Vídeo: Fatorando Polinômios — Fator Comum

Através de uma série de exemplos e passagens, aprenda como procurar os maiores fatores comuns de termos em uma expressão polinomial. Consideramos os números nos coeficientes e termos constantes e as próprias variáveis em cada termo.

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Fatorar Polinômios com um Fator Comum

Então, se temos seis 𝑥 mais quinze e formos solicitados a fatorar isso, estamos procurando o “maior fator comum” ou “MFC”. Então, estamos procurando o maior fator comum que está em ambos os seis 𝑥 e quinze. Bem, sabemos que eles estão ambos na tabuada de três; então três estão neles e não há um número maior. Então, vamos escrever ambos com um fator de três. Então eu posso dizer que seis 𝑥 é três multiplicado por dois 𝑥 e quinze são três multiplicados por cinco.

Usando a propriedade distributiva, vamos pegar esses três de cada termo e colocá-lo do lado de fora dos parênteses. E então, dentro dos parênteses, nós teremos o que sobrou de cada termo. Teremos em primeiro lugar dois 𝑥 e depois cinco. Então, agora nós fatoramos o polinômio seis 𝑥 mais quinze encontrando o maior fator comum de ambos os termos e colocando isso fora dos parênteses.

Agora, devemos fatorar a expressão sete 𝑥 ao cubo mais quatorze 𝑥 ao quadrado menos trinta e cinco 𝑥. Então, novamente, o que procuramos é o maior fator comum de cada um desses termos. Então, olhando os números em primeiro lugar, podemos ver que cada um desses números está na tabuada do sete. Portanto, o maior fator comum é sete antes de tudo. E então, olhando para as variáveis, podemos ver que cada uma delas tem um 𝑥; então o maior fator comum de todos esses termos será sete 𝑥.

Agora, se fizermos exatamente o mesmo que fizemos no exemplo anterior e escrevermos cada um desses termos com uma multiplicação de sete 𝑥, poderemos ver que o primeiro termo será sete 𝑥 multiplicado por 𝑥 e por 𝑥 novamente - então sete 𝑥 multiplicado por 𝑥 ao quadrado. O próximo termo, sabemos que sete multiplicado por dois é catorze. Então temos sete 𝑥 multiplicados por dois, primeiro de tudo. E então focando nas variáveis, sabemos que 𝑥 multiplicado por 𝑥 é 𝑥 ao quadrado. Então será sete 𝑥 multiplicado por dois 𝑥.

E agora, nosso último termo, vamos ver isso como um termo inteiro negativo de trinta e cinco 𝑥. E sabemos que sete multiplicado por menos cinco são menos trinta e cinco. Então agora temos sete 𝑥 multiplicado por menos cinco. E agora, novamente, usando a lei distributiva, vamos ver - cada um desses termos tem sete 𝑥 dentro; então vamos pegar sete 𝑥 e colocá-lo do lado de fora dos parênteses. E, em seguida, dentro dos parênteses, temos cada um desses termos em azul. Então, primeiro de tudo, temos 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 menos cinco. E agora nós temos isso; nós fatoramos totalmente este polinômio.

Então, apenas como uma recapitulação do que fizemos. Analisamos cada um dos termos e tentamos encontrar o maior fator comum. Então, nós olhamos primeiro para os números e descobrimos que sete era comum em cada um dos termos. E então, procurando pelas variáveis, pudemos ver que 𝑥 era comum em cada um dos termos. Portanto, o maior fator comum foi sete 𝑥. Então nós olhamos para cada um dos termos individualmente e dizemos sete 𝑥 multiplicado pelo que é esse termo anterior. E então, uma vez que fizemos isso, usamos a lei distributiva para tirar sete 𝑥 para fora dos parênteses, deixando-nos com os termos que sobraram.

Agora vamos ver um com não apenas 𝑥, mas também 𝑦. Então temos que fatorar doze 𝑥 ao quadrado 𝑦 com a potência de cinco menos trinta 𝑥 à potência de quatro 𝑦 ao quadrado. Então, estamos procurando, em primeiro lugar, o maior fator comum nos números. Então podemos ver que dois entram em ambos; bem, isso é bem pequeno. Então, talvez haja um maior, mas sabemos que três está em ambos também. Então, se dois e três estão, isso significa que seis devem estar. E não há um número maior do que isso. Então, temos que o maior fator comum é seis.

Agora, olhando as variáveis, primeiro vamos nos concentrar em 𝑥. Assim, podemos ver que a menor potência de 𝑥 é 𝑥 ao quadrado, então 𝑥 ao quadrado pertence a ambos. E a menor potência de 𝑦 é 𝑦 ao quadrado, então 𝑦 ao quadrado pertence a ambos. Então, o nosso maior fator comum é um pouco mais complicado desta vez; nosso maior fator comum é seis 𝑥 ao quadrado 𝑦 ao quadrado, então vamos fazer exatamente como fizemos nos dois exemplos anteriores. Nós vamos pegar cada um desses termos e escrevê-los como multiplicações com o maior fator comum. Então, como sempre fazemos os números primeiro, podemos dizer que seis multiplicados por dois são doze.

Então, olhando para o termo 𝑥, podemos ver que 𝑥 ao quadrado multiplicado por um é 𝑥 ao quadrado, então não precisamos fazer nada com isso. Mas sabemos que 𝑦 elevado a cinco é 𝑦 multiplicado por 𝑦 multiplicado por 𝑦 multiplicado por 𝑦 multiplicado por 𝑦. E sabemos que 𝑦 ao quadrado é apenas 𝑦 multiplicado por 𝑦, portanto, podemos ver que temos três 𝑦s sobrando. Então, precisamos multiplicar nosso termo por 𝑦 elevado a três ou 𝑦 ao cubo. Agora, para não ficarmos confusos, vamos considerar o próximo termo como todo menos trinta 𝑥 elevado a quatro 𝑦 ao quadrado. Portanto, seis multiplicados por menos cinco são menos trinta.

E então, olhando para as potências de 𝑥, podemos ver que temos 𝑥 ao quadrado como nosso maior fator comum. E precisamos de dois 𝑥 elevado a quatro. Assim, sabemos que 𝑥 elevado a quatro é 𝑥 multiplicado por 𝑥 multiplicado por 𝑥 multiplicado por 𝑥. E sabemos que 𝑥 ao quadrado é apenas 𝑥 multiplicado por 𝑥. Assim, podemos ver que temos dois sobrando para chegar ao nosso termo, de modo que será menos cinco 𝑥 ao quadrado.

Agora fizemos tudo o que precisamos fazer. Então, vamos usar a lei distributiva novamente, tomando nosso maior fator comum e colocando isso do lado de fora dos parênteses. E então o que sobrou é dois 𝑦 ao cubo menos cinco 𝑥 ao quadrado e lá nós temos isso. Então, apenas para recapitular o que fizemos, fomos a um polinômio e procuramos o maior fator comum primeiro, observando as constantes. Então dissemos o que é doze e menos trinta; qual é o maior fator comum deles? E podemos ver que isso era seis. Então nós olhamos as variáveis ​​e encontramos a menor potência de cada uma delas; que era 𝑥 ao quadrado e 𝑦 ao quadrado. Em seguida, analisamos cada termo individualmente e dissemos o que temos que multiplicar esse maior fator comum para obter o termo dado. Então descobrimos que usando a propriedade distributiva, colocando o fator do lado de fora dos parênteses e deixando-nos com dois 𝑦 ao cubo menos cinco 𝑥 ao quadrado.

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