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Neste vídeo, aprenderemos como encontrar um termo específico dentro de uma expansão binomial e encontrar a relação entre dois termos consecutivos. Começaremos observando o teorema binomial e lembraremos o que cada uma de suas partes individuais representa.
O teorema binomial nos fornece uma fórmula geral para expandir binômios elevados a grandes potências. O teorema binomial afirma que 𝑎 mais 𝑏 elevado à potência de 𝑛 é igual a 𝑛 escolha zero multiplicado por 𝑎 elevado a potência de 𝑛 mais 𝑛 escolha um multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos um multiplicado por 𝑏 elevado a um e assim por diante. O termo geral da expansão é 𝑛 escolher 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. Isso então continua até o termo final 𝑛 escolher 𝑛 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑛. O expoente ou potência de 𝑎 diminui, enquanto o expoente de 𝑏 aumenta.
A notação de combinações 𝑛 escolher 𝑟 ou 𝑛 C 𝑟 significa 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos 𝑟 fatorial multiplicado por 𝑟 fatorial. Existem outras maneiras de escrever isso, como mostrado, mas nos ateremos à primeira notação neste vídeo. Além do teorema geral, às vezes estamos interessados em um termo específico da expansão. Este será o foco da primeira metade deste vídeo. O termo geral, como podemos ver na expansão, é 𝑛 C 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. O termo geral é notado como 𝑎 subscrito 𝑟 mais um. Isso ocorre porque o primeiro termo ocorre quando 𝑟 é igual a zero, como podemos ver em nossa expansão. Também é importante notar que haverá um total de 𝑛 mais um termo em qualquer expansão binomial.
Vamos agora olhar para uma questão em que precisamos encontrar um termo específico de uma expansão binomial.
Encontre o terceiro termo na expansão de dois 𝑥 mais cinco sobre a raiz quadrada de 𝑥 elevado a cinco.
Este é um exemplo de uma expansão binomial escrita na forma 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛. Poderíamos escrever toda a expansão. No entanto, sabemos que o termo geral 𝑎 sub 𝑟 mais um é igual a 𝑛 escolher 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. Nesta questão, queremos encontrar o terceiro termo 𝑎 sub três. Dentro dos parênteses, temos dois termos. 𝑎, o primeiro termo, é igual a dois 𝑥. E 𝑏, o segundo termo, é igual a cinco sobre a raiz de 𝑥.
O expoente ou potência para o qual isso é elevado é cinco. Portanto, 𝑛 é igual a cinco. Como estamos tentando encontrar o terceiro termo, 𝑟 mais um é igual a três. Subtraindo um de ambos os lados dessa equação nos dá 𝑟 é igual a dois. Agora podemos substituir esses quatro valores na fórmula do termo geral. O terceiro termo é, portanto, igual a cinco escolher dois multiplicado por dois 𝑥 ao cubo multiplicado por cinco sobre a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado.
Sabemos que 𝑛 escolher 𝑟 é igual a 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos 𝑟 fatorial multiplicado por 𝑟 fatorial. Cinco escolher dois é, portanto, igual a cinco fatorial dividido por três fatorial multiplicado por dois fatorial. Podemos reescrever cinco fatorial como cinco multiplicado por quatro multiplicado por três fatorial. Isso simplifica para cinco multiplicado por quatro dividido por dois fatorial, o que equivale a 10. Cinco escolher dois é igual a 10.
Ao fazer o cubo de dois 𝑥, podemos elevar o dois e o 𝑥 separadamente. Como dois ao cubo é igual a oito, dois 𝑥 ao cubo é igual a oito 𝑥 ao cubo. Podemos usar um método semelhante ao elevar uma fração ao quadrado. Nós elevamos o numerador e o denominador ao quadrado separadamente. Cinco ao quadrado é igual a 25 e a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado é 𝑥. Uma raiz quadrada e elevar ao quadrado são operações inversas. O terceiro termo é, portanto, igual a 10 multiplicado por oito 𝑥 ao cubo multiplicado por 25 sobre 𝑥.
Isso pode ser simplificado para 2000𝑥 ao quadrado, pois 25 multiplicado por oito multiplicado por 10 é 2000 e 𝑥 ao cubo dividido por 𝑥 é 𝑥 ao quadrado. O terceiro termo na expansão de dois 𝑥 mais cinco sobre a raiz quadrada de 𝑥 elevado a cinco é 2000𝑥 ao quadrado. Para economizar tempo, também poderíamos ter calculado cinco escolher dois na calculadora.
