O portal foi desativado. Entre em contato com o administrador do portal.

Vídeo da aula: Momento de Inércia Física • 9º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como calcular a massa angular, chamada de momento de inércia, de objetos em rotação de várias formas regulares.

14:25

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, estamos falando sobre momento de inércia. Este é um termo que descreve como diferentes objetos respondem à força rotacional. Por exemplo, se liberarmos as três massas no topo deste plano inclinado no mesmo momento, então, dependendo do momento de inércia de cada uma, ela começará a rolar mais ou menos rapidamente. Nesta aula, chegaremos a uma melhor compreensão do que significa momento de inércia e estudaremos quais são os momentos de inércia para algumas formas comuns girando em torno de eixos comuns.

A primeira coisa que podemos dizer sobre esse termo é que ele descreve a capacidade de uma determinada massa girar em torno de um eixo específico. Agora, se temos algum objeto massivo, digamos esta esfera sólida bem aqui, podemos ver que existem muitas maneiras diferentes de esta massa girar. Por exemplo, ele poderia estar girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro, assim. Mas, realmente, esse eixo pode estar em qualquer lugar. Pode ser, digamos, fora do centro da forma ou pode até mesmo estar completamente fora da forma, com nossa massa movendo-se em torno do eixo assim, como a Terra orbita o sol.

Assim, vemos imediatamente que existem muitas maneiras diferentes de uma massa girar. E não apenas isso, mas dado um certo eixo de rotação, existem muitas massas diferentes que poderiam estar girando em torno dele. Digamos que para cada uma dessas quatro esferas, a densidade do material que compõe a esfera sólida é a mesma. E, portanto, a esfera maior tem a maior massa, a próxima esfera maior tem a segunda maior e assim por diante. Podemos imaginar todas essas quatro esferas começando ainda, sem girar, mas exigindo um empurrão nosso para começar a girar em torno do eixo através de seus centros. Pensando assim, podemos ver que seria necessário um empurrão menor, menos força, para fazer a esfera menor girar, enquanto a esfera maior exigiria muito esforço e muito empurrão.

Poderíamos dizer então que o termo momento de inércia tem a ver com a dificuldade de fazer um objeto girar ou pará-lo depois de rodar. Quanto maior o momento de inércia de um objeto, mais provável é que ele continue com seu movimento rotacional inalterado. Desta forma, momento de inércia é como outro termo da física que aprendemos antes. Digamos que ao lado de nossas esferas giratórias, temos essas massas de tamanhos diferentes, mas novamente com a mesma densidade, sentadas em uma superfície sem atrito, digamos que é uma superfície de gelo. Sabemos intuitivamente que a força que precisamos aplicar a esta caixa menor para dar-lhe alguma aceleração é menor do que a força que precisaríamos aplicar à maior para dar-lhe a mesma aceleração. Portanto, quanto maior a massa, mais difícil é fazer a caixa se mover, assim como vimos que quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer um objeto girar. Portanto, o momento de inércia, que se aplica a objetos em rotação, é como a massa quando falamos sobre essas massas movendo-se em linha reta.

Sabendo disso, vamos agora considerar o momento mais simples de inércia de alguma massa que está girando em torno de algum eixo. Neste exemplo, diremos que nossa massa é uma massa pontual que literalmente não ocupa espaço, mas tem algum valor de massa. E então diremos que essa massa está girando em torno de um eixo que está a uma distância de 𝑟. Então, o caminho que nossa massa rotativa seguiria pode ser assim. Se quisermos calcular o momento de inércia dessa massa pontual à medida que ela gira em torno desse eixo, primeiro, a forma como simbolizamos esse momento é usando a letra maiúscula 𝐼. E, no nosso caso, daremos a ele este subscrito pm porque estamos falando sobre o momento de inércia de uma massa pontual.

