Video Transcript
Nesta aula, aprenderemos como usar algumas propriedades da matriz inversa. Neste ponto, você deve estar familiarizado com a determinação do determinante e do inverso das matrizes dois por dois e três por três. Em primeiro lugar, antes de começarmos, lembre-se da matriz identidade, a matriz cujos elementos ao longo da diagonal principal, ou seja, a diagonal do canto superior esquerdo para o inferior direito, são um e o resto é zero. Portanto, a matriz identidade dois por dois é um, zero, zero, um. E a matriz identidade três por três é um, zero, zero, zero, um, zero, zero, zero, um.
Lembre-se de que uma matriz quadrada 𝐴 é chamada de inversa se houver uma inversa 𝐴 tal que 𝐴 multiplicada por 𝐴 inversa é o mesmo que 𝐴 inversa multiplicada por 𝐴, o que dá a matriz identidade. Então, o que podemos dizer com essa definição é que se 𝐵 é a inversa de 𝐴, então o produto 𝐴𝐵 e o produto 𝐵𝐴 nos dão a matriz identidade. E podemos usar isso para verificar se duas matrizes 𝐴 e 𝐵 são a inversa uma da outra.
Então, vamos agora ver as propriedades da matriz inversa. A partir da definição da matriz inversa, temos que a inversa da inversa de 𝐴 é 𝐴. Em segundo lugar, temos que a inversa do produto 𝐴𝐵 é a inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴. Temos que ter muito cuidado com isso, porque pode ser fácil pensar que isso é a inversa de 𝐴 multiplicada pelo inverso de 𝐵. Mas sabemos que a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Podemos fazer uma prova rápida para mostrar como isso funciona. Lembre-se, dissemos que se multiplicarmos uma matriz pela sua inversa, obtemos a matriz identidade. Então, se pegarmos a matriz 𝐴𝐵 e multiplicarmos pela sua inversa, que é a inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴, devemos obter a matriz identidade. Então vamos verificar isso. Por causa da propriedade associativa da multiplicação de matrizes, isso é o mesmo que 𝐴 multiplicada por 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴. E sabemos que 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐵 deve dar a matriz identidade, porque isso é apenas a partir da definição de uma matriz invertível. Portanto, temos 𝐴 multiplicada pela matriz identidade multiplicada pela inversa de 𝐴. Mas multiplicar qualquer matriz pela matriz identidade dá a mesma matriz. Então isso é apenas 𝐴 multiplicada pela inversa de 𝐴. E novamente a partir da definição de uma matriz invertível, sabemos que 𝐴 multiplicada pela inversa de 𝐴 dá apenas a matriz identidade.
Então, porque quando multiplicamos 𝐴𝐵 pelo sua inversa, que é a inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴, e obtemos a matriz identidade, mostramos que a inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴 é definitivamente a inversa de 𝐴𝐵. E para uma prova conclusiva, poderíamos mostrar pelo mesmo método que a inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴 multiplicada por 𝐴𝐵 também dá a matriz identidade.
Vamos seguir em frente e ver a terceira propriedade da inversa da matriz. 𝐴 inversa transposta é igual a transposta inversa de 𝐴. Lembre-se, essa notação 𝑇 significa a transposição da matriz. E nós transpomos uma matriz trocando as linhas com as colunas. Por exemplo, se tivermos a matriz 𝐴 um, quatro, seis, dois, então a matriz 𝐴 transposta é igual a um, seis, quatro, dois. Novamente, podemos verificar esse resultado porque sabemos que podemos pegar uma matriz e multiplicá-la pela sua inversa para obter a matriz identidade. Então, se pegarmos a matriz 𝐴 transposta e multiplicarmos pela sua inversa, que é a inversa transposta 𝐴, devemos obter a matriz identidade.
Para continuar a partir daqui, lembramos a propriedade da transposição da matriz. A transposta de 𝐴𝐵 é 𝐵 transposta multiplicada por 𝐴 transposta. Isso significa que isso é igual a inversa de 𝐴 multiplicado pela transposta de 𝐴. Mas a partir da definição da inversa da matriz, sabemos que 𝐴 inversa multiplicada por 𝐴 nos dá a matriz identidade. Então, temos a transposição da matriz identidade. Mas se transpormos a matriz identidade, obtemos apenas a matriz identidade. Então, mostramos que multiplicar 𝐴 transposta por 𝐴 transposta inversa dá a matriz identidade, o que confirma essa propriedade. E para uma prova conclusiva por um método semelhante, podemos mostrar que 𝐴 transposta inversa multiplicada por 𝐴 transposta também dá a matriz identidade.