Em nossa próxima pergunta, veremos dois termos diferentes em uma expansão binomial.
Considere a expansão de 𝑥 à quinta potência sobre oito menos oito sobre 𝑥 todos elevados à nona potência em potências decrescentes de 𝑥. Para quais valores de 𝑥 a soma dos dois termos do meio é igual a zero?
Nesta questão, temos uma expressão binomial escrita na forma 𝑎 mais 𝑏 elevada à potência de 𝑛. Ao expandir qualquer expressão desse tipo, sabemos que ela terá 𝑛 mais um termo. Isso significa que nossa expansão terá 10 termos, e os dois do meio são o quinto e o sexto. Estamos interessados em 𝑎 sub cinco e 𝑎 sub seis, o quinto e o sexto termos da expansão.
Sabemos que o termo geral de qualquer expansão binomial 𝑎 sub 𝑟 mais um é igual a 𝑛 escolher 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado, mas 𝑏 elevado a 𝑟. O quinto termo é, portanto, igual a nove escolher quatro multiplicado por 𝑥 elevado a oito elevado a cinco multiplicado por menos oito sobre 𝑥 elevado a quatro.
O sexto termo, por outro lado, é igual a nove escolher cinco multiplicado por 𝑥 elevado a cinco sobre oito elevado a quatro multiplicado por menos oito sobre 𝑥 elevado a cinco. Somos informados de que a soma desses dois termos é igual a zero. Isso significa que o quinto termo é igual ao negativo do sexto termo. Percebemos que nove escolher quatro é igual a nove escolher cinco, pois ambos são iguais a nove fatorial dividido por cinco fatorial multiplicado por quatro fatorial.
Podemos, portanto, cancelar isso em ambos os lados da nossa equação. Ambos os lados da equação também podem ser divididos por 𝑥 elevado à quinta potência sobre oito elevado à quarta potência. Isso significa que o lado esquerdo se torna 𝑥 elevado à quinta potência sobre oito. Também podemos dividir ambos os lados por menos oito sobre 𝑥 elevado a quatro. O lado direito se torna menos menos oito sobre 𝑥. Os dois negativos se tornam positivo.
Podemos então multiplicar em cruz. Podemos multiplicar ambos os lados por oito e 𝑥. Isso nos dá 𝑥 elevado a seis que é igual a 64. Podemos então obter a sexta raiz de ambos os lados. Isso nos dá 𝑥 é igual a dois positivo ou negativo, enquanto dois positivo e negativo elevados à potência de seis nos dão 64.
A palavra “valores” na pergunta sugere que teremos mais de uma resposta. A soma dos dois termos do meio é igual a zero quando 𝑥 é igual a menos dois ou dois.
No restante deste vídeo, consideraremos o que acontece quando olhamos para a razão entre termos consecutivos de uma expansão binomial.
Considere a expansão de oito 𝑥 mais dois 𝑦 elevado à 23ª potência. Encontre a razão entre o oitavo e o sétimo termos.
Lembramos que o termo geral 𝑎 sub 𝑟 mais um é igual a 𝑛 escolher 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado, mas 𝑏 elevado a 𝑟. Isso significa que a razão entre o oitavo e o sétimo termos, 𝑎 oito dividido por 𝑎 sete, é igual a 23 escolher sete multiplicado por oito 𝑥 elevado a 16 multiplicado por dois 𝑦 elevado a sete dividido por 23 escolher seis multiplicado por oito 𝑥 elevado a 17 multiplicado por dois 𝑦 elevado a seis.
Nós imediatamente vemos que podemos dividir o numerador e o denominador por oito 𝑥 elevado a 16. Isso nos deixa com oito 𝑥 no numerador. Notamos que isso foi igual ao primeiro termo em nossa expansão binomial.
Também podemos dividir o numerador e o denominador por dois 𝑦 elevado a seis. Isso nos deixa com dois 𝑦 no numerador, que foi igual ao segundo termo em nossa expansão. Lembramos que a razão de combinações consecutivas 𝑛 escolher 𝑟 dividido por 𝑛 escolher 𝑟 menos um é dada por 𝑛 menos 𝑟 mais um sobre 𝑟. Isso significa que 23 escolher sete dividido por 23 escolher seis é igual a 23 menos sete mais um sobre sete. Isso simplifica para 17 sobre sete.
A razão do oitavo termo dividido pelo sétimo termo é, portanto, igual a 17 multiplicado por dois 𝑦 dividido por sete multiplicado por oito 𝑥. Isso, por sua vez, simplifica para 17𝑦 sobre 28𝑥. Essa é a razão entre o oitavo e o sétimo termos.
