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Nesta aula sobre a velocidade orbital, aprenderemos como relacionar a velocidade orbital de um objeto com informações sobre a atração gravítica entre o objeto e o corpo que está a orbitar.
Para um objeto que se move ao longo de um caminho circular, a velocidade do objeto aponta sempre tangente à trajetória. E isso é verdade, não importa onde o objeto esteja localizado no círculo. A razão pela qual a velocidade é sempre tangente à trajetória é porque a velocidade aponta no sentido do movimento. E se ampliarmos a qualquer momento a parte da trajetória em que o objeto está localizado, a trajetória parecer-se-á cada vez mais com a linha tangente à trajetória neste ponto. Portanto, a qualquer momento, o movimento do objeto parece estar ao longo da linha tangente à trajetória. Portanto, os pontos de velocidade tangentes à trajetória em cada ponto.
Vamos estar interessados em objetos com velocidade constante à medida que se movem no círculo. Isso significa que o tamanho dos vetores velocidade é o mesmo em todos os pontos. No entanto, como podemos ver claramente na figura, a direção da velocidade muda. Mas se a velocidade de um objeto muda de direção, o objeto está a acelerar. Chamamos esta aceleração de aceleração centrípeta.
Como uma fórmula, podemos escrever 𝑎 c, a aceleração centrípeta, é igual a 𝑣 ao quadrado sobre 𝑟, onde 𝑣 é a velocidade do objeto e 𝑟 é o raio da trajetória circular. Esta expressão dá-nos o valor da aceleração centrípeta. A direção e o sentido da aceleração centrípeta serão radialmente para dentro em direção ao centro do círculo. Visualmente, podemos ver que esta é a direção correta, porque, para manter o vetor de velocidade tangente ao círculo em cada ponto, devemos mover continuamente a cabeça do vetor em direção ao centro do círculo.
Agora, vamos relembrar a segunda lei de Newton. Diz-nos que um objeto em aceleração com uma massa 𝑚 estará a experimentar uma força cujo tamanho é a massa vezes a aceleração e a direção e o sentido são os mesmos que os da aceleração. Por outras palavras, para que a nossa massa permaneça na trajetória circular, esta deve estar constantemente a experimentar uma força centrípeta que tem o mesmo sentido da aceleração centrípeta. Vamos agora levar esta discussão ao caso específico de órbitas circulares nas quais estamos interessados.
Para que o nosso objeto permaneça em órbita em torno de um planeta, é necessário que haja uma fonte de força centrípeta. Bem, numa situação como esta, há uma força que atua radialmente para dentro entre o planeta e o objeto. E esta é a força da gravidade. A direção da força gravítica é radialmente para dentro. É dado o tamanho da força gravítica em termos da massa do planeta, 𝑀 maiúsculo, massa do objeto, 𝑚 minúsculo e raio 𝑟, medido do centro do planeta à trajetória orbital. 𝐺, a constante de gravitação universal, vezes a massa do planeta vezes a massa do objeto dividida pela distância entre estes ao quadrado.
A distância entre estes é a mesma que o raio orbital, pois em todos os pontos da trajetória o objeto estará a uma distância 𝑟 do centro do planeta. Note que quando dizemos o centro do planeta ou o centro do objeto, queremos dizer os seus centros de gravidade. O nosso objetivo declarado era relacionar a velocidade orbital do objeto com informações sobre a atração gravítica entre o objeto e o planeta. A última observação de que precisamos antes de deduzirmos uma fórmula é que a atração gravítica entre o planeta e o objeto fornece a força centrípeta no objeto para mantê-lo na sua trajetória.
Podemos, portanto, escrever 𝐹 c, a força centrípeta, é igual a 𝐹 g, a força gravítica. Vamos agora inserir as informações relevantes das nossas três fórmulas. Pela segunda lei de Newton, a força centrípeta é massa vezes a aceleração centrípeta. Utilizando 𝑣 ao quadrado sobre 𝑟 como a definição de aceleração centrípeta, podemos escrever massa vezes aceleração centrípeta como massa vezes velocidade orbital ao quadrado sobre o raio orbital. No outro membro da equação, a força gravítica é dada apenas pela expressão que mencionámos anteriormente.
