Vídeo: Utilizando o Discriminante para Determinar o Número de Raízes que uma Quadrática Tem

Entenda como calcular o valor do discriminante para uma equação quadrática e como usá-lo para determinar se há zero, uma ou duas raízes. Isto é apoiado por uma série de exemplos acompanhados de gráficos e de explicação das conclusões.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos olhar para alguns gráficos de funções quadráticas e encontrar links entre o que parecem e os vários coeficientes em suas equações. Vamos explorar porque esses links existem, considerando a fórmula quadrática.

Lembre-se, a equação quadrática tem um termo 𝑥 ao quadrado, um termo 𝑥, e um termo constante. Então, isso é um número vezes 𝑥 ao quadrado mais ou menos algum número vezes 𝑥 mais ou menos um número constante no final.

Então, por exemplo, 𝑦 é igual a três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 menos cinco. Nesse caso, o valor 𝑎 é positivo, é três. O valor 𝑏 é positivo, é dois. Mas o valor de 𝑐 é negativo, é menos cinco.

Outro exemplo é 𝑦 igual a menos dois 𝑥 ao quadrado. Portanto, neste caso, o valor 𝑎, o coeficiente de 𝑥 ao quadrado, é menos dois. Mas os coeficientes do termo 𝑥 e da constante são apenas 𝑏 igual a zero e 𝑐 igual a zero.

E mais um exemplo, 𝑦 é igual a um quarto de 𝑥 ao quadrado mais dois quintos. Nesse caso, o valor de 𝑎 será um quarto, o valor de 𝑏 será zero e o valor de 𝑐 será de dois quintos.

Então, 𝑏 ou 𝑐 poderia ser igual a zero, mas para ser uma equação quadrática, o valor de 𝑎 nunca poderá ser zero.

Se traçarmos qualquer função quadrática em um gráfico, sempre obteremos uma parábola simétrica como uma dessas duas, em forma de U ou em U invertido. Agora você provavelmente se lembra de que o valor de 𝑎, o coeficiente de 𝑥 ao quadrado, indica como a curva é larga ou fina, e para que lado está, lembre-se, curvas felizes positivas ou curvas tristes negativas. E alterando o coeficiente 𝑥, o valor de 𝑏 move a curva para a esquerda ou para a direita no gráfico. E o valor 𝑐, o termo constante, informa o valor da função quando a entrada 𝑥 é zero. Em outras palavras, onde ela corta o eixo 𝑦 ou o 𝑦 interceptado.

Assim, observar os coeficientes e o termo constante pode nos dizer muito sobre como seria o gráfico da função. E, ao contrário, se vemos o gráfico, podemos dizer quais serão os coeficientes. Mas também há outro aspecto que precisamos conhecer. Onde a curva corta o eixo 𝑥? Em outras palavras, quais entradas 𝑥 geram as saídas 𝑦 de zero?

Agora você provavelmente passou um bom tempo trabalhando com essas coisas, talvez lendo valores de gráficos, usando testes de tentativa e erro. Talvez fatorando, ou usando a fórmula quadrática, ou até mesmo completando o quadrado. Mas você deve ter notado que às vezes você obtém duas respostas, às vezes você obtém uma e às vezes não recebe nenhuma. Talvez a expressão quadrática não possa ser fatorada, ou talvez a fórmula dê errado e diga erro matemático em sua calculadora, quando você digita.

Agora, algumas quadráticas têm duas raízes e isso é porque elas cortam o eixo 𝑥 em dois lugares. Portanto, existem dois valores 𝑥 que geram coordenadas 𝑦 de zero. Algumas têm uma raiz. Pelo que chamamos de raízes repetidas, são duas raízes, mas elas simplesmente estão no mesmo lugar. E outras não têm raízes, bem não tem raízes reais. Existe uma maneira de usar coisas chamadas números imaginários ou complexos para gerar raízes não reais. Mas não vamos nos preocupar com isso ainda. Então, se a curva girar e voltar, ou talvez se virar e recuar, dependendo de estar vindo de cima ou de baixo, sem cruzar o eixo 𝑥 em qualquer lugar, então dizemos que não há raízes. E isso porque não há pontos nessa curva que tenham uma coordenada 𝑦 igual a zero. Nenhuma das entradas 𝑥 gera uma coordenada 𝑦 de zero.

