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Vídeo da aula: O Modelo Logístico Matemática • Ensino Superior

Neste vídeo, vamos aprender como utilizar a equação diferencial logística para modelar situações em que o crescimento de uma quantidade está limitada à capacidade de carga.

17:23

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, apresentaremos o modelo logístico para representar o crescimento populacional. Primeiro, recapitulamos o modelo utilizado para o crescimento populacional simples e discutimos por que é que este modelo pode não ser apropriado em determinadas circunstâncias. Depois, veremos como podemos desenvolver este modelo ainda mais para levar em conta algumas das restrições práticas do crescimento populacional, como a população máxima que pode ser considerada. E consideraremos uma série de exemplos em que trabalhamos com este novo modelo.

Já deve estar familiarizado com um modelo de crescimento populacional simples, no qual a população aumenta a uma taxa proporcional à própria população. Este crescimento populacional pode ser modelado pela equação diferencial d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃, onde 𝑘 é a constante de proporcionalidade ou a taxa na qual a população está a crescer. Ao separar as variáveis ​​nesta equação diferencial e depois integrar, sabemos que a solução geral para esta equação diferencial é da forma 𝑃 igual 𝐴𝑒 elevado a 𝑘𝑡. E se soubermos que o valor inicial da população no instante 𝑡 é igual a zero, 𝑃 zero, podemos determinar a solução em particular que é 𝑃 igual a 𝑃 zero 𝑒 elevado a 𝑘𝑡. Então descobrimos que a população cresce exponencialmente. E assim o gráfico da população ao longo do tempo ficaria parecida com isto.

No entanto, precisamos de considerar a praticabilidade deste modelo, pois implica que a população continuará a crescer a um ritmo cada vez maior. Na realidade, é improvável que isto seja possível, pois o ambiente em que a população vive não terá recursos ilimitados. Talvez chegue um momento em que a população seja grande demais para ser sustentada pelos recursos disponíveis. E, nessa altura, o nosso modelo deixará de ser preciso na previsão de como essa população mudará ao longo do tempo. Portanto, queremos mudar o nosso modelo para incluir duas novas suposições.

Em primeiro lugar, o crescimento relativo da população diminuirá à medida que a própria população aumentar. Portanto, embora o crescimento exponencial pode ser adequado inicialmente, a taxa na qual a população cresce acabará por diminuir. A segunda suposição é que existe uma população máxima que pode ser suportada num determinado ambiente. Isto é conhecido como a capacidade de carga. E denotamos isto utilizando a letra 𝐿.

Veremos o modelo que incorpora estas suposições em breve. Mas o gráfico da solução para este modelo seria algo parecido com isto. A população cresce inicialmente de maneira exponencial. Mas esta taxa de crescimento diminui. E, finalmente, a população estabiliza-se num nível igual à capacidade de carga, 𝐿, do meio ambiente.

O modelo mais simples para o crescimento populacional, que incorpora as duas premissas que acabámos de discutir, é o seguinte. Um sobre 𝑃 d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘 multiplicado por um menos 𝑃 sobre 𝐿. E provar isto está além do escopo deste vídeo. Multiplicar os dois membros desta equação por 𝑃 dá d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃 multiplicado por um menos 𝑃 sobre 𝐿. E isto é conhecido como a equação diferencial logística para o crescimento populacional.

Neste modelo, 𝑘 representa a taxa de crescimento da população e 𝐿 representa a capacidade de carga. Observe que se a população for pequena em comparação com a capacidade de carga, então 𝑃 sobre 𝐿 estará próximo de zero. Um menos 𝑃 sobre 𝐿 estará próximo de um. E, portanto, d𝑃 sobre d𝑡 será aproximadamente 𝑘𝑃. E temos este modelo simples de crescimento populacional.

Então, inicialmente, quando 𝑃 é pequeno em relação a 𝐿, o modelo exponencial para o crescimento da população é adequado. No entanto, à medida que a população se aproxima da sua capacidade de carga, 𝑃 sobre 𝐿 tenderá para um. Portanto, um menos 𝑃 sobre 𝐿 tenderá para zero. E, portanto, a taxa de variação da população, d𝑃 sobre d𝑡, também tenderá para zero. Se a população exceder a capacidade de carga, então 𝑃 sobre 𝐿 será maior que um, o que significa que um menos 𝑃 sobre 𝐿 será negativo. E, portanto, a taxa de variação da população também será negativa, o que significa que a população está a diminuir, porque excedeu a população máxima que o ambiente pode suportar.

