Para fazer isso, começaremos por chamar o polinómio no numerador 𝑃 de 𝑥. Isto é 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛. Em particular, como 𝑃 calculado em 𝑎 é igual a zero, o teorema do resto diz-nos que 𝑥 menos 𝑎 deve ser um fator de 𝑃 de 𝑥. De facto, utilizando a divisão polinomial ou de outra forma, podemos mostrar que 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 é igual a 𝑥 menos 𝑎 tudo multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑛 menos um mais 𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos dois mais 𝑎 ao quadrado multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑛 menos três. E adicionamos termos desta forma até 𝑎 elevado a 𝑛 menos um.

Podemos então substituir esta expressão diretamente no nosso limite. Isto dá-nos a seguinte expressão para o nosso limite. E agora podemos anular o fator partilhado de 𝑥 menos 𝑎 no numerador e no denominador. E vale a pena reiterar que temos permissão para fazer isto porque estamos a considerar o limite quando 𝑥 tende para 𝑎. O anulamento do fator partilhado de 𝑥 menos 𝑎 não mudará o valor da nossa função em lado nenhum, exceto quando 𝑥 for igual a 𝑎. Portanto, agora temos o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos um mais 𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos dois. E adicionamos termos desta forma até 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E este é agora o limite de um polinómio, pelo que podemos calcular este limite utilizando substituição direta.

Isto dá-nos 𝑎 elevado a 𝑛 menos um mais 𝑎 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos dois. E adicionamos termos desta forma até 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E se simplificássemos cada termo, notaríamos algo interessante. Cada termo nesta expressão é igual a 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E há 𝑛 destes termos, um para cada expoente de 𝑥, desde 𝑛 menos um até zero. Então, de facto, isto é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos um.

E embora tenhamos assumido que o nosso valor de 𝑛 era um número inteiro positivo, este resultado é verdadeiro para qualquer valor de 𝑛. Temos para quaisquer constantes reais 𝑎 e 𝑛 o seu limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 tudo dividido por 𝑥 menos 𝑎 é igual a 𝑛 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E desde que existam 𝑎 elevado a 𝑛 e 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. Vamos agora ver um exemplo de aplicação desta fórmula para calcular um limite.

Determine o limite quando 𝑥 tende para um da raiz quarta de 𝑥 menos um multiplicado pela raiz sexta de 𝑥 elevado a sete menos um dividido por 𝑥 menos um ao quadrado.

Nesta questão, somos solicitados calcular um limite. E podemos ver que este é o limite de uma função muito complicada. No entanto, podemos ver que esta função é a soma, a diferença, o quociente, o produto e a composição das funções de potência e polinómios. Portanto, podemos tentar calcular este limite utilizando substituição direta. Se substituirmos 𝑥 igual a um nesta função e depois simplificarmos, vemos que é igual a zero dividido por zero, que é uma indeterminação, o que significa que não podemos calcular o limite utilizando este método. Precisamos de tentar um método diferente para calcular este limite. Em vez disso, precisamos de observar que o limite que devemos calcular é muito semelhante a um dos nossos resultados de limite.

Sabemos que, para quaisquer constantes reais 𝑎 e 𝑛, o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 dividido por 𝑥 menos 𝑎 é igual a 𝑛 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E isto desde que existam 𝑎 elevado a 𝑛 e 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. Portanto, precisamos de reescrever o limite dado nesta forma. Para fazer isto, começaremos utilizando a regra do produto para limites para distribuir o denominador sobre cada um dos fatores no nosso numerador. Primeiro, reescreveremos o nosso limite quando 𝑥 tende para um da raiz quarta de 𝑥 menos um dividido por 𝑥 menos um multiplicado pela raiz sexta de 𝑥 elevado a sete menos um dividido por 𝑥 menos um.

Cada um dos dois fatores da nossa função está agora na forma da nossa regra dos limites. E ao utilizar a regra do produto para limites, podemos dividir o limite de um produto de duas funções no produto do limite dessas duas funções. E vale a pena reiterar que isto só será verdade se o limite de ambas as nossas funções existir. De facto, poderemos mostrar isto utilizando o nosso resultado limite. Antes de aplicarmos este resultado, precisamos de reescrever o nosso numerador. Vamos reescrever a raiz quarta de 𝑥 utilizando as nossas regras das potências como 𝑥 elevado a um quarto e a raiz sexta de 𝑥 elevado a sete como 𝑥 elevado a sete sobre seis.