Ok, agora, estamos realmente perto do nosso objetivo, porque temos um termo no primeiro membro da equação com a velocidade orbital que estamos à procura e o segundo membro da equação são informações sobre a atração da gravidade entre os dois corpos. Começaremos a observar que há um fator de 𝑚 minúsculo nos dois membros da equação. Há também pelo menos um fator de 𝑟 no denominador dos dois membros. Então, vamos multiplicar os dois membros por 𝑚 minúsculo.
No primeiro membro e no segundo membro, temos 𝑚 dividido por 𝑚, que é apenas um. No primeiro membro, 𝑟 dividido por 𝑟 é um. E no segundo membro, 𝑟 dividido por 𝑟 ao quadrado é apenas um sobre 𝑟. Isso deixa-nos com a velocidade ao quadrado no primeiro membro e a constante de gravitação universal vezes a massa do planeta dividida pelo raio orbital no segundo membro.
O nosso passo final será obter a raiz quadrada de ambos os membros desta equação. A raiz quadrada da velocidade orbital ao quadrado é apenas a velocidade orbital. E o segundo membro está exatamente como estava antes, raiz quadrada de 𝐺 maiúsculo 𝑀 sobre 𝑟. Conseguimos, assim, determinar uma fórmula para a velocidade orbital de um objeto em órbita circular. Em termos da constante de gravitação universal, a massa do corpo que o nosso objeto está a orbitar e o raio da órbita. Vale ressaltar novamente que esta fórmula se aplica apenas no caso especial de uma órbita circular em que a velocidade orbital é constante. Se a órbita não for um círculo, a velocidade orbital não será constante e esta fórmula não será aplicável.
Observe também que 𝑚 minúsculo, a massa do nosso objeto, não aparece nesta fórmula. O que isso significa é que todos os objetos, independentemente da sua massa, que se movem em órbitas circulares com o mesmo raio orbital em torno de planetas com a mesma massa, terão todos a mesma velocidade orbital. Tal como escrevemos, esta equação permite-nos determinar a velocidade orbital, mas também podemos reorganizá-la para determinar a massa do planeta e o raio da órbita. Vamos começar aplicando o quadrado aos dois membros.
Isso dá-nos a nossa equação anterior 𝑣 ao quadrado igual a 𝐺𝑀 sobre 𝑟. Para resolver 𝑟, multiplicamos ambos os membros por 𝑟 sobre 𝑣 ao quadrado. No primeiro membro, 𝑟 sobre 𝑣 ao quadrado vezes 𝑣 ao quadrado é apenas 𝑟, que é o que estávamos à procura. E, no segundo membro, 𝑟 no numerador dividido por 𝑟 no denominador é apenas um e ficamos com 𝐺𝑀 sobre 𝑣 ao quadrado. Nesta forma, temos o raio orbital em termos de massa do planeta e velocidade orbital.
Se multiplicarmos ambos os membros da nossa equação anterior por 𝑟 sobre 𝐺 em vez de 𝑟 sobre 𝑣 ao quadrado, então no segundo membro 𝑟 sobre 𝐺 vezes 𝐺 sobre 𝑟 é um. E resta-nos apenas a massa do planeta que colocaremos no primeiro membro do nosso resultado final, apenas para manter a consistência. E no primeiro membro, temos 𝑟 vezes 𝑣 ao quadrado sobre 𝐺. E isso deixa-nos com 𝑀 igual a 𝑟𝑣 ao quadrado sobre 𝐺. Assim, com estas três equações, podemos determinar a velocidade orbital, o raio orbital ou a massa do planeta, desde que conheçamos um valor para a constante de gravitação universal e também tenhamos valores para as outras duas quantidades.