Agora vamos considerar como podemos resolver essa equação logística. Embora seja mais complicado que o modelo de crescimento populacional simples, ainda é uma equação diferencial separável. Podemos reescrever o segundo membro como 𝑘𝑃 multiplicado por 𝐿 menos 𝑃 sobre 𝐿 e depois separar as variáveis, para fornecer 𝐿 sobre 𝑃 multiplicado por 𝐿 menos 𝑃 d𝑃 igual a 𝑘 d𝑡. Em seguida, resolvemos integrar os dois membros desta equação.

Agora, o segundo membro será direto. Mas para integrar o primeiro membro, precisamos de utilizar frações parciais. Podemos expressar 𝐿 sobre 𝑃 multiplicado por 𝐿 menos 𝑃 como 𝐴 sobre 𝑃 mais 𝐵 sobre 𝐿 menos 𝑃. Podemos então multiplicar ambos os membros desta equação por 𝑃 𝐿 menos 𝑃 para dar 𝐿 igual a 𝐴 multiplicado por 𝐿 menos 𝑃 mais 𝐵𝑃. Podemos então substituir valores da nossa população 𝑃 para determinar os valores das constantes 𝐴 e 𝐵.

Quando 𝑃 é igual a zero, descobrimos que 𝐿 é igual a 𝐿𝐴. E, portanto, 𝐴 é igual a um. Quando a população 𝑃 é igual a 𝐿, descobrimos que 𝐿 é igual a 𝐵𝐿. E, portanto, 𝐵 também é igual a um. Portanto, a fração 𝐿 sobre 𝑃 multiplicado por 𝐿 menos 𝑃 pode ser escrito como as frações parciais um sobre 𝑃 mais um sobre 𝐿 menos 𝑃.

Substituindo de volta no nosso integral, agora podemos realizar esta integração. Lembramos que o integral de um sobre 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual ao logaritmo natural do módulo de 𝑥 mais uma constante de integração 𝑐. E se utilizássemos o método de substituição, veríamos que o integral de mais de 𝑘 menos 𝑥 em ordem a 𝑥 para uma constante 𝑘 é igual a menos o logaritmo natural do módulo de 𝑘 menos 𝑥 mais uma constante 𝑐.

Portanto, temos que o logaritmo natural do módulo de 𝑃 menos o logaritmo natural do módulo de 𝐿 menos 𝑃 é igual a 𝑘𝑡. E acabámos de incluir uma constante de integração 𝑐 no segundo membro.

Agora a população 𝑃 é maior que zero. E como precisamos que a população seja menor que a capacidade de carga 𝐿 para que este modelo seja significativo, 𝐿 menos 𝑃 também é maior que zero. Portanto, o módulo de 𝑃 é apenas 𝑃 e o módulo de 𝐿 menos 𝑃 é 𝐿 menos 𝑃. Portanto, temos o logaritmo natural de 𝑃 menos o logaritmo natural de 𝐿 menos 𝑃 é igual a 𝑘𝑡 mais 𝑐.

A multiplicação por menos um e a aplicação das leis dos logaritmos dão que o logaritmo natural de 𝐿 menos 𝑃 sobre 𝑃 é igual a menos 𝑘𝑡 mais uma constante 𝑐 dois. Podemos então elevar 𝑒 em cada membro, sabendo que este anulará o logaritmo natural no primeiro membro, dando 𝐿 menos 𝑃 sobre 𝑃 igual a 𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡 mais 𝑐 dois. E utilizando as regras das potências, podemos escrever isso como 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡.

Podemos então reescrever a fração no primeiro membro como 𝐿 sobre 𝑃 menos 𝑃 sobre 𝑃, o que simplifica para 𝐿 sobre 𝑃 menos um. E, em seguida, adicione um a cada membro da equação para dar 𝐿 sobre 𝑃 igual a 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡 mais um. Finalmente, podemos multiplicar ambos os membros da equação por 𝑃 e depois dividir por 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡 mais um para dar 𝑃 igual a 𝐿 sobre um mais 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡. E esta é a solução geral para o modelo logístico de crescimento populacional.