E finalmente temos que 𝐴 elevado a 𝑛-ésima potência é igual a inversa de 𝐴 a 𝑛-ésima potência. Novamente, podemos mostrar isso provando que 𝐴 elevado a 𝑛-ésima potência multiplicado pela inversa de 𝐴 à 𝑛-ésima potência dará a matriz identidade. Podemos ver que conseguiremos emparelhar as 𝐴 com a inversa de 𝐴. E cada vez que fizermos isso, obteremos a matriz de identidade. Sabemos que temos o mesmo número de 𝐴’s que 𝐴 inversas. Então, emparelhando-os e multiplicando-os, sabemos que acabaremos com a matriz identidade. E por um método semelhante, podemos mostrar que a inversa de 𝐴 elevado a 𝑛-ésima potência multiplicada por 𝐴 elevado a 𝑛-ésima potência também dá a matriz identidade. Então, vamos ver agora como podemos usar essas propriedades para responder a algumas perguntas.
Se 𝐴 é uma matriz, qual das alternativas a seguir é igual a inversa de 𝐴 ao quadrado? 𝐴 elevado a metade da potência, 𝐴 ao quadrado, 𝐴 inversa à metade da potência ou 𝐴 inversa ao quadrado.
Podemos responder a essa pergunta lembrando a propriedade das matrizes inversas. Ou seja, 𝐴 elevado a 𝑛-ésima potência é igual a inversa de 𝐴 à 𝑛-ésima potência, pois 𝑛 é um número inteiro positivo. Então, com isso em mente, podemos dizer que a 𝐴 inversa ao quadrado é igual a inversa de 𝐴 ao quadrado. Mas vamos verificar essa relação apenas para ter certeza. Descobrimos que a inversa de 𝐴 ao quadrado é a 𝐴 inversa ao quadrado. E sabemos que se pegarmos uma matriz e multiplicarmos pela sua inversa, devemos obter a matriz identidade. Então vamos verificar isso.
Se pegarmos a matriz 𝐴 ao quadrado e multiplicá-la pela sua inversa 𝐴 inversa ao quadrado, devemos obter a matriz identidade. Podemos escrever isso como 𝐴 multiplicado por 𝐴 multiplicada por 𝐴 inversa multiplicada por 𝐴 inversa. E por causa da propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes, podemos escrevê-la dessa maneira. Sabemos que 𝐴 multiplicada pela inversa de 𝐴 dá a matriz identidade. E sabemos que multiplicar qualquer matriz pela matriz identidade dá a mesma matriz. Então isso é apenas 𝐴 multiplicada pela inversa de 𝐴, o que dá a matriz identidade.
Se 𝐴 é uma matriz, qual das seguintes opções é igual a inversa transposta de 𝐴?
Lembre-se de que essa notação significa a transposição de uma matriz. Isso significa apenas que trocamos as linhas com as colunas. Por exemplo, se tivermos a matriz 𝑋 é igual a dois, um, seis, sete, 𝑋 transposta é igual a dois, seis, um, sete. Para responder a essa pergunta, lembramos a propriedade da inversa da matriz. Ou seja, a inversa transposta de 𝐴 é igual a transposta inversa de 𝐴. E isso dá que nossa resposta é a primeira opção. 𝐴 inversa transposta é igual a transposta inversa de 𝐴. Então, o que estamos dizendo é que se pegarmos a matriz 𝐴, encontrarmos sua inversa e depois transpormos, esse é exatamente o mesmo resultado que obteríamos pegando a matriz 𝐴, transpondo-a e depois encontrando a inversa.
Considere a matriz 𝐴 igual a menos três, um, menos dois, cinco. Encontre a inversa de 𝐴.
Lembre-se de que a definição da inversa de 𝐴 é a matriz tal que 𝐴 multiplicada pela inversa de 𝐴 é igual à matriz identidade. Nós temos um método para encontrar a inversa de uma matriz dois por dois. Ou seja, dada a matriz 𝑋 igual a 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, inversa de 𝑋 é igual a um sobre 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐 multiplicado pela matriz 𝑑, menos 𝑏, menos 𝑐, 𝑎. Então, para encontrar a inversa da inversa de 𝐴, poderíamos usar esse método para encontrar a inversa de 𝐴 e repetir o método para encontrar a inversa disso.
No entanto, temos uma propriedade da inversa da matriz que pode nos ajudar a fazer isso um pouco mais rápido. Ou seja, a inversa da inversa de 𝐴 é igual a 𝐴. Então, se pegarmos uma matriz e encontrarmos sua inversa e depois invertermos essa matriz, obteremos a matriz original de volta. Então, na verdade, a inversa da inversa da nossa matriz 𝐴 é a matriz 𝐴 menos três, um, menos dois, cinco.
