Vídeo: O Teorema do Valor Intermediário

A função 𝐹(𝑥) = 1/𝑥 + 3 satisfaz 𝐹(−1) < 3 e 𝐹(1) > 3. Mas não há 𝑥 entre −1 e 1, onde 𝐹 (𝑥) = 3. Por que isso não viola o teorema do valor intermediário? [A] porque a função 𝐹 não é contínua em seu domínio [B] porque o teorema do valor intermediário só se aplica a funções polinomiais [C] porque o teorema do valor intermediário só se aplica a casos onde 𝐹(𝑥) = 0, não 𝐹(𝑥) = 3 [D] porque a função não é definida em todo o intervalo [−1, 1] [E] porque o teorema do valor intermediário só se aplica ao intervalo (0, ∞).

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Transcrição do vídeo

A função 𝐹 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥 mais três satisfaz 𝐹 de menos um é menor que três e 𝐹 de um é maior que três. Mas não há 𝑥 entre menos um e um, onde 𝐹 de 𝑥 é igual a três. Por que isso não viola o teorema do valor intermediário? É A) porque a função 𝐹 não é contínua em seu domínio, B) porque o teorema do valor intermediário só se aplica a funções polinomiais, C) porque o teorema do valor intermediário só se aplica a casos, onde 𝐹 de 𝑥 é zero, não 𝐹 de 𝑥 é três, D) porque a função não é definida em todo o intervalo de menos um a um, ou E) porque o teorema do valor intermediário só se aplica no intervalo aberto de zero a infinito.

Vamos esclarecer as opções da tela para que possamos nos concentrar na questão. Vamos dar uma olhada no enunciado do teorema do valor intermediário. Se 𝑓 é contínua no intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏 e algum número 𝑛 está entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏, então existe algum número 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏 com 𝑓 de 𝑐 igual a 𝑛.

Olhando para nossa função, nos é dito que 𝐹 de menos um é menor que três e 𝐹 de um é maior que três. Vamos verificar isso. Para achar 𝐹 de menos um, nós substituímos menos um em 𝑥 na definição de 𝐹 de 𝑥 e então calculamos. Então, temos um sobre menos um mais três, que é dois. E é um processo semelhante para encontrar 𝐹 de um, que é quatro. E, de fato, dois é menor que três e quatro é maior que três.

Também nos é dito que não há 𝑥 entre menos um e um, onde 𝐹 de 𝑥 é igual a três. Verificamos isso tentando resolver a equação 𝐹 de 𝑥 é igual a três. Usamos a definição de 𝐹 de 𝑥, subtraímos três de ambos os lados e rearranjamos para obter 𝑥 igual a um sobre zero, o que é indefinido. Então, de fato, não há valor de 𝑥 para o qual 𝐹 de 𝑥 é igual a três.

Por que isso é um problema? Bem, veja o enunciado do teorema do valor intermediário. Nos é falado que se 𝑛 está entre 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏 e nós vimos em nosso exemplo que três está entre 𝐹 de menos um e 𝐹 de um, então deveria existir 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏 - no nosso caso, de menos um a um - com 𝑓 de 𝑐 igual a 𝑛 - no nosso caso, três.

Mas acabamos de ver que não há 𝑐 no intervalo aberto de menos um a um com 𝑓 de 𝑐 igual a três. Então, o que deu errado? O teorema do valor intermediário está incorreto? Encontramos o contraexemplo? Bem, o teorema está correto. Mas tem uma condição 𝑓 deve ser contínua no intervalo fechado 𝑎, 𝑏.

Portanto, nossa função principal 𝐹 deve ser contínua no intervalo fechado, menos um a um. E não é contínua nesse intervalo. E é por isso que o teorema do valor intermediário não se aplica. Vamos mostrar que nossa função 𝑓 não é contínua nesse intervalo. E, portanto, que o teorema do valor intermediário não precisa ser mantido.

Lembre-se da definição de uma função sendo contínua em um intervalo. A função 𝑓 é contínua no intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏. Se todos os valores 𝑐 no intervalo aberto de 𝑎 a 𝑏, a função é contínua nesse ponto. E também o limite unilateral em cada ponto final deve concordar com o valor da função lá.

Em particular, o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de 𝑐 deve existir para todos os números 𝑐 no intervalo aberto e 𝑓 de 𝑐 deve existir para todos os valores no intervalo aberto. Para a nossa função principal 𝐹, zero está no intervalo fechado de menos um a um. Mas se você tentar calcular 𝐹 de zero, obtemos um sobre zero mais três, o que é indefinido.

Como resultado, 𝐹 de 𝑐 não é definido para todos os valores 𝑐 no intervalo aberto de menos um a um. Ou seja, é definido para a maioria desses valores 𝑐 mas nem todos eles porque 𝐹 de zero é indefinido. E como resultado, a nossa função principal 𝐹 não satisfaz a definição de ser contínua no intervalo menos um, um. 𝐹 não é contínua nesse intervalo e, portanto, o teorema do valor intermediário não se aplica.

O teorema do valor intermediário não é violado porque não se aplica aqui. Não se aplica porque 𝐹 não é contínua no intervalo fechado de menos um a um e não é contínua neste intervalo fechado porque a função 𝐹 não está definida em todo o intervalo.

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