Vídeo: Calculando Incógnitas em Fórmulas Dadas por Substituição Direta Utilizando Raízes Cúbicas

O raio 𝑟 de uma esfera é dado pela fórmula 𝑟 = (3𝑉/4𝜋)¹ᐟ³, onde 𝑉 é o volume da esfera. Determine a diferença entre os raios de uma esfera com volume 36𝜋 e uma esfera com 2304𝜋.

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O raio 𝑟 de uma esfera é dado pela fórmula 𝑟 é igual a três 𝑉 sobre quatro 𝜋 à potência de um terço, onde 𝑉 é o volume da esfera. Determine a diferença de raio entre uma esfera com volume 36𝜋 e uma esfera com 2304𝜋.

Para resolver esse problema, precisaremos encontrar o raio da esfera com o volume 36𝜋 e o raio da esfera com volume 2304𝜋. E eu vou começar com a esfera que tem o volume 36𝜋. Então, vamos usar a equação 𝑟 igual a três 𝑉 sobre quatro 𝜋 elevado a um terço.

Ok, então vamos substituir nosso valor 36𝜋 em 𝑉. Então, vamos obter 𝑟 é igual a três multiplicado por 36𝜋 sobre quatro 𝜋 todos elevados a um terço. Ok, agora vamos simplificar. Bem, em primeiro lugar, se dividirmos 36 por quatro, temos nove. E então, se realmente dividirmos 36𝜋 por 𝜋, os 𝜋s se cancelam. Então, ficamos com três multiplicado por nove todos elevados a um terço.

E agora, o que podemos realmente fazer é usar uma de nossas propriedades de expoente que diz que se temos 𝑥 elevado a um sobre 𝑎, isso é igual à raiz 𝑎 de 𝑥. Portanto, temos três multiplicados por nove. E isso será 27 e, em seguida, será 27 elevado a um terço, que é a raiz cúbica de 27, que é igual a três. Que bom, encontramos o raio da nossa primeira esfera. E o raio da nossa primeira esfera é três.

Agora vamos para a esfera com o volume 2304𝜋. Desta vez, vamos substituir 𝑉 igual a 2304𝜋 em nossa fórmula. Então, vamos obter 𝑟 é igual a três multiplicado por 2304𝜋 sobre quatro 𝜋 todos elevados a um terço.

Mais uma vez, vamos simplificar. E primeiro de tudo, vamos dividir 2304 por quatro. Nós vamos fazer isso usando esse método aqui. Então, temos quatro em dois, não mais. Então é zero. E então, nós carregamos o dois. E então, vemos quatro dentro de 23 cinco vezes restam três. Então quatro dentro de 30 são sete restam dois. Então, quatro dentro de 24 são seis vezes. Então nós temos 576. E também mais uma vez, nossos cancelamentos porque 𝜋 dividido por 𝜋 é apenas um. Então ficamos com 𝑟 é igual a três multiplicado por 576 elevado a um terço.

Então, novamente, usamos nossa propriedade que nos diz que 𝑥 elevado a um sobre 𝑎 é igual à raiz 𝑎 de 𝑥. Então, obtemos a raiz cúbica de 1728. Assim, obtemos 𝑟 é igual a 12.

Então, agora, passamos para a parte final do problema que diz “determine a diferença de raio entre uma esfera com volume 36𝜋 e uma esfera com volume 2304𝜋”. Então, para determinar a diferença, precisaremos de 12 porque esse é o raio da nossa esfera com volume 2304𝜋 menos três porque esse é o raio da nossa esfera com volume 36𝜋.

Assim, portanto, podemos dizer que, dada a fórmula 𝑟 é igual a três 𝑉 sobre quatro 𝜋 elevado a um terço, podemos dizer que a diferença de raio entre uma esfera com volume 36𝜋 e uma esfera com 2304𝜋 é nove.

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