Lesson Video: Progressões Aritméticas

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Vamos dar uma olhada em algumas progressões aritméticas. Vamos dar uma olhada na definição. E veremos alguns exemplos e passaremos por algumas questões típicas de progressão aritmética. Analisaremos as diferenças entre os termos consecutivos na progressão e procuraremos o valor do termo zero para encontrar a fórmula para o 𝑛-ésimo termo da progressão.

Uma progressão aritmética é então uma sequência de números em que você adiciona a mesma quantia a cada termo para obter o próximo termo, por exemplo, cinco, oito, 11, 14 e 17. O primeiro termo desta progressão é cinco, o segundo termo é oito, o terceiro termo é 11, o quarto termo é 14, o quinto termo é 17 e assim por diante. Então, meus pequenos números laranja em círculos estão me dizendo a posição do número dentro dessa progressão. E os grandes números azuis são os valores desses termos. E você pode ver que à medida que avançamos nessa progressão, toda vez que nos movemos dentro da progressão, são três a mais que o termo anterior na progressão.

Então, neste caso, diríamos que termos consecutivos na progressão têm uma diferença comum de três positivo. Então é isso, ter uma diferença comum de algo que faz dela uma progressão aritmética. Então temos um primeiro termo. Nesse caso, nosso primeiro termo tem um valor de cinco. Conhecendo o valor do primeiro termo e a diferença comum significa que você pode calcular o valor de qualquer termo nessa progressão. Então, quando você identifica esse padrão, os termos consecutivos têm uma diferença comum, então você pode dizer que é uma progressão aritmética. Então, quando você sabe o que é uma progressão aritmética, pode responder a perguntas como essa.

Escreva os próximos três termos na progressão aritmética 12, 19, 26, 33.

Então, nos disseram o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto termos da progressão. E queremos descobrir quais são o quinto, o sexto e o sétimo termos. Bem, para ir do 12 ao 19, precisamos adicionar sete. Para ir de 19 a 26, também precisamos adicionar sete. E para passar de 26 para 33, mais uma vez precisamos acrescentar sete. Então a diferença comum é sete. Então, para ir do quarto ao quinto termo, precisamos apenas adicionar sete. E 33 mais sete são 40. Some sete novamente para achar o sexto termo. 40 mais sete são 47. E então some sete novamente para obter o sétimo termo, 54. Portanto, nossa resposta é que os próximos três termos são 40, 47 e 54.

Vamos tentar outro então.

Escreva os três termos seguintes na progressão 3.6, 4.3, 5.0, 5.7 e assim por diante.

Isto significa que o nosso primeiro termo é 3.6, o segundo termo é 4.3, o terceiro termo é 5.0, e o quarto termo é 5.7. Queremos os próximos três termos. Então são o quinto, o sexto e o sétimo termos. Agora, quando olho para termos consecutivos para passar de 3.6 para 4.3, eu adicionei 0.7. Para ir de 4.3 a 5.0, eu adiciono 0.7. E para ir de 5.0 a 5.7, adiciono 0.7. Então eles têm uma diferença comum de 0.7.

Então, isso significa que temos nossa progressão aritmética. Então posso adicionar 0.7 novamente repetidamente para obter o quinto, o sexto e o sétimo termos. E isso me dá 6.4, 7.1 e 7.8. Então essa é a nossa resposta.

E podemos ver que progressões aritméticas podem envolver números inteiros. Elas podem envolver números decimais, frações. Desde que a diferença entre os termos consecutivos seja sempre a mesma, é uma progressão aritmética. Ok, vamos tentar esta pergunta então.

Escreva o décimo termo na progressão aritmética 23, 19, 15, 11, sete e assim por diante.

Bem, agora nos foram dados cinco termos na progressão. E não estamos preocupados com o sexto, sétimo, oitavo e nono, mas queremos saber qual é o 10º termo. Agora, primeiro, vamos olhar para a diferença comum. Para ir de 23 a 19, temos que tirar quatro. De 19 a 15, tirei quatro. 15 a 11, tirei quatro. De 11 a sete, tirei quatro. Então nossa diferença comum é menos quatro. Então, está tudo bem nossas diferenças comuns serem negativas.

Agora, se pensarmos sobre isso, há duas maneiras diferentes de descobrir qual é o 10º termo. Podemos calcular o sexto, o sétimo, o oitavo e o nono termos e, em seguida, calcular o 10º. Ou podemos dizer que, a partir de sete, temos que tirar cinco vezes menos quatro para os cinco passos que nos levarão até o 10º termo.