Antes de passar para alguns exemplos de como aplicar estas equações, vamos ver mais uma maneira de escrevê-las. Se resolvermos qualquer uma destas equações em 𝐺, descobrimos que a constante de gravitação universal é igual ao raio orbital vezes a velocidade orbital ao quadrado dividida pela massa do planeta. O que isso significa é que, se pudéssemos medir independentemente o raio orbital e a velocidade orbital de uma órbita circular ao redor de um planeta e também medir a massa desse planeta. Poderíamos determinar um valor para a constante de gravitação universal que poderíamos utilizar em qualquer outra ocasião em que a gravidade entrar em jogo.
Também poderíamos testar a validade da nossa teoria da gravidade comparando esta medida da constante de gravitação universal com outras medidas da constante de gravitação universal. De qualquer forma, agora vamos ver alguns exemplos de como aplicar as fórmulas que acabámos de derivar.
Para um satélite seguir uma órbita circular ao redor da Terra num raio de 10 000 quilómetros, qual deve ser velocidade orbital? Utilize um valor de 5.97 vezes 10 elevado a 24 quilogramas para a massa da Terra e 6.67 vezes 10 elevado a menos 11 metros cúbicos por quilograma por segundo ao quadrado para o valor da constante de gravitação universal. Apresente a sua resposta com três algarismos significativos.
Ok, aqui está a Terra com uma massa de 5.97 vezes 10 elevado a 24 quilogramas. E aqui está a órbita circular com um raio de 10 000 quilómetros, medido a partir do centro da Terra. Finalmente, aqui está um satélite a mover-se ao longo da órbita com uma velocidade desconhecida. Para que o satélite mantenha uma órbita circular constante, este deve estar a experimentar uma força centrípeta que provém da força da gravidade que a Terra exerce sobre o satélite.
Vamos chamar a massa do satélite em minúscula 𝑚, que não é uma quantidade que nos é dada no problema. Utilizando letras minúsculas 𝑚, 𝑣, 𝑟, 𝑀 maiúsculo e a constante de gravitação universal. Podemos escrever 𝐹 c, a força centrípeta, é igual à massa do satélite vezes o quadrado da velocidade orbital dividida pelo raio orbital. Além disso, 𝐹 g, a força da gravidade que a Terra exerce sobre o satélite, é igual à constante de gravitação universal, dado o símbolo 𝐺 maiúsculo vezes a massa da Terra vezes a massa do satélite dividido pelo quadrado do raio orbital.
Como a força centrípeta é dada pela força gravítica, podemos igualar estas duas grandezas e depois resolver a velocidade orbital. Obtemos 𝑣 igual à raiz quadrada de 𝐺 vezes 𝑀 maiúsculo dividido por 𝑟, enquanto podemos ver que a massa do satélite não aparece nesta expressão final. Na nossa questão, deram-nos um valor para a constante de gravitação universal. Então, combinando esta com os nossos valores para o raio orbital e a massa da Terra, devemos ser capazes de os substituir para obter um valor para a velocidade orbital.
Quando realmente substituímos por esses números, descobrimos que 𝑣 é igual à raiz quadrada de 6.67 vezes 10 elevado a menos 11 metros cúbicos por quilograma por segundo ao quadrado vezes 5.97 vezes 10 elevado a 24 quilogramas dividido por 10 000 quilómetros. Vamos começar com duas simplificações que envolvem as unidades. Temos um fator por quilograma e um fator em quilogramas. E por quilograma vezes quilogramas é apenas um.
Segundo, precisaremos de converter quilómetros em metros no denominador para corresponder aos metros já presentes no numerador. Lembre-se de que um quilómetro é, por definição, 1000 metros. Assim, 10 000 quilómetros é 10 000 vezes 1000 metros ou, convertendo em notação científica, 10 elevado a sete metros. Finalmente, metros cúbicos no numerador dividido por metros no denominador são metros quadrados. Vamos reescrever esta expressão separando os números, as potências de 10 e as unidades.
Escrito desta maneira, utilizando a comutatividade e a associatividade da multiplicação, agora podemos calcular o valor de cada um destes termos separadamente, aplicar as raízes quadradas separadamente e multiplicar todos estes para obter o resultado final. Vamos começar com as unidades. Metros ao quadrado por segundo ao quadrado é metros por segundo ao quadrado. Passando para as potências de 10, o nosso resultado final terá uma base de 10. E para obter o expoente, adicionamos os expoentes no numerador e subtraímos os expoentes no denominador. Menos 11 mais 24 é 13 menos sete é seis. Portanto, este termo inteiro reduz para 10 elevado a sexto.
