Vídeo: Tatuagens em Matemática

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Tatuagens em Matemática

06:56

Transcrição do vídeo

Ei pessoal! Apenas um pequeno tipo de vídeo fora do comum para você hoje. Cam, um amigo meu, fez recentemente uma tatuagem de matemática. Não é algo que eu recomendo. Mas ele disse à sua equipe no trabalho que, se atingissem um determinado objetivo, é algo que ele faria. E, bem, o incentivo funcionou.

As iniciais de Cam são CSC, que por acaso é a abreviação da função cossecante em trigonometria. Então, o que ele decidiu fazer é fazer de sua tatuagem uma certa representação geométrica do que essa função significa. É como uma assinatura sem palavras escrita em matemática pura. No entanto, ele me fez pensar sobre o motivo de ensinarmos aos alunos as funções trigonométricas: cossecante, secante e cotangente. E me ocorreu que há algo meio poético nessa tatuagem em particular. Assim como as tatuagens são pintadas artificialmente, mas permanecem permanentes como se fossem uma parte essencial da carne do destinatário, o fato da cossecante ser uma função nomeada é uma espécie de construção artificial na matemática.

A trigonometria poderia muito bem ter existido intacta sem que a cossecante fosse nomeada. Mas porque era, tem essa estranha e artificial permanência em nossas convenções e, em certa medida, em nosso sistema educacional. Em outras palavras, a cossecante não é apenas uma tatuagem no peito de Cam. É uma tatuagem da própria matemática, algo que parecia razoável e até digno de imortalidade no início, mas que não necessariamente se sustenta com o passar do tempo.

Aqui, deixe-me mostrar a todos uma foto da tatuagem que ele escolheu, porque muitas pessoas não sabem a representação geométrica da cossecante. Sempre que você tem um ângulo, normalmente representado com a letra grega 𝜃, é comum na trigonometria relacioná-lo com um ponto correspondente no círculo unitário, o círculo com o raio centrado na origem no plano 𝑥𝑦. A maioria dos estudantes de trigonometria aprendeu que a distância entre esse ponto aqui no círculo e o eixo 𝑥 é o seno do ângulo. E a distância entre esse ponto e o eixo 𝑦 é o cosseno do ângulo. E esses comprimentos dão uma compreensão realmente maravilhosa do que é cosseno e seno.

As pessoas podem aprender que a tangente de um ângulo é seno dividido por cosseno e que a cotangente é o contrário, cosseno dividido por seno. Mas relativamente poucos aprenderam que também há uma boa interpretação geométrica para cada uma dessas quantidades. Se você desenhar uma reta tangente ao círculo nesse ponto, a distância desse ponto ao eixo 𝑥 ao longo dessa tangente é, bem, a tangente do ângulo. E a distância ao longo dessa reta até o ponto em que atinge o eixo 𝑦, bem, esse é a cotangente do ângulo. Novamente, isso dá uma sensação realmente intuitiva do significado dessas quantidades. Você meio que imagina alterando 𝜃 e vendo quando a cotangente fica menor, quando a tangente fica maior. E é um bom teste para todos os alunos que trabalham com elas.

Da mesma forma, secante, que é definida como um dividido pelo cosseno, e cossecante, que é definida como um dividido pelo seno de 𝜃, cada uma tem seus próprios lugares neste diagrama. Se você observar o ponto em que essa reta tangente cruza o eixo 𝑥, a distância desse ponto até a origem é a secante do ângulo; isto é, um dividido pelo cosseno. Da mesma forma, a distância entre o ponto em que essa reta tangente cruza o eixo 𝑦 e a origem é a cossecante do ângulo; isto é, um dividido pelo seno. Se você está se perguntando por que isso é verdade na Terra, observe que temos dois triângulos retos semelhantes aqui, um pequeno dentro do círculo e esse triângulo maior cuja hipotenusa está no eixo 𝑦. Vou deixar que você verifique se esse ângulo interior na ponta é 𝜃, o ângulo que começamos originalmente dentro do círculo.

Agora, para cada um desses triângulos, quero que você pense na razão entre o comprimento do lado oposto a 𝜃 e o comprimento da hipotenusa. Para o triângulo pequeno, o comprimento do lado oposto é seno de 𝜃 e a hipotenusa é esse raio, aquele que definimos como tendo comprimento um. Portanto, a razão é apenas seno de 𝜃 dividido por um. Agora, quando olhamos para o triângulo maior, o lado oposto 𝜃 é a linha radial de comprimento um. E a hipotenusa agora tem esse comprimento no eixo 𝑦, o que estou reivindicando é a cossecante. Se você pegar o inverso de cada lado aqui, verá que isso coincide com o fato de que a cossecante de 𝜃 é um dividido por seno. Legal, certo?

Também é bom que seno, tangente e secante correspondam a comprimentos de linhas que de alguma forma vão para o eixo 𝑥. E então o cosseno, cotangente e cossecante correspondentes são todos comprimentos de retas que vão para os pontos correspondentes no eixo 𝑦. E em um diagrama como esse, pode ser agradável que todos os seis sejam funções nomeadas separadamente. Mas em qualquer uso prático da trigonometria, você pode sobreviver usando apenas seno, cosseno e tangente. De fato, se você realmente quisesse, poderia definir todos os seis em termos de seno sozinho. Mas o tipo de coisa que cosseno e tangente correspondem aparecem com frequência suficiente para que seja mais conveniente dar-lhes seus próprios nomes. Mas cossecante, secante e cotangente nunca surgem realmente na solução de problemas de uma maneira que não seja tão conveniente para escrever em termos de seno, cosseno e tangente.

Nesse ponto, é realmente apenas adicionar mais palavras para os alunos aprenderem com pouca utilidade adicional. E se qualquer coisa, se você apenas introduziu secante como um sobre cosseno e cossecante como um sobre seno, a incompatibilidade desse co-prefixo provavelmente é apenas um ponto adicional de confusão em uma classe que é propensa a causar confusão para muitos de seus alunos. A razão de todas essas seis funções terem nomes separados, a propósito, é que antes dos computadores e calculadoras, se você estivesse fazendo trigonometria, talvez porque você é um marinheiro, um astrônomo ou algum tipo de engenheiro, você encontrará os valores para essas funções usando gráficos grandes que apenas registraram pares de entrada-saída conhecidos. E quando você não pode digitar facilmente algo como um dividido pelo seno de 30 graus em uma calculadora, pode fazer sentido ter uma coluna dedicada a esse valor com um nome dedicado.

E se você tiver um diagrama como este em mente quando estiver fazendo medições com seno, tangente e secante, com significados espelhados para cosseno, cotangente e cossecante, chamar essa cossecante, em vez de um dividido por seno, pode realmente fazer algum sentido. E pode realmente facilitar a lembrança do que significa geometricamente. Mas os tempos mudaram e a maioria dos casos de uso de trigonometria não envolve gráficos de valores e diagramas como este. Portanto, a cossecante e seus irmãos são tatuagens em matemática, ideias cuja permanência em nossas convenções é obra nossa, não o resultado da própria natureza.

E, em geral, acho que essa é uma boa lição para qualquer aluno que aprende uma nova peça de matemática, em qualquer nível. Você só precisa de um momento e perguntar a si mesmo se o que você está aprendendo é essencial para a essência da matemática e da própria natureza ou se o que você está vendo é realmente apenas sobre o assunto e poderia facilmente ter isso tatuado de alguma maneira completamente diferente.

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