Então fazendo isso da primeira maneira, sete menos quatro é três. Três menos quatro é menos um. Menos um menos quatro é menos cinco. E menos cinco menos quatro é menos nove. E menos nove menos quatro é menos 13. Ou, como eu disse, poderíamos ter começado em sete e subtraído cinco vezes quatro, então sete menos 20, é menos treze. Então, de qualquer forma, teríamos a mesma resposta para o nosso 10º termo.

Mas isso está começando a ficar um pouco complicado. E se a pergunta nos pedisse para escrever o termo 250º da progressão? Nós não queremos calcular com todos os diferentes termos até o termo 250º. Então, vamos ver uma maneira de chegar a uma fórmula geral para o 𝑛-ésimo termo da progressão e, em seguida, usar isso para prever qual será o 𝑛-ésimo termo.

Então, vamos digitar a sequência três, sete, 11, 15 e assim por diante. Vamos rotular nossos termos um, dois, três, quatro. E nossa diferença comum é quatro positivo. Temos que adicionar quatro a cada termo para obter o próximo. Agora estou tentando criar uma fórmula para o termo geral desta progressão. Então vou colocar algumas letras aqui. Vamos deixar a posição em nossa sequência ser 𝑛. Então, se 𝑛 é igual a um, estamos falando do primeiro número na progressão. Se 𝑛 é dois, estamos falando do segundo número e assim por diante. E vou usar essa notação, 𝑡 e, em seguida, entre parênteses 𝑛 para representar o 𝑛-ésimo termo. Então, quando 𝑛 é um, 𝑡 um é três. Quando 𝑛 é dois, 𝑡 dois é igual a sete; 𝑡 três é igual a 11; 𝑡 quatro o quarto termo é igual a 15, e assim por diante.

Agora, se olharmos para isso com cuidado, toda vez que minha posição na progressão aumenta um, o valor do termo aumenta em quatro. Então o valor do termo está subindo quatro vezes mais rápido que a posição. E como 𝑛 é o valor da nossa posição, nossa fórmula deve ter quatro vezes 𝑛 em algum lugar. Então vamos calcular 𝑛 é um para a primeira posição, 𝑛 é dois para a segunda, 𝑛 é três para a terceira e 𝑛 é quatro para a quarta, e assim por diante. Vamos resolver. Se dissermos que nossa fórmula é apenas quatro vezes 𝑛, que valores geraríamos em nossa progressão?

Bem, quatro vezes — bem 𝑛 é um neste caso para o nosso primeiro termo — quatro vezes um seria apenas quatro. Quando 𝑛 é dois, estamos falando do segundo termo na progressão. Então quatro vezes dois seria oito. Para o terceiro termo na progressão, estaríamos fazendo quatro vezes três, que seria 12. E para o quarto termo, estaríamos fazendo quatro vezes quatro, que seria 16. Então, se nossa fórmula fosse quatro vezes 𝑛, a progressão que geraríamos seria quatro, oito, 12, 16. Mas não são os valores que procuramos.

Nós temos quatro. Nós queríamos três. Nós temos oito. Nós queríamos sete. Nós temos 12. Nós queríamos 11. Nós temos 16. Nós queríamos 15. Bem, o que eu tenho que fazer para cada um desses números, a fim de transformá-los, e obter os números que eu quero?

Bem, quatro menos um me dá três. Oito menos um me dá sete. 12 menos um me dá 11. E 16 menos um me dá 15. Então, se eu pegar esses quatro 𝑛-valores e tirar um, esse processo gera exatamente os números que estou procurando. Portanto, a fórmula para o 𝑛-ésimo termo da progressão é o 𝑛-ésimo termo 𝑡𝑛 é igual a quatro 𝑛. Bem, normalmente não nos preocupamos em escrever o positivo se for positivo, então quatro 𝑛 menos um.

E o termo 250º desta progressão, 𝑡 250, seria apenas quatro vezes 250 menos um. Bem, quatro vezes 250 é 1000, menos um é 999. Portanto, o termo 250º seria 999. Nós não tivemos que calcular o quinto, o sexto, o sétimo termos e assim por diante, a fim de calcular o termo 250º.

Melhor ainda, podemos continuar a calcular o termo 1527486º da progressão apenas inserindo esse valor para 𝑛 em nossa fórmula. E quando fazemos isso, obtemos uma resposta de 6109943. Agora, isso nos poupou muito tempo de trabalho sem ter que calcular milhões de termos para encontrar o termo que nos interessa.