Vamos dar uma boa olhada nessa fórmula quadrática então. As soluções de 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 igual a zero, onde 𝑎 não é igual a zero, são dadas por 𝑥 é igual a menos 𝑏 mais ou menos a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre dois 𝑎.

Então a ideia é que você pegue sua equação quadrática e apenas insira os valores 𝑎, 𝑏 e 𝑐. E isso lhe dirá as coordenadas 𝑥 para as quais a coordenada 𝑦 é zero. Mas, se existem duas soluções, uma solução ou nenhuma solução, tudo depende deste pequeno dado; que é chamado de discriminante. Portanto, ao usar a fórmula quadrática, precisamos encontrar a raiz quadrada do discriminante para nos ajudar a encontrar as coordenadas 𝑥 dos pontos onde a curva corta o eixo 𝑥. Agora esse é o problema. Então, se o discriminante for positivo, encontraremos a raiz quadrada de um número positivo. E isso nos dará dois valores diferentes, uma versão positiva e uma negativa, então geraremos dois valores de 𝑥. Se o discriminante é igual a zero, então vamos tomar a raiz quadrada de zero, que é zero. Então, esse é apenas um valor, por isso vamos encontrar apenas um valor. E se o discriminante for negativo, vamos tentar encontrar a raiz quadrada de um número negativo, o que você sabe que será muito difícil, se não impossível; a menos que você invente todo um novo sistema de números chamados números imaginários.

Vamos ver alguns exemplos então. Então, se 𝑦 é igual a 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 mais dois, isso significa que 𝑎 é um, 𝑏 é três e 𝑐 é dois. Então, se colocarmos a coordenada 𝑦 igual a zero, para que possamos descobrir onde ela corta o eixo 𝑥, se substituirmos todos esses números na fórmula quadrática, então o discriminante aqui é três ao quadrado. Isso é nove menos quatro vezes um vezes dois; que é oito. Então nove menos oito é um positivo. E a raiz quadrada de um poderia ser um positivo, poderia ser um negativo. Um vezes um é um, menos um vezes menos um também é um. Então isso gera duas soluções possíveis. Portanto, para essa quadrática em particular, uma coordenada 𝑥 de menos um gera uma coordenada 𝑦 igual a zero, ou uma coordenada 𝑥 de menos dois gera uma coordenada 𝑦 igual a zero. Em outras palavras, ela corta o eixo 𝑥 em dois lugares quando 𝑥 é igual a menos um e quando 𝑥 é igual a menos dois. Então, quando o discriminante 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 era maior que zero, tínhamos duas raízes reais em nossas equações; dois valores 𝑥 que geram uma coordenada 𝑦 igual a zero.

OK. Vamos ver outro exemplo então. 𝑦 é igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um. Portanto, nesta quadrática, 𝑎 é igual a um, 𝑏 é igual a dois e 𝑐 é igual a um. Então, se colocarmos 𝑦 igual a zero para tentar encontrar as coordenadas 𝑥 onde corta o eixo 𝑥, e quando substituímos esses números em nossa equação quadrática, esse termo dentro da raiz quadrada aqui, o discriminante, acaba sendo quatro menos quatro, que é zero. Então, quando vamos resolver essa equação, os valores de 𝑥 serão menos dois mais ou menos a raiz quadrada de zero. Então, obviamente, a raiz quadrada de zero é zero. Então, estamos adicionando zero a menos dois e estamos subtraindo zero de menos dois. Então, claramente, nossas duas soluções serão exatamente as mesmas, neste caso, menos um. Então, basicamente, uma coordenada 𝑥 de menos um gera uma coordenada 𝑦 igual a zero. Mas não há outras coordenadas 𝑥 para fazer isso, então é uma curva que apenas toca o eixo 𝑥 em um só lugar.