Agora também podemos determinar o valor da constante 𝐴 se nos disserem a população no instante zero. Se 𝑃 é igual a um valor 𝑃 zero em 𝑡 igual a zero, então temos a equação 𝑃 zero é igual a 𝐿 sobre um mais 𝐴𝑒 elevado a zero. Mas 𝑒 elevado a zero é apenas um. Reorganizar esta equação dá uma expressão para 𝐴 em termos de capacidade de carga 𝐿 e da população inicial 𝑃 zero. 𝐴 é igual a 𝐿 menos 𝑃 zero sobre 𝑃 zero.

E assim vemos a solução para o modelo logístico de crescimento populacional. Podemos citar isto como um resultado geral ao responder a questões sobre este tópico. Observe que desta vez, quando 𝑡 se aproxima de infinito, 𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡 tenderá para zero. E assim a população tenderá para 𝐿 sobre um, que é apenas 𝐿, a capacidade de carga da população. Vamos agora considerar alguns exemplos deste modelo logístico. No nosso primeiro exemplo, veremos como escrever uma equação diferencial logística a partir de uma descrição física.

Suponha que uma população cresce de acordo com um modelo logístico com capacidade de carga de 7500 e 𝑘 igual a 0.006. Escreva a equação diferencial logística para esta informação.

É-nos dito que tipo de modelo de crescimento populacional utilizar nesta questão. Portanto, podemos citar a equação diferencial logística padrão. É d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃 multiplicado por um menos 𝑃 sobre 𝐿, onde 𝑘 é a taxa de crescimento da população e 𝐿 é a capacidade de carga. Deram-nos estes dois valores na questão. Então, apenas precisamos de substituí-los na equação diferencial logística.

Temos então que d𝑃 sobre d𝑡 é igual a 0.006 — isto é 𝑘𝑃 — multiplicado por um menos 𝑃 mais de 7500 — isto é 𝐿. Apenas nos pediram para escrever a equação diferencial logística. Portanto, não há necessidade de tentarmos resolver isto e terminamos.

No nosso próximo exemplo, veremos como determinar a solução particular para uma determinada equação diferencial logística com uma condição inicial.

Suponha que o crescimento de uma população seja governado pela equação logística d𝑃 sobre d𝑡 igual a 0.07𝑃 multiplicada por um menos 𝑃 sobre 900, onde 𝑃 de zero é igual a 50. Escreva a fórmula para 𝑃 de 𝑡.

Escrever 𝑃 de 𝑡 significa que precisamos de determinar a solução para esta equação logística. Podemos começar por escrever a sua forma geral. Sabemos que para a equação logística d𝑃 sobre d𝑡 é igual a 𝑘𝑃 multiplicado por um menos 𝑃 sobre 𝐿 que a sua solução é dada por 𝑃 igual a 𝐿 mais um mais 𝐴𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡, onde 𝐴 é igual a 𝐿 menos 𝑃 zero sobre 𝑃. Aqui 𝑘 representa a taxa de crescimento da população. 𝐿 é a capacidade de carga. E 𝑃 zero é a população inicial. Podemos identificar cada um destes valores a partir das informações dadas na questão.

Primeiro, vemos que 𝑘 é igual a 0.07 e 𝐿 é igual a 900. Também nos dizem que 𝑃 zero é igual a 50. Portanto, podemos preencher cada um dos valores na solução geral. Vamos trabalhar 𝐴 primeiro. 𝐴 é igual a 𝐿 menos 𝑃 zero sobre 𝑃 zero. Isso é 900 menos 50 sobre 50 ou 850 sobre 50, o que é igual a 17.

Agora podemos substituir a forma geral da solução. 𝑃 é igual a 𝐿 — que é 900 — sobre um mais 𝐴 — que é 17 — 𝑒 elevado a menos 𝑘 — que é menos 0.7 — 𝑡. Portanto, temos a nossa solução para 𝑃 ou 𝑃 de 𝑡. É igual a 900 sobre um mais 17𝑒 elevado a menos 0.07𝑡.

No nosso exemplo final, veremos como calcular a taxa de crescimento da população e, em seguida, calcular a população num determinado instante 𝑡.

Suponha que uma população cresce de acordo com um modelo logístico com uma população inicial de 1000 e uma capacidade de carga de 10000. Se a população aumentar para 2500 após um ano, qual será a população após outros três anos?