Dadas as matrizes 𝐴 e 𝐵, onde 𝐴 é igual a um, menos dois, três, zero, menos um, quatro, zero, zero, um e 𝐵 é igual a um, menos dois, cinco, zero, menos um, quatro, zero, zero, um, encontre 𝐴𝐵. E a segunda parte da pergunta diz: “Sem fazer cálculos adicionais, encontre a inversa de 𝐴”.
Então, a primeira coisa que vamos fazer aqui é encontrar o produto 𝐴𝐵. Usando o método usual para multiplicar matrizes três por três, descobrimos que 𝐴𝐵 é um, zero, zero, zero, um, zero, zero, zero, um. E notamos que esta é na verdade a matriz identidade de três por três. Então, o que isso significa para nossas matrizes 𝐴 e 𝐵?
Bem, a definição da matriz inversa é que é a inversa 𝐴 tal que 𝐴 multiplicada pela inversa de 𝐴 é igual à matriz identidade. Portanto, o fato de descobrirmos que o produto 𝐴𝐵 é a matriz identidade significa que a matriz 𝐵 deve ser a inversa da matriz 𝐴.
A segunda parte da pergunta diz: “Sem fazer cálculos adicionais, encontre a inversa de 𝐴”. Bem, porque quando encontramos o produto 𝐴𝐵 obtemos a matriz identidade, isso significa que a matriz 𝐵 é a inversa de 𝐴. Portanto, 𝐴 inversa é a matriz 𝐵, que é um, menos dois, cinco, zero, menos um, quatro, zero, zero, um.
Dado que a inversa de 𝐴𝐵 é igual a um sexto multiplicado por cinco, menos três, menos 33, 21 e 𝐴 é igual a menos dois, menos um, menos três, menos dois, determine a inversa de 𝐵.
Vamos começar com um lembrete rápido de qual é a inversa da matriz. A inversa de uma matriz quadrada 𝐴, a inversa de 𝐴, é a matriz tal que 𝐴 multiplicada pela inversa de 𝐴 dá a matriz identidade. E uma propriedade da inversa da matriz que vai se provar útil para nós aqui é a inversa de 𝐴𝐵 é igual a inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴. Então, porque é dito que a inversa do produto 𝐴𝐵 é um sexto multiplicado pela matriz cinco, menos três, menos 33, 21, então a partir dessa propriedade da inversa da matriz, podemos dizer que isso é o mesmo que a inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴. Mas como isso vai nos ajudar a encontrar a inversa de 𝐵?
Bem, há um pequeno truque que podemos aplicar aqui. E tudo o que requer é lembrar a definição da inversa da matriz. Podemos encontrar a matriz inversa de 𝐵, a inversa de 𝐴, 𝐴 multiplicando a inversa de 𝐵, a inversa de 𝐴 por 𝐴 à direita. Então, vamos agora multiplicar essas duas matrizes para ver o que temos. Fazemos isso da maneira usual de multiplicar duas matrizes dois por dois. E então podemos simplificar cada entrada. E acabamos com um sexto multiplicado pela matriz menos um, um, três, menos nove. Em seguida, lembramos que quando temos um escalar multiplicado por uma matriz, podemos apenas multiplicar cada entrada por esse escalar. E isso dá a matriz menos um sobre seis, um sobre seis, um sobre dois, menos três sobre dois. Mas como isso realmente nos ajudou a encontrar a inversa da matriz 𝐵?
Bem, o que encontramos é a matriz inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴 multiplicada por 𝐴. E a partir da definição da inversa da matriz, inversa de 𝐴 multiplicada por 𝐴 dá a matriz identidade. Então, o que realmente encontramos é a inversa da matriz 𝐵 multiplicada pela matriz identidade. Mas multiplicar qualquer matriz pela matriz identidade dá essa matriz. Então, o que encontramos é a inversa da matriz 𝐵. Então, usando a definição da inversa da matriz e uma das propriedades da inversa da matriz, fomos capazes de encontrar uma incógnita usando a inversa da matriz.
Vamos agora resumir os pontos principais desta aula. Para matrizes quadradas 𝐴 e 𝐵, temos que a inversa da inversa de 𝐴 é igual a 𝐴. A inversa do produto 𝐴𝐵 é igual a inversa de 𝐵 multiplicada pela inversa de 𝐴. A inversa transposta de 𝐴 é igual a transposta inversa de 𝐴. Então, quer transponhamos a matriz e a invertemos ou invertemos a matriz e depois a transponhamos, obtemos o mesmo resultado. E, finalmente, elevar a matriz 𝐴 à 𝑛-ésima potência e depois invertê-la dá o mesmo resultado que inverter a matriz 𝐴 e depois elevá-la à 𝑛-ésima potência. E isso é para um número inteiro positivo 𝑛.