Então, vamos dar uma olhada em mais um exemplo. 𝑦 é igual a dois 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 mais três. Então agora 𝑎 é dois, 𝑏 é um e 𝑐 é três. E substituindo esses números na nossa fórmula quadrática dá um discriminante de um ao quadrado menos quatro vezes dois vezes três; isso é menos vinte e três. E quando tentamos resolver isso agora, temos que encontrar a raiz quadrada de menos vinte e três. Mas você não pode obter uma raiz quadrada de um número negativo, porque se eu pegar um número e multiplicar por ele mesmo, seja positivo ou negativo, eu sempre terei uma resposta positiva.

Então este é um exemplo de uma quadrática que não tem raízes. Em outras palavras, não há nenhuma coordenada 𝑥 que gere uma coordenada 𝑦 igual a zero. Não podemos encontrar valores reais de 𝑥, que nos permitirão calcular essa raiz quadrada de um número negativo aqui. Então, podemos usar essa informação, apenas analisando o discriminante, para dizer se haverá duas raízes, uma raiz ou nenhuma raiz para nossa equação quadrática. Se 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 for maior que zero, então haverá duas raízes. Então você poderia calcular o valor de 𝑏 ao quadrado, o valor de quatro 𝑎𝑐, e se 𝑏 ao quadrado for maior que quatro 𝑎𝑐, então você sabe que haverá duas raízes. Se 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 é igual a zero, essa raiz quadrada será zero. Então, vamos ter apenas uma raiz.

E talvez uma maneira mais rápida de detectar isso, se o valor de 𝑏 ao quadrado for igual a quatro 𝑎𝑐, significa a mesma coisa; isso vai ser apenas uma raiz. E se 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 for menor que zero, você tentará calcular a raiz quadrada de um número negativo. Não vai funcionar não haverá raízes. E isso acontece quando o quadrado de 𝑏 é menor que quatro vezes 𝑎 vezes 𝑐.

Está bem então. Antes de irmos, eu só quero que você faça essas três perguntas. Quantas raízes esses quadráticas têm? Então, vamos colocar a coordenada 𝑦 igual a zero e ver quantas soluções recebemos. E eu quero que você faça isso analisando o discriminante em cada caso. Então, eu estou apenas começando, eu tenho uma pausa agora e vou esperar alguns segundos e depois vou explicar as respostas.

Certo. Portanto, em cada caso, a primeira coisa a fazer é anotar o valor de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. E então podemos usar esses valores para calcular o discriminante. E o discriminante, lembre-se, é 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐.

Então, com essa primeira pergunta, são cinco ao quadrado menos quatro vezes dois vezes cinco. Então são vinte e cinco menos quarenta, o que é menos quinze. Portanto, neste caso, o discriminante 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 é menor que zero e isso significa que não há raízes reais.

Passando para o número dois, podemos ver que 𝑎 é dois, 𝑏 é menos quatro e 𝑐 é dois. Então, o discriminante é 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐. Então isso é menos quatro ao quadrado menos quatro vezes dois vezes dois. Bem, quatro ao quadrado é dezesseis e quatro vezes dois é oito vezes dois é dezesseis. Então temos dezesseis menos dezesseis, então isso é igual a zero. Então, 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐, o discriminante, é igual a zero e isso significa que temos uma raiz repetida.

E para a última pergunta, temos que 𝑎 é igual a dois, 𝑏 é igual a um porque significa um vezes 𝑥 e 𝑐 é igual a menos três. E o discriminante 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 é um ao quadrado menos quatro vezes dois vezes menos três. Agora quatro vezes dois é oito vezes três é vinte e quatro. Então, estamos subtraindo menos vinte e quatro, que significa que estamos adicionando vinte e quatro.

Portanto, atente para essas situações; estamos tirando algo, mas como um desses valores, neste caso o 𝑐, era negativo, temos o menos menos. Então, o discriminante é vinte e cinco, que é positivo. Então, isso significa que na fórmula quadrática, encontraremos a raiz quadrada de vinte e cinco, que seria cinco positivo ou negativo. Então, estamos adicionando ou subtraindo algo à nossa resposta. Então, o discriminante é maior que zero, então, neste caso, número três, temos duas raízes.

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