Agora também vale a pena notar que há maneiras diferentes de expressar isso. Algumas pessoas dizem 𝑡𝑛, então 𝑡 com um pequeno 𝑛 abaixo, ou 𝑎𝑛 para o 𝑛-ésimo termo da progressão. E algumas pessoas usam 𝑡 e depois entre parênteses 𝑛. Ok, vamos experimentar este método.

Encontre o termo 952º na progressão 107, 99, 91, 83, e assim por diante.

Então, vamos escrever nossos 𝑛-valores, nossas posições na progressão, um, dois, três, quatro e assim por diante, e nossos 𝑛-ésimos termos. Portanto, o primeiro termo é 107; o segundo termo 𝑡 dois é 99; o terceiro termo, 𝑡 três é 91; e assim por diante. E passando de um termo para outro, estamos tirando oito a cada vez. Então vamos tentar menos oito 𝑛 na nossa fórmula.

E para fazer isso, vamos apenas substituir os valores de 𝑛 um, dois, três e quatro nessa fórmula. Então será menos oito vezes um, menos oito vezes dois, menos oito vezes três, menos oito vezes quatro e assim por diante. Isso dá menos oito, menos 16, menos 24 e menos 32. Agora, claramente, não são os números que estamos procurando. Recebemos menos oito, mas queríamos 107. Recebemos menos 16, mas queríamos 99. Ficamos com menos 24, mas queríamos 91. E conseguimos menos 32, mas queríamos 83. Então, nós claramente conseguimos números errados.

Mas se adicionarmos 115 a cada um dos números que obtivemos, obtemos os números que queríamos. Portanto, nossa fórmula é menos oito 𝑛 mais 115. Portanto, a fórmula para o nosso 𝑛-ésimo termo, 𝑡𝑛, é menos oito 𝑛 mais 115. E quando substituímos no número 952 para encontrar o termo 952º, a fórmula nos dá menos oito vezes 952 mais 115, que é menos 7501.

Agora tudo isso é ótimo, mas significa que temos que calcular muito e escrever muitas coisas. Então, vamos procurar uma maneira um pouco mais curta de fazer isso. Então, se traçamos nossos 𝑛-valores como as coordenadas 𝑥 e os termos correspondentes como as coordenadas 𝑦, então obtemos uma tabela de valores que se parece com algo assim.

Lembre-se de que os 𝑥 são os 𝑛-valores que acabamos de ver, e os 𝑦s são os 𝑡𝑛s, o 𝑛-ésimo termo. E se traçamos esses pontos, eles se parecem com algo assim. Agora, 𝑛 só pode ter valores inteiros um, dois, três, quatro e assim por diante, porque essa progressão só tem termos um, dois, três e quatro, e assim por diante. Não faz muito sentido falar sobre o termo 3.75º da progressão, por exemplo. Mas se juntássemos esses pontos e depois estendêssemos de volta a zero, eles cruzariam aqui em 115. Mas isso é porque toda vez que eu aumento minha coordenada 𝑥 em um, minha coordenada 𝑦 diminui em oito. Então, se eu sair desse ponto aqui e diminuir minha coordenada 𝑥 em um, minha coordenada 𝑦 será aumentada em oito.

Portanto, agora temos todas as informações de que precisamos para calcular a equação dessa reta. A inclinação é menos oito e o gradiente e o 𝑦 interceptado é 115. Portanto, a equação é 𝑦 igual a menos oito 𝑥 mais 115. Agora podemos usar isso como um atalho para calcular a fórmula do nosso 𝑛-ésimo termo. Então a diferença comum nos disse a inclinação da reta. E a interseção 𝑦 nos diz o número que temos que adicionar ao menos oito 𝑥 para obter o 𝑛-ésimo termo na fórmula. Ok, vamos fazer outra pergunta e ver isso em ação e ver o quanto mais rápido é resolver essa pergunta.

Encontre a fórmula para o 𝑛-ésimo termo da progressão aritmética 6.8, 7.9, 9.0, 10.1, e assim por diante.

Então ainda temos os nossos 𝑛s: um, dois, três e quatro, as posições na progressão. E ainda temos nossos termos, nossos 𝑡𝑛s, 6.8, 7.9, 9.0, 10.1, e assim por diante. Agora, olhando para a diferença comum de termo para termo, para chegar a cada termo consecutivo, precisamos adicionar 1.1. Então isso nos diz o múltiplo de 𝑛. Então, o que precisamos fazer é encontrar o valor do nosso termo zero, os valores de intercepção 𝑦. Então estamos procurando por 𝑛 igual a zero.

