Vídeo: Encontrando o Valor Desconhecido numa Função Definida por Partes que a Torna Contínua em um Ponto

Encontre o valor de 𝑘 que torna 𝑓 contínua em 𝑥 = 3, dado 𝑓(𝑥) = (𝑥⁻¹ − 3⁻¹)/(𝑥² − 3²) se 𝑥 ≠ 3 e 𝑓(𝑥) = 𝑘 se 𝑥 = 3 .

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Encontre o valor de 𝑘 que torna 𝑓 contínua em 𝑥 igual a três. Dado 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a menos um menos três elevado a menos um sobre 𝑥 ao quadrado menos três ao quadrado, se 𝑥 não for igual a três e 𝑘 se 𝑥 for igual a três.

Por definição, a função 𝑓 é contínua em um número 𝑐, se o limite de 𝑓de 𝑥 conforme 𝑥 se aproximar de 𝑐 for igual a 𝑓 de 𝑐. Queremos que nossa função 𝑓 seja contínua em 𝑥 igual a três. Assim, com a função 𝑓 definida acima, precisamos que o limite de 𝑓 de 𝑥, conforme 𝑥 se aproxima de três, seja 𝑓 de três. Podemos apenas ler o valor de 𝑓 de três da definição da função. 𝑓 de 𝑥 é 𝑘 se 𝑥 for três. Portanto, este 𝑓 de três é 𝑘. Trocando os lados da equação, vemos que o valor de 𝑘 que faz 𝑓 contínua em 𝑥 é igual a três, é o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de três.

Então nossa tarefa é encontrar o valor desse limite. Se esse limite não existir por algum motivo, não há muito que possamos fazer. Não há valor de 𝑘 que torne 𝑓 contínua. E realmente esperamos que este limite exista. Vamos encontrar esse limite então. O limite da função, quando 𝑥 se aproxima de três, não depende do valor da função em 𝑥 igual a três, apenas os valores próximos a 𝑥 são iguais a três. Assim, podemos substituir 𝑓 de 𝑥 dentro desse limite pela regra de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 não é igual a três.

Isso não está escrito na forma de uma função racional. Observe o expoente negativo na potência de 𝑥 no numerador, o que significa que o numerador não é um polinômio. No entanto, ainda podemos esperar que essa função seja contínua. E que poderíamos calcular o limite aqui, usando a substituição direta. Infelizmente, substituir três por 𝑥 dá zero sobre zero, a forma indeterminada. E então, não é tão simples assim. Nós vamos ter que fazer alguma álgebra.

A primeira coisa que podemos fazer é transformar as potências com os expoentes negativos em frações. Então, 𝑥 elevado a menos um, torna-se um sobre 𝑥. E três elevado a menos um se torna um sobre três ou um terço. E no mesmo passo, podemos fatorar o denominador que reconhecemos como uma diferença de dois quadrados. Nós temos frações em nossas frações. E podemos nos livrar delas multiplicando o numerador e o denominador por três 𝑥. O denominador é fácil porque é fatorado. Colocamos o três 𝑥 na frente com o numerador que temos, três 𝑥 vezes um sobre 𝑥, que é três, menos três 𝑥 vezes um terço, que é 𝑥.

Agora, se extrairmos um fator de menos um do numerador, obtemos menos um vezes 𝑥 menos três. E escrever o numerador dessa maneira nos permite ver um fator comum que cancelamos. Tendo cancelado o fator comum de 𝑥 menos três no numerador e no denominador, esperamos que a substituição direta em 𝑥 é igual a três nos dará algo que é definido, e não a forma indeterminada zero sobre zero.

Vamos tentar. Nós substituímos três por 𝑥. Ao fazê-lo, obtemos menos um sobre três vezes três vezes três mais três, que é menos um sobre 54. Se definirmos a função 𝑔 pela regra 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a menos um menos três elevado a menos um sobre 𝑥 ao quadrado menos três ao quadrado, então 𝑔 não é contínua em 𝑥 é igual a três. Isso ocorre porque a função 𝑔 não está definida para uma entrada de três. Tentar calcular 𝑔 de três usando a regra dá a forma indeterminada zero sobre zero.

Mas vimos que podemos definir a função 𝑓, onde 𝑓 de 𝑥 é apenas 𝑔 de 𝑥, se 𝑥 não for igual a três e 𝑓 de 𝑥 é menos um sobre 54, se 𝑥 for igual a três. E essa função é contínua em 𝑥 é igual a três. Ao definir 𝑓 de 𝑥 como menos um sobre 54 quando 𝑥 é três, conseguimos consertar a descontinuidade em 𝑔. Quando podemos fazer isso, dizemos que a descontinuidade é removível. E assim vemos que 𝑔 tem uma descontinuidade removível em 𝑥 igual a três.

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