Vídeo: Derivando Funções Racionais Utilizando a Regra do Quociente

Encontre 𝑑𝑦/𝑑𝑥, dado que 𝑦 = (𝑥³ + 7𝑥² + 6)/(𝑥 + 8).

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Transcrição do vídeo

Encontre 𝑑𝑦 𝑑𝑥, dado que 𝑦 é igual a 𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado mais seis sobre 𝑥 mais oito.

Agora, para resolver esse problema, o que temos que fazer é derivar nossa função. Mas para nos permitir fazer isso, o que vamos usar é a regra do quociente. E podemos usar a regra de quociente porque nossa função está na forma 𝑢 sobre 𝑣. Então, como nós temos isso, vamos dar uma olhada sobre o que a regra do quociente é. Bem, a regra do quociente nos diz que 𝑑𝑦 𝑑𝑥 é igual a 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 menos 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 sobre 𝑣 ao quadrado. Então, o que isso significa na prática é 𝑣 multiplicado pela derivada de 𝑢 menos 𝑢 multiplicado pela derivada de 𝑣 tudo sobre 𝑣 ao quadrado.

Certo, ótimo. Então, agora, temos a regra do quociente. Vamos aplicá-la para encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥. Então, a primeira coisa que fiz foi identificar 𝑢 e 𝑣 em nossa pergunta. Então, o nosso 𝑢 vai ser 𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado mais seis porque esse é o nosso numerador. E o nosso 𝑣 será o nosso denominador, que é 𝑥 mais oito. Então, o que eu vou fazer é encontrar 𝑑𝑢 𝑑𝑥. Então, vou derivar nosso valor de 𝑢 que temos aqui. Então, vamos derivar 𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado mais seis.

Apenas uma rápida recordação de como vamos derivar cada um deles. O que vamos analisar são as derivações pela regra geral, portanto nossa regra de potência. E o que temos, é que se nós temos uma função que está na forma 𝑎𝑥 elevado a 𝑏, então a primeira derivada dessa função será igual a 𝑎𝑏𝑥 elevado a 𝑏 menos um. Então nosso coeficiente multiplicado pelo nosso expoente. E então, reduzimos o expoente em um porque vai ser 𝑎𝑏𝑥 elevado a 𝑏 menos um. Ok, acabamos de recordar isso. Vamos seguir em frente e derivar e encontrar 𝑑𝑢 𝑑𝑥.

Então, vamos em frente e aplicamos essa regra de potência. E o nosso primeiro termo será de três 𝑥 ao quadrado. E isso porque o nosso coeficiente é um multiplicado pelo expoente três nos dá três. E então nós reduzimos o expoente em um, então 𝑥 elevado a dois ou 𝑥 ao quadrado. E o nosso segundo termo é apenas 14𝑥, portanto 14𝑥 positivo. O seis, quando nós derivamos o seis, ele realmente desaparece porque se você derivar apenas um número inteiro, nós obtemos zero. Certo, ótimo. Então, agora encontramos 𝑑𝑢 𝑑𝑥.

Então, passamos para 𝑑𝑣 𝑑𝑥. Então, novamente, nós derivamos 𝑥 mais oito. E quando fazemos isso, temos apenas um. E isso é porque 𝑥 se deriva em um. E como antes, o oito positivo apenas se deriva em zero. Ótimo, agora encontramos 𝑑𝑢 𝑑𝑥 e 𝑑𝑣 𝑑𝑥. Então, agora, podemos passar para o estágio final que é aplicar a regra do quociente para descobrir 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

Então, quando nós aplicamos a regra do quociente, vamos conseguir que 𝑑𝑦 𝑑𝑥 seja igual a. E então primeiro de tudo, 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥. Então, nosso 𝑣, 𝑥 mais oito, multiplicado pelo nosso 𝑑𝑢 𝑑𝑥, que é três 𝑥 ao quadrado mais 14𝑥. E então vamos subtrair 𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado mais seis porque esse é o nosso 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥. E é exatamente esse valor lá porque o nosso 𝑑𝑣 𝑑𝑥 é apenas um. Certo, ótimo. E finalmente, o que fazemos é dividir por 𝑣 ao quadrado. Então é 𝑥 mais oito ao quadrado. Ok, ótimo. Estamos no momento em que colocamos todos os nossos valores na nossa regra do quociente. Vamos simplificar para encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

Bem, nosso primeiro estágio é expandir os parênteses. Então vamos ter 𝑥 multiplicado por três 𝑥 ao quadrado que nos dará três 𝑥 ao cubo. E então, temos 𝑥 multiplicado por 14 𝑥, o que nos dá mais 14 𝑥 ao quadrado. E depois, temos oito positivo multiplicado por três 𝑥 ao quadrado, o que nos dá um valor de 24 𝑥 ao quadrado. Então, finalmente, temos mais 112𝑥. E isso porque tivemos oito multiplicado por 14𝑥. Então temos menos 𝑥 ao cubo menos sete 𝑥 ao quadrado menos seis.

Então, neste momento, podemos realmente chamar sua atenção para um possível erro comum. Então, como você pode ver, há um menos na frente dos parênteses. Eu coloquei a segunda parte entre parênteses porque, na verdade, apenas para lembrá-lo de que, na verdade, tudo dentro dele tem que ser negativo. Então é menos 𝑥 ao cubo menos sete 𝑥 ao quadrado menos seis. Porque é comum as pessoas só fazerem menos 𝑥 ao cubo. Mas então, eles apenas farão sete 𝑥 ao quadrado mais seis. Portanto, tenha cuidado com isso. Ok, e então tudo isso é dividido por 𝑥 mais oito ao quadrado.

E quando simplificamos isso, temos três 𝑥 ao cubo menos 𝑥 ao cubo o que nos dá dois 𝑥 ao cubo. Então temos 14 𝑥 ao quadrado mais 24 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑥 ao quadrado o que nos dá um positivo de 31 𝑥 ao quadrado. Então temos mais 112𝑥 menos seis sobre 𝑥 mais oito tudo ao quadrado.

Portanto, podemos dizer que, dado que 𝑦 é igual a 𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado mais seis sobre 𝑥 mais oito, então 𝑑𝑦 𝑑𝑥 é igual a dois 𝑥 ao cubo mais 31 𝑥 ao quadrado mais 112 𝑥 menos seis sobre 𝑥 mais oito tudo ao quadrado.

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