Sabemos que a solução geral para o modelo logístico é dada por 𝑃 de 𝑡 igual a 𝐿 sobre um mais 𝐴𝑒 elevado a 𝑘𝑡, onde 𝐴 é igual a 𝐿 menos 𝑃 zero sobre 𝑃. Aqui 𝐿 é a capacidade de carga da população, 𝑃 zero é a população inicial e 𝑘 é a taxa de crescimento da população.

Deram-nos algumas destas informações na questão. Disseram-nos que a população inicial, 𝑃 zero, é 1000. E disseram-nos que a capacidade de carga, 𝐿, é 10000. Mas não nos deram a taxa de crescimento da população. Em vez disso, deram-nos outro par de valores para 𝑃 e 𝑡. Disseram-nos que a população após um ano é de 2500. Poderemos combinar estas informações com os nossos valores de 𝐿 e 𝑃 zero para determinar a taxa de crescimento da população.

Primeiro, podemos calcular o valor da constante 𝐴. É 𝐿 menos 𝑃 zero sobre 𝑃 zero, 10000 menos 1000 sobre 1000, que é 9000 sobre 1000, que é nove. Substituindo 𝐿 e 𝐴 no nosso modelo, temos que 𝑃 de 𝑡 é igual a 10000 sobre um mais nove 𝑒 elevado a menos 𝑘𝑡.

Agora podemos utilizar a população após um ano para determinar o valor de 𝑘. Substituindo 2500 em 𝑃 e um em 𝑡, temos 2500 igual a 10000 sobre um mais nove 𝑒 elevado a menos 𝑘. Para resolver em ordem a 𝑘, primeiro multiplicamos por um mais nove 𝑒 elevado a menos 𝑘 e depois dividimos por 2500, dando um mais nove 𝑒 elevado a menos 𝑘 é igual a quatro. Podemos então subtrair um e dividir por nove, dando 𝑒 elevado a menos 𝑘 igual a quatro menos um sobre nove, que é três nonos ou um terço.

Em seguida, tomamos logaritmos naturais em cada membro, sabendo que isso será anulado com o exponencial no primeiro membro, para dar menos 𝑘 igual ao logaritmo natural de um terço. Podemos então multiplicar por menos um para dar 𝑘 igual a menos o logaritmo natural de um terço. E utilizando as propriedades dos logaritmos, isto é igual ao logaritmo natural de três. Então, determinámos o valor de 𝑘, a taxa de crescimento da população. Portanto, o nosso modelo torna-se 𝑃 de 𝑡 igual a 10000 sobre um mais nove 𝑒 elevado a menos 𝑡 multiplicado pelo logaritmo natural de três.

Agora, pedem-nos a população depois de mais três anos, o que significa que procuramos a população quando 𝑡 é igual a quatro. Portanto, o passo final é substituir 𝑡 igual a quatro no nosso modelo. Temos, então, que 𝑃 de quatro é igual a 10000 sobre um mais nove 𝑒 elevado a menos quatro ln três. Isso realmente funciona muito bem, e pode ver se aplica propriedades dos logaritmos no denominador. Temos 10.000 sobre 10 sobre nove, que é 10000 vezes nove sobre 10, o que é igual a 9000. Portanto, descobrimos que a população após mais três anos, ou seja, a população após quatro anos de início, é de 9000.

Vamos resumir o que vimos neste vídeo. Introduzimos o modelo logístico, que pode ser utilizado como um modelo mais realista de crescimento populacional para refletir o facto de que as populações geralmente não podem crescer sem limitação devido a recursos finitos. A equação diferencial logística para o crescimento da população é d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃 multiplicado por um menos 𝑃 sobre 𝐿, onde 𝑘 é a taxa de crescimento e 𝐿 é a capacidade de carga.

Ao separar as variáveis ​​e integrar, descobrimos que a solução para a equação diferencial logística com uma população inicial de 𝑃 zero é 𝑃 de 𝑡 igual a 𝐿 sobre um mais 𝐴𝑒 elevado a 𝑘 𝑡, onde 𝐴 é igual a 𝐿 menos 𝑃 sobre 𝑃 zero. Isso produz um modelo muito mais realista de crescimento populacional, onde a população cresce inicialmente a uma taxa exponencial. Mas, então, a taxa de crescimento diminui. E, finalmente, a população estabiliza-se com a capacidade de carga da população.

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