Agora, quando estávamos nos movendo consecutivamente em nossos termos, estamos adicionando 1.1 a cada termo. Então, se estamos voltando do primeiro termo para o termo zero, temos que subtrair 1.1. E 6.8 menos 1.1 é 5.7. Portanto, a fórmula para o nosso 𝑛-ésimo termo é a diferença comum positiva 1.1 vezes 𝑛. Como isso é positivo, não nos incomodamos em escrever o sinal positivo. E então temos que adicionar 5.7. Isso é 5.7 positivo. Então, há a nossa fórmula. O 𝑛-ésimo termo é 1.1 𝑛 mais 5.7.

E se a pergunta nos pedisse agora para encontrar o 88º termo na progressão, o cálculo que teríamos que fazer para descobrir 𝑡 88 é 1.1 vezes 88. Portanto, 88 é o valor de 𝑛, o 88º termo, mais 5.7, que são 102.5. Portanto, o 88º termo em nossa progressão seria 102.5.

Então, para resumir a fórmula para o 𝑛-ésimo termo de uma progressão aritmética é sempre deste formato. O 𝑛-ésimo termo é igual a algo vezes 𝑛 mais algo. Agora, o 𝑎, o valor pelo qual estamos multiplicando 𝑛 por, é a diferença comum de cada termo em nossa progressão aritmética. E o valor 𝑏 seria o valor do termo zero na progressão. E uma progressão aritmética, a fórmula do 𝑛-ésimo termo, estará sempre nesse formato. Se tem quadrados, raízes ou potências de 𝑛, não pode ser nenhuma dessas fórmulas. Eles não são lineares, então eles não podem representar uma progressão aritmética.

Agora, mais um tipo de pergunta que você pode ver em relação às nossas progressões aritméticas é assim. 117 pertence à progressão aritmética cinco, 18, 31, 44 e assim por diante? E a maneira como você aborda isso é praticamente a mesma nos primeiros casos, aqueles que acabamos de ver.

Primeiro, vamos analisar a diferença comum. E neste caso, isso é mais 13 a cada vez. De modo que nos diz o múltiplo de 𝑛 em nossa fórmula. E então vamos encontrar o termo zero dessa progressão. Então, voltando do primeiro para o termo zero, estamos nos movendo para trás. Então, vamos fazer o oposto de adicionar 13. Isso é menos 13. Nosso primeiro termo era cinco, então cinco menos 13 é menos oito. Portanto, nossa fórmula para o 𝑛-ésimo termo é, então, a diferença comum vezes 𝑛. Então, isso vai ser 13 𝑛. E o termo zero é o que vamos adicionar ou tirar neste caso no final. Então 𝑡𝑛 são 13 𝑛 menos oito.

Agora lembre-se de que estamos dizendo antes que os 𝑛-valores devem ser todos números inteiros. Nós só falamos sobre o primeiro termo na progressão, o segundo, o terceiro e assim por diante. Nós não falamos sobre o termo três e meio. Então, se 117 está no termo, então, haverá um 𝑛-ésimo termo que é 117. E o 𝑛-valor correspondente a esse seria um número inteiro. Então, será 117 é igual a 13 vezes algum número menos oito. E se eu adicionar oito a ambos os lados dessa equação, eu recebo 125 é igual a 13 𝑛. E agora, se eu dividir ambos os lados por 13, recebo 𝑛 é igual a 125 sobre 13. Então são nove e oito treze avos. Isso não é um número inteiro. Portanto, nossa resposta é 117 não é um termo exato na progressão. Seria o termo nove e oito treze avos. Isso não é um número inteiro, então não é um termo.

Ok, uma última pergunta rápida então. 5.2 pertence à progressão aritmética com a fórmula do termo geral 𝑡𝑛 é igual a 106 menos 1.8 𝑛?

E isso novamente se resume ao fato de que, se o valor de 𝑛 que gera um termo 5.2 é um inteiro, então sim, ele pertence à progressão. Mas se o valor de 𝑛 que gera esse termo não for um inteiro, então não. Então, estamos substituindo 𝑡𝑛 igual a 5.2. Agora, neste caso, é menos 1.8 𝑛 lá. Então, vou adicionar 1.8 𝑛 aos dois lados para me dar um número positivo de 𝑛s. Então eu posso subtrair 5.2 de cada lado. E finalmente dividir por 1.8 para me deixar com um 𝑛 no lado esquerdo. E, neste caso, isso me dá uma resposta inteira, 56. Portanto, nossa resposta é sim, 5.2 é o 56º termo nesta progressão.