Agora estamos prontos para utilizar o nosso resultado limite para calcular o nosso limite. Vamos começar com o primeiro limite. Temos o valor de 𝑛 igual a um quarto e o valor de 𝑎 igual a um. É importante notar que um elevado a um quarto é igual a um. Portanto, isto está de facto na forma do nosso resultado para limites. Portanto, pelo nosso resultado limite, podemos calcular este limite como igual a 𝑛 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos um, que neste caso é um quarto multiplicado por um elevado a um quarto menos um.

Podemos fazer exatamente o mesmo para o nosso segundo limite. O valor de 𝑛 é sete sextos e o valor de 𝑎 também é igual a um. E mais uma vez, pelo nosso resultado limite, podemos calcular este limite. É 𝑛 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos um, que neste caso é sete sextos multiplicado por um elevado a sete sextos menos um. E é claro que precisamos de multiplicar estes dois valores. E agora podemos calcular esta expressão diretamente. Primeiro, um elevado a qualquer número é igual a um. Portanto, isto simplifica para nos dar um quarto multiplicado por sete sextos, o que é igual a sete sobre 24.

Portanto, fomos capazes de mostrar o limite quando 𝑥 tende para um da raiz quarta de 𝑥 menos um multiplicado pela raiz sexta de 𝑥 elevado a sétimo menos um dividido por 𝑥 menos um ao quadrado igual a sete dividido por 24.

Utilizando o nosso resultado para limites para uma diferença de duas potências, podemos realmente mostrar dois outros resultados para limites realmente úteis. Primeiro, imagine que nos pediram para calcular o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 dividido por 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛. Na verdade, podemos escrever isto inteiramente em termos do nosso resultado para limites. Para fazer isso, começaremos por introduzir um fator de 𝑥 menos 𝑎 no numerador e no denominador. Em seguida, em vez de multiplicar, vamos dividir pelo inverso. Isto dá-nos a seguinte expressão. E podemos ver que estas duas funções estão na forma do nosso resultado limite. Então, vamos calcular este limite utilizando a regra do quociente para limites.

A regra do quociente para limites diz-nos que o limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas duas funções. Isto é, desde que os dois limites existam e o limite no denominador não seja igual a zero. Agora podemos calcular ambos os limites utilizando o nosso resultado limite. O primeiro limite é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E o segundo limite é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑚 menos um. Precisamos apenas de dividir estas duas expressões. E quando dividimos estas duas expressões e simplificamos, obtemos 𝑛 sobre 𝑚 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑚.

E isto dá-nos um resultado realmente útil. Para quaisquer constantes reais 𝑎, 𝑛 e 𝑚, o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 tudo dividido por 𝑥 elevado a 𝑚 menos 𝑎 elevado a 𝑚 é igual a 𝑛 dividido por 𝑚 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑚. E isto, desde que 𝑚 não seja igual a zero e 𝑎 elevado a 𝑛, 𝑎 elevado a 𝑚 e 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑚, todos existem.

Há mais um resultado de limite útil que podemos mostrar a partir deste. Vamos substituir 𝑦 igual a 𝑥 menos 𝑎 neste resultado limite. Para fazer isso, vamos abrir espaço e começar com o nosso resultado limite. Podemos determinar uma expressão para 𝑥 adicionando 𝑎 a ambos os membros. Vemos que 𝑥 é igual a 𝑦 mais 𝑎. Também podemos ver que os valores de 𝑥 tendem para 𝑎, 𝑥 menos 𝑎 tende para zero. Portanto, os valores de 𝑦 tenderão para zero. Portanto, substituindo 𝑦 igual a 𝑥 menos 𝑎 no nosso limite, obtemos o limite quando 𝑦 tende para zero de 𝑦 mais 𝑎 elevado à 𝑛-ésima potência menos 𝑎 elevado a 𝑛 tudo dividido por 𝑦. E isto é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. Podemos então reescrever este resultado para limites em termos da variável 𝑥.

Isto dá-nos o seguinte resultado. Para quaisquer constantes reais 𝑎 e 𝑛, o limite quando 𝑥 𝑦 zero de 𝑥 mais 𝑎 elevado à 𝑛-ésima potência menos 𝑎 elevado a 𝑛 tudo dividido por 𝑥 é igual a 𝑛 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E isto, desde que existam 𝑎 elevado a 𝑛 e 𝑎 elevado a 𝑛 menos um.

Vamos agora ver um exemplo de aplicação de um destes resultados para limite.