Finalmente, 6.67 vezes 5.97 é igual a 39.8199. Para concluir o cálculo, lembramos que a raiz quadrada de um produto de vários termos é igual ao produto da raiz quadrada desses termos. Portanto, temos que 𝑣 é igual à raiz quadrada de 39.8199 vezes o quadrado de 10 elevado a seis vezes a raiz quadrada de metros por segundo ao quadrado. Ok, então vamos descobrir estas raízes quadradas.
Aplicar a raiz quadrada de uma quantidade ao quadrado, bem, isso é apenas a quantidade em si. Portanto, a raiz quadrada de metros por segundo ao quadrado é apenas metros por segundo. Este é um bom resultado intermédio, porque metros por segundo é uma unidade da velocidade. Então, vemos que estamos à procura de uma velocidade, e a nossa resposta final terá unidades de velocidade. Em geral, para obter a raiz quadrada de qualquer quantidade elevada a uma potência, basta dividir a potência por um meio. Assim, a raiz quadrada de 10 elevado a seis é 10 elevado a três.
Por fim, temos a raiz quadrada de 39.8199. Para isso, precisamos apenas de uma calculadora. Os primeiros algarismos deste resultado são 6.3103 etc. Agora, temos a nossa resposta como um número vezes a potência de 10 vezes umas unidades, o que é uma forma muito útil para escrevê-la com três algarismos significativos. Para escrever a nossa resposta dessa forma, basta determinar os três algarismos significativos da parte numérica e, em seguida, elevar a potência de 10 e as unidades para a resposta final.
Para identificar um número algarismos significativos, contamos muitos algarismos, começando do primeiro algarismos diferente de zero e indo da esquerda para a direita. Para o nosso número, o primeiro algarismo significativo é seis e o segundo é três. Para determinar o terceiro algarismo significativo, uma vez que é o último que estamos à procura, precisamos de arredondar. Então, olhamos para o quarto algarismo, que é zero. E como zero é menor que cinco, um arredonda para um. Portanto, o nosso número com três algarismos significativos é 6.31.
Agora, vamos terminar a multiplicação. 6.31 vezes 10 elevado a três é 6.310 vezes metros por segundo nos dá uma resposta final de 6.310 metros por segundo para três algarismos significativos. E esta é a velocidade orbital que um satélite precisaria de manter para ter uma órbita circular ao redor da Terra com um raio de 10 000 quilómetros.
Este exemplo foi muito focado em cálculos. Vamos ver agora um exemplo focado na relação qualitativa entre velocidade orbital e raio orbital.
Qual é a linha do gráfico que mostra a relação entre velocidade orbital e raio orbital para objetos que se deslocam ao longo de órbitas circulares devido à gravidade?
A questão pede-nos para identificar qual das curvas neste gráfico, que possui raio orbital no eixo horizontal e velocidade orbital no eixo vertical, corresponde à relação funcional correta entre estas duas quantidades. Lembre-se de que, igualando a força centrípeta e a força gravitacional de um objeto em órbita circular. Descobrimos que a velocidade orbital é igual à raiz quadrada da constante de gravitação universal vezes a massa do corpo orbitada dividida pelo raio da órbita.
Como a nossa questão é apenas sobre a relação entre velocidade orbital e raio orbital, podemos tratar a massa do corpo que está a ser orbitada, ou seja, 𝑀 maiúsculo, como constante. Então, como 𝐺 maiúsculo também é constante, podemos reescrever a nossa fórmula, pois a velocidade orbital é igual à raiz quadrada de uma constante dividida pelo raio orbital, onde utilizamos o facto de que uma constante vezes uma constante é apenas outra constante. Agora, utilizando o facto de que a raiz quadrada de uma constante é apenas outra constante, podemos reescrever esta forma como a velocidade orbital é igual a uma constante dividida pela raiz quadrada do raio orbital.