Este exemplo nos leva a uma expressão simples para a razão geral entre termos consecutivos. Se tivermos dois termos consecutivos, 𝑎 sub 𝑟 mais um e 𝑎 sub 𝑟, da expansão 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛-ésima potência, então a razão desses dois termos é igual a 𝑛 escolher 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟 tudo dividido por 𝑛 escolher 𝑟 menos um multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 mais um multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟 menos um. Isso simplifica para 𝑛 menos 𝑟 mais um sobre 𝑟 multiplicado por 𝑏 sobre 𝑎. Podemos citar essa fórmula para nos ajudar a resolver problemas envolvendo as razões de termos consecutivos em expansões binomiais.
Em nossa pergunta final, veremos a razão entre termos não consecutivos.
Encontre a razão entre o 15º e o 17º termos na expansão de 𝑥 menos 12 elevado a 19º potência.
Para responder a essa pergunta, usaremos duas fórmulas ligadas à expansão de uma expressão binomial da forma 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛-ésima potência. Sabemos que o termo geral dessa expansão, 𝑎 sub 𝑟 mais um, é igual a 𝑛 escolher 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. Também sabemos que a razão de termos consecutivos de uma expansão binomial, 𝑎 sub 𝑟 mais um sobre 𝑎 sub 𝑟, é igual a 𝑛 menos 𝑟 mais um sobre 𝑟 multiplicado por 𝑏 sobre 𝑎.
Nesta questão, estamos lidando com o 15º e o 17º termos da expansão. O 15º termo é igual a 19 escolher 14 multiplicado por 𝑥 elevado a quinta potência multiplicada por menos 12 elevado a 14º potência. O 17º termo é igual a 19 escolher 16 multiplicado por 𝑥 ao cubo multiplicado por menos 12 elevado à 16ª potência. Podemos dividir 𝑥 elevado a cinco e 𝑥 ao cubo por 𝑥 ao cubo, deixando-nos com 𝑥 ao quadrado no numerador. Da mesma forma, dividindo o numerador e o denominador por menos 12 elevado a 14 nos deixa com menos 12 ao quadrado no denominador. Isso é o mesmo que 𝑎 ao quadrado sobre 𝑏 ao quadrado.
Agora precisamos considerar o que acontece quando dividimos combinações não consecutivas. Como o 17º termo são dois termos após o 15º termo, temos 𝑎 sub 𝑟 sobre 𝑎 sub 𝑟 mais dois. As combinações de parte disso serão iguais a 𝑛 escolher 𝑟 menos um sobre 𝑛 escolher 𝑟 mais um. Ao escrever isso em termos de fatoriais, parece bastante complicado. No entanto, veremos rapidamente que alguns termos são cancelados. Podemos então usar nossas propriedades de fatoriais e o conhecimento de que dividir uma fração por outra fração é o mesmo que multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. A parte das combinações é, portanto, igual a 𝑟 multiplicada por 𝑟 mais um dividido por 𝑛 menos 𝑟 mais um multiplicado por 𝑛 menos 𝑟.
Agora podemos ver a ligação entre isso e a razão de termos consecutivos. Podemos agora voltar à nossa pergunta para calcular 19 escolher 14 dividido por 19 escolher 16. Como 𝑛 é igual a 19 e 𝑟 é igual a 15, temos 15 multiplicado por 16 dividido por cinco multiplicado por quatro. Sabemos que menos 12 ao quadrado são 144. Então, precisamos multiplicar a primeira parte por 𝑥 ao quadrado sobre 144. Isso, por sua vez, simplifica para 12𝑥 ao quadrado sobre 144. Finalmente, podemos dividir o numerador e o denominador por 12, de modo que a razão entre os termos 15 e 17 seja 𝑥 ao quadrado sobre 12.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. O termo geral na expansão binomial de 𝑎 mais 𝑏 elevado a 𝑛-ésima potência é denotado por 𝑎 sub 𝑟 mais um. Isso é igual a 𝑛 escolher 𝑟 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑟 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑟. Termos consecutivos em uma expansão binomial são relacionados pela fórmula 𝑎 sub 𝑟 mais um sobre 𝑎 sub 𝑟 é igual a 𝑛 menos 𝑟 mais um sobre 𝑟 multiplicado por 𝑏 sobre 𝑎. Também vimos em nossa última pergunta que essa fórmula pode ser manipulada ao lidar com razões de termos não consecutivos.