Matematicamente, isso é igual à massa do nosso objeto multiplicada por sua distância do eixo de rotação ao quadrado. Então, se considerarmos novamente que o momento de inércia se aplica a uma massa que está girando, podemos ver esses dois elementos nesta definição matemática. Temos nossa massa 𝑚, e o fato de ela estar girando significa que existe um raio 𝑟 que podemos incluir nesta equação. E notamos que este raio é quadrado. Por esse motivo, o momento de inércia às vezes também é chamado de segundo momento de massa de um objeto em torno de algum eixo. Mas de qualquer forma, este momento de inércia, para o objeto mais simples possível que poderíamos ter, um ponto de massa, nos mostra como o momento de inércia pode ser calculado até mesmo para objetos maiores como nossa esfera ou um cubo ou alguma outra forma.

O que fazemos é pegar cada pedacinho de massa nessa forma e multiplicá-lo pela distância desse pedacinho de massa do eixo de rotação ao quadrado. E então adicionamos todos esses valores juntos. Em apenas um minuto, veremos mais sobre o que são os momentos de inércia para formas comuns girando em torno de eixos comuns. Mas, por enquanto, vamos notar que as unidades do momento de inércia de uma massa pontual e, de fato, as unidades do momento de inércia para qualquer objeto são as unidades de massa. A unidade de base SI de massa é o quilograma multiplicado pela distância ao quadrado, onde a unidade de base SI de distância é o metro. Sempre que calculamos um momento de inércia, então, esperamos ter essas unidades, quilogramas metros ao quadrado. Sabendo disso, vamos agora olhar para os momentos de inércia para formas que são diferentes de uma massa pontual.

A primeira forma que consideraremos é uma esfera sólida, mais uma vez girando em torno de um eixo através de seu centro. O momento de inércia para este objeto, girando em torno de um eixo como este, é dois quintos de sua massa vezes seu raio ao quadrado. Então, se sabemos o raio da esfera e sabemos sua massa, podemos calcular seu momento de inércia, pois ela giraria em torno de um eixo através de seu centro. A seguir, vamos considerar uma esfera semelhante, mas esta é oca. Podemos pensar nisso como uma casca esférica vazia, novamente girando em torno de um eixo através de seu centro. O momento de inércia de uma esfera oca girando desta forma é igual a dois terços da massa da esfera vezes seu raio ao quadrado. Comparando essas duas equações, vemos que se tivéssemos duas esferas, uma sólida e uma oca, mas ambas com a mesma massa e o mesmo raio, então a esfera oca teria na verdade um momento de inércia maior do que a sólida.

Para nossa próxima forma e eixo, digamos que temos um cilindro sólido girando em torno de uma linha ao longo de seu eixo central. Uma massa desta forma girando desta forma tem um momento de inércia igual a metade de sua massa total vezes seu raio ao quadrado, onde o raio do cilindro está nesta distância aqui. É o raio do círculo que forma a extremidade do cilindro. Até agora, consideramos os momentos de inércia de diferentes formas, mas formas que giram em torno do mesmo eixo, poderíamos dizer, um eixo através de seu centro. Mas e se tivéssemos um objeto, digamos uma barra de comprimento 𝐿, que girasse em torno de um eixo em contato com uma das extremidades da barra? Acontece que o momento de inércia de tal objeto é igual a um terço de sua massa total vezes seu comprimento ao quadrado.

Observe, entretanto, que se tivéssemos a mesma haste de comprimento 𝐿 e massa 𝑚 girando agora em torno de um eixo através de seu centro, então seu momento de inércia é diferente. É um duodécimo da massa da haste vezes o seu comprimento ao quadrado. A diferença entre esta relação e esta ressalta o fato de que o eixo em torno do qual nossa forma está girando afeta seu momento de inércia. Observe, porém, que independentemente do eixo de rotação, para todas as nossas formas até agora, as unidades do momento de inércia são quilogramas metros quadrados. Isso permanece constante, não importa com que tipo de formato estamos trabalhando ou como ele gira. Outra forma que podemos considerar é um anel com um eixo no centro. Este anel é definido por dois raios, um interno aqui, vamos chamar de 𝑟 um, e um externo aqui, vamos chamar de 𝑟 dois.

