Vídeo: Encontrando o Conjunto Solução de Equações Exponenciais sobre o Conjunto de Números Reais Utilizando Fatores e Propriedades de Potências

Encontre o conjunto solução de 2^(𝑥²) = 4^(6𝑥 − 16) em ℝ.

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Encontre o conjunto solução de dois elevado a potência de 𝑥 ao quadrado é igual a quatro à potência de seis 𝑥 menos 16 no conjunto de números reais.

Para resolver esse problema, primeiramente, queremos dar uma rápida olhada no lado direito da equação. Podemos ver que o lado direito da pergunta é quatro elevado a seis 𝑥 menos 16. E um fator chave de informação para nos ajudar com este problema é que quatro é igual a dois elevado a dois ou dois ao quadrado. E a razão pela qual isso é interessante é porque queremos obter os dois lados de nossa equação envolvendo o mesmo número de base. E neste caso, o dois. Então, é ótimo, já que sabemos que quatro é igual a dois elevado a dois, o que podemos fazer é realmente substituir isso em nossa equação.

Portanto, nossa equação agora se torna: dois elevado a 𝑥 ao quadrado é igual a dois elevado a - e então temos dois, porque são dois elevado a dois que dá nosso quatro, e então isso é multiplicado por seis 𝑥 menos 16. Então, ótimo, nós realmente conseguimos o que estávamos planejando fazer. E isso é para obter a mesma base nos dois lados de nossa equação. E como temos a mesma base em cada lado da nossa equação, o que podemos fazer agora é que podemos igualar os expoentes.

Então percebemos que 𝑥 ao quadrado é igual a dois multiplicado por seis 𝑥 menos 16. Ótimo, agora temos uma equação. E vamos resolver para encontrar 𝑥. Então, a primeira coisa que faremos para resolver a equação é expandir os parênteses. Então eu começo com dois multiplicado por seis 𝑥 o que me dá 12𝑥. E então eu vou ter dois multiplicado por 16 negativos o que me dá 32 negativos. Ótimo, minha equação agora será 𝑥 ao quadrado é igual a 12𝑥 menos 32. Como estamos realmente procurando resolver essa equação e encontrar 𝑥, o que vamos fazer agora é subtrair 12𝑥 e adicionar 32 a cada lado. Então, temos que, nossa equação é igual a zero.

Então agora temos uma equação do segundo grau que é igual a zero. Nós temos 𝑥 ao quadrado menos 12𝑥 mais 32 é igual a zero. E observando esta quadrática, podemos ver que podemos fatorar para resolvê-la. Então, obtemos 𝑥 menos quatro multiplicado por 𝑥 menos oito é igual a zero. Então, nós temos isso porque a soma de quatro negativos e oito negativos é 12 negativo, que é o nosso coeficiente de 𝑥. E o produto de quatro negativos e oito negativos é igual a 32 positivo. Então, ótimo. Ok, eles são nossos fatores. E agora, vamos encontrar 𝑥.

Então como queremos encontrar 𝑥, para fazer isso, o que precisamos fazer é definir os dois parênteses como iguais a zero. Porque para que a equação seja igual a zero, um dos nossos parênteses também terá que ser igual a zero. Então, primeiro, bem, vamos começar com 𝑥 menos quatro é igual a zero. Então adicionamos quatro em cada lado da equação. Nós vamos conseguir que 𝑥 é igual a quatro. Ótimo, essa é nossa primeira solução.

Então passamos para 𝑥 menos oito é igual a zero. Então, adicionamos oito em cada lado da equação. E lá nós temos 𝑥 é igual a oito. Ótimo, então essa é a outra solução da nossa equação.

Assim podemos dizer que o conjunto solução de dois para a potência de 𝑥 ao quadrado é igual a quatro elevado a seis 𝑥 menos 16 no conjunto de números reais é: oito, quatro.

E apenas um lembrete rápido, a parte chave de uma pergunta como essa é ter certeza de que obteremos os dois lados da equação na mesma base. E para fazer isso, procure uma pergunta onde você tem, digamos, um dois e um quatro ou um dois e um oito, um dois e um 16 ou um três e nove, um três e um 27. Mantenha-se atento, pois esse é o tipo de coisa que você verá em uma pergunta como essa. E é assim que você começaria a pergunta e seguiria em frente para resolver e encontrar o conjunto solução.

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