Determine o limite quando 𝑥 tende para dois de 𝑥 menos quatro, tudo ao cubo mais oito, tudo dividido por 𝑥 menos dois.

Nesta questão, somos solicitados calcular o limite de uma função. Podemos ver que no nosso numerador temos um polinómio e no nosso denominador temos um polinómio. Portanto, esta é uma função racional. E podemos sempre tentar calcular o limite de uma função racional por substituição direta. Substituindo 𝑥 é igual a dois na função, obtemos dois menos quatro tudo ao cubo mais oito tudo dividido por dois menos dois, que, se calcularmos, vemos que é zero dividido por zero, que é uma indeterminação. Como isto dá uma indeterminação, não podemos calcular este limite utilizando substituição direta; vamos precisar de utilizar um método diferente.

Precisamos de perceber que o limite que nos é dado na questão é muito semelhante a um dos nossos resultados de limite. Ou seja, o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑥 mais 𝑎, tudo elevado à 𝑛-ésima potência menos 𝑎, tudo dividido por 𝑥 é igual a 𝑛 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E desde que existam 𝑎 elevado a 𝑛 e 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. Mas este resultado para limites tem 𝑥 a tender para zero e o limite que nos pedem para calcular tem 𝑥 a tender para dois. Então, vamos utilizar a substituição 𝑦 igual a 𝑥 menos dois. Então, à medida que nossos valores de 𝑥 tendem para dois, 𝑥 menos dois estará a tender para zero. Portanto, os nossos valores de 𝑦 tendem para zero.

No nosso denominador, temos 𝑥 menos dois, que será igual a 𝑦. No entanto, no nosso numerador, temos 𝑥 menos quatro. Então, precisamos de deteminar uma expressão para 𝑥 menos quatro. E podemos determinar isto subtraindo dois de ambos os membros da nossa equação para 𝑦. Obtemos 𝑦 menos dois igual a 𝑥 menos quatro. Portanto, ao utilizar a substituição 𝑦 é igual a 𝑥 menos dois, fomos capazes de reescrever o nosso limite quando o limite tende para zero de 𝑦 menos dois tudo ao cubo mais oito tudo dividido por 𝑦.

E isto agora está quase exatamente na forma do nosso resultado limite. Podemos escrever na forma exata do nosso resultado limite observando que 𝑦 mais menos dois é o mesmo que 𝑦 menos dois e oito é o mesmo que menos um vezes menos dois, tudo ao cubo. Portanto, o nosso valor de 𝑎 é menos dois e o nosso valor de 𝑛 é três. Portanto, o nosso resultado limite diz-nos que este limite é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. Substituindo 𝑎 igual a menos dois e 𝑛 igual a três, obtemos três multiplicado por menos dois elevado a três menos um, que podemos calcular ser igual a 12. Portanto, fomos capazes de mostrar o limite quando 𝑥 tende para dois de 𝑥 menos quatro tudo ao cubo mais oito dividido por 𝑥 menos dois é igual a 12.

Vamos agora repassar alguns dos pontos principais que abordámos nesta aula. Primeiro, se tivermos duas funções 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 que são iguais em todo o lado, exceto quando 𝑥 é igual a 𝑎, e sabemos que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 é igual a 𝐿, então o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 também deve ser igual a 𝐿. Este é um resultado realmente útil. Uma coisa que nos permite fazer é anular fatores partilhados de 𝑥 menos 𝑎 quando estamos a calcular o limite de funções racionais.

Também mostrámos três resultados para limites úteis que valem para qualquer constante real 𝑎, 𝑛 e 𝑚. Primeiro, o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 tudo dividido por 𝑥 menos 𝑎 é igual a 𝑛 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E desde que existam 𝑎 elevado a 𝑛 e 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. Em segundo lugar, mostrámos que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 tudo dividido por 𝑥 elevado a 𝑚 menos 𝑎 elevado a 𝑚 é igual a 𝑛 dividido por 𝑚 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑚. E isto, desde que 𝑚 seja diferente de zero e 𝑎 elevado a 𝑛, 𝑎 elevado a 𝑚 e 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑚, todos existem. E o nosso resultado do limite final disse-nos que o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑥 mais 𝑎 tudo elevado a 𝑛-ésima potência menos 𝑎 a 𝑛-ésima potência tudo dividido por 𝑥 é igual a 𝑛 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E desde que existam 𝑎 elevado a 𝑛 e 𝑎 elevado a 𝑛 menos um.

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