Configurado dessa forma, o momento de inércia do nosso anel é a metade de sua massa total vezes a quantidade, seu raio interno 𝑟 um ao quadrado mais seu raio externo 𝑟 dois ao quadrado. Considerando este momento de inércia do nosso anel e lembrando também o que anotamos para o nosso cilindro, note algo interessante. Em ambos os casos, esse momento de inércia não depende do que poderíamos chamar de altura de nosso objeto. Depende apenas das massas e raios desses objetos. Tendo visto isso, vamos agora considerar apenas mais alguns momentos de inércia das formas comuns enquanto giram.

Digamos, temos uma forma, que podemos chamar de arco, girando em torno de um eixo como este. Se o arco tiver um raio 𝑟, então seu momento de inércia em torno desse eixo é a massa do arco vezes esse raio ao quadrado. Observe que, mais uma vez, esse momento de inércia não depende do que poderíamos chamar de altura do arco. E por último, vamos imaginar uma forma chamada cuboide. Se dissermos que esta forma tem largura 𝑤 e profundidade 𝑑, então seu momento de inércia ao girar em torno de um eixo que passa pelo centro do que poderíamos chamar de topo é um duodécimo de sua massa vezes a quantidade 𝑤 ao quadrado mais 𝑑 ao quadrado, onde 𝑤 é sua largura e 𝑑 é sua profundidade. Sabendo tudo isso sobre momento de inércia, vamos agora praticar um pouco essas ideias por meio de um exemplo.

Qual das alternativas a seguir mostra corretamente a unidade SI para o momento de inércia? (A) Quilogramas por metro ao quadrado, (B) quilogramas ao quadrado vezes metros, (C) quilogramas ao quadrado vezes metro ao quadrado, (D) quilogramas vezes metro ao quadrado, (E) a quantidade de quilogramas vezes metros ao quadrado.

Considerando esta questão, podemos ver que não estamos falando sobre momento de inércia para uma forma particular, girando em torno de um eixo particular. Mas em vez disso, estamos falando desse termo em geral; queremos que nossa resposta dê as unidades que se aplicam a todos os momentos de inércia. Nesse sentido, podemos lembrar que este termo, momento de inércia, se aplica a uma massa que está girando. Em geral, a equação para o momento de inércia de uma determinada massa girando em torno de um determinado eixo depende desses dois valores. No entanto, é verdade que todos os momentos de inércia compartilham as mesmas unidades de base do SI. Uma maneira de identificar qual das nossas cinco opções é a correta é lembrar a equação para o momento de inércia de qualquer forma girando em torno de qualquer eixo.

Talvez o momento de inércia mais simples que podemos lembrar seja o de uma massa pontual, onde essa massa está em rotação em torno de um eixo a uma distância 𝑟. O momento de inércia dessa massa pontual é sua massa 𝑚 vezes a distância 𝑟 ao quadrado. Agora, como dissemos, nem todos os momentos de inércia têm a mesma forma. Na verdade, a maioria é diferente. Mas todos eles têm as mesmas unidades que este. E considerando as unidades desta expressão, sabemos que as unidades de base do SI de massa são quilogramas e que a unidade de base do SI de distância é o metro. Portanto, temos alguma massa em quilogramas multiplicada por alguma distância em metros ao quadrado, o que significa que nossas unidades para esta expressão serão quilogramas vezes metro ao quadrado.

E como dissemos, essas unidades se aplicam não apenas ao momento de inércia de uma massa pontual, mas a todos os momentos de inércia. Examinando nossas respostas, vemos que a opção (D) corresponde ao que encontramos. E então escolhemos esta como nossa resposta. Quilogramas vezes metro ao quadrado são as unidades SI corretas para o momento de inércia.

Vejamos agora um segundo exemplo.