Na verdade, não nos preocupamos com a identidade dessa constante. Assim, podemos reescrever esta equação como uma relação de proporcionalidade qualitativa. E esta relação é que 𝑣 é proporcional a um sobre a raiz quadrada de 𝑟. Escrevemos a relação desta forma para focar na ligação entre velocidade orbital e raio orbital e evitar ficar confuso com constantes que não são relevantes para esta questão em particular. Vamos agora utilizar esta forma funcional para fazer previsões da velocidade orbital correspondente a grandes raios orbitais, que é a borda direita do gráfico, e a pequenos raios orbitais, que é a borda esquerda do gráfico.
Podemos então corresponder estas previsões à linha apropriada. Vamos ver o que acontece à medida que 𝑟 aumenta. À medida que o raio orbital aumenta, a raiz quadrada do raio orbital também aumenta. Portanto, um sobre a raiz quadrada do raio orbital fica menor porque, à medida que o denominador de uma fração cresce, o tamanho da fração diminui. Portanto, quando o raio orbital aumenta, esperamos que a velocidade orbital diminua. Embora o raio orbital nunca possa ser infinito, a velocidade orbital nunca pode ser zero.
Olhando claramente para o gráfico, a linha verde não serve porque nunca muda, por isso não diminui com o aumento do raio. As linhas azul, laranja e vermelha diminuem com o aumento do raio. Mas também não pode ser a linha vermelha porque a linha vermelha chega a zero. E sabemos que a velocidade orbital nunca pode ser zero. Vamos agora ver o que acontece quando o raio orbital diminui.
À medida que 𝑟 diminui, o mesmo acontece com a raiz quadrada de 𝑟. Então, o denominador da nossa fração está a diminuir. E assim, a fração em si está a aumentar. E como a fração é proporcional à velocidade orbital, a velocidade orbital também está a aumentar. Também sabemos que, à medida que o denominador de uma fração se aproxima cada vez mais de zero, o valor desta fração aumenta sem limite. Então aqui também esperamos que a velocidade orbital aumente sem limite à medida que o raio orbital se aproxima de zero. A curva laranja tem um valor máximo quando o raio se aproxima de zero. Portanto, a curva laranja não é a correta, porque a velocidade orbital não aumenta sem limite.
Isso deixa a linha azul como a resposta correta. De facto, a linha azul mostra uma velocidade orbital que se torna cada vez menor à medida que o raio aumenta e se torna cada vez maior sem limite à medida que o raio diminui. Portanto, a resposta é que a linha azul mostra a relação correta entre velocidade orbital e raio orbital para objetos que se movem em órbitas circulares devido à gravidade.
Agora que vimos alguns exemplos, vamos resumir os pontos principais que aprendemos nesta aula. Podemos determinar a nossa discussão sobre órbitas circulares causadas por campos gravíticos. Neste caso, descobrimos que poderíamos igualar a força centrípeta, mantendo o objeto em movimento em círculo, à força gravítica que atua no objeto.
Utilizando a definição de força centrípeta como massa do objeto vezes a velocidade ao quadrado dividida pelo raio. E a definição de força gravítica como a constante de gravitação universal multiplicada pela massa do planeta multiplicada pela massa do objeto em órbita dividido pelo raio ao quadrado. Deduzimos a equação da velocidade orbital como 𝑣 igual à raiz quadrada da constante de gravitação universal, 𝐺, vezes a massa do planeta, 𝑀 maiúsculo, dividido pelo raio orbital, 𝑟.
Resolvemos então esta equação para 𝑀 e 𝑟 para obter mais duas fórmulas. Descobrimos que o raio orbital é igual a 𝐺 vezes a massa do planeta dividido pela velocidade orbital ao quadrado e que a massa do planeta é igual ao raio orbital vezes a velocidade orbital ao quadrado dividido por 𝐺. Finalmente, observamos que, dado um valor apropriado, para 𝐺, poderíamos determinar a velocidade orbital, o raio orbital ou a massa do planeta a partir dos valores das outras duas quantidades.