Os objetos mostrados no diagrama giram em torno do mesmo eixo e têm o mesmo momento de inércia. O raio 𝑟 de ambos os objetos é o mesmo. Qual é a relação entre a massa do disco e a massa do arco?

Em nosso diagrama, vemos primeiro este disco sólido de raio 𝑟 girando em torno de um eixo através de seu centro. E acima dele, vemos este arco também com raio 𝑟 girando em torno do mesmo eixo. Como cada um desses objetos tem uma massa e também gira em torno de algum eixo, cada um tem um momento de inércia. E somos informados de que esses momentos são realmente os mesmos. Então, se chamarmos o momento de inércia do arco de 𝐼 sub h e o momento de inércia do disco de 𝐼 sub d, saberemos que essas duas quantidades são iguais.

Nossa questão continua perguntando: qual é a razão entre a massa do disco e a massa do arco? Para responder a esta pergunta, precisamos saber qual é o momento de inércia do arco e do disco em termos de massa e tamanho de cada objeto. Frequentemente, para uma determinada forma girando em torno de um determinado eixo, somos capazes de observar o momento de inércia desse objeto em uma mesa. E se fizermos isso para um arco girando em torno de um eixo através de seu centro, descobriremos que seu momento de inércia é igual a sua massa vezes seu raio ao quadrado. De forma semelhante, se olharmos para o momento de inércia de um disco que tem a mesma forma de um cilindro, descobrimos que o momento de inércia é igual a metade da massa do disco vezes seu raio ao quadrado.

Agora, uma coisa importante sobre essas duas equações é que não sabemos de imediato se este 𝑟 é o mesmo que este 𝑟 e se este 𝑚 é o mesmo que este 𝑚. Para cada equação, estamos falando especificamente sobre a massa e o raio desse objeto. Em geral, então, não podemos presumir que esses 𝑟s são iguais ou que esses 𝑚s são iguais. Em nosso cenário específico, porém, somos informados de que o raio de ambos os objetos é o mesmo. Portanto, vamos nos referir a ambos os raios com o mesmo símbolo; vamos apenas usar 𝑟 minúsculo, enquanto as massas desses objetos, que não nos disseram são as mesmas, vamos representar usando 𝑚 sub h para a massa do arco e 𝑚 sub d para a massa do nosso disco.

Tudo isso significa que podemos escrever o momento de inércia de nosso arco como 𝑚 sub h vezes 𝑟 ao quadrado. E podemos escrever o momento de inércia do nosso disco como meio 𝑚 sub d vezes 𝑟 ao quadrado. E como vimos, essas duas quantidades são iguais. Agora, queremos encontrar a razão entre a massa do disco e a massa do arco. Em outras palavras, queremos calcular 𝑚 sub d dividido por 𝑚 sub h. Essa é a razão de interesse. E podemos resolver essa razão reorganizando esta equação.

Como primeiro passo, podemos notar que o mesmo raio, 𝑟, multiplicado por ele mesmo, 𝑟 ao quadrado, aparece em ambos os lados. Portanto, esse fator pode cancelar essa expressão. E agora, sabendo que queremos obter a fração 𝑚 sub d dividida por 𝑚 sub h em nossa equação, podemos dividir ambos os lados por 𝑚 sub h, o que significa que nosso lado esquerdo simplifica para um. E, por último, se multiplicarmos ambos os lados desta expressão por dois, descobriremos que a razão 𝑚 sub d para 𝑚 sub h é igual a dois. Esta é a nossa resposta. A massa do disco é duas vezes maior que a massa do arco.

Vamos resumir agora o que aprendemos sobre o momento de inércia. Nesta aula, vimos que momento de inércia é um termo que descreve uma massa que está girando. Vimos que o momento de inércia de um objeto depende de como sua massa é distribuída e do eixo em torno do qual esse objeto gira. As unidades básicas do SI de momento de inércia são quilogramas vezes metro ao quadrado. E, por último, estudamos os momentos de inércia para algumas formas e rotações comuns. Este é um resumo do momento de inércia.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.