Vídeo: Utilizando a Divisão para Determinar os Zeros de um Polinómio

Um dos zeros da função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 4𝑥² − 17𝑥 + 60 pertence ao conjunto {2, 3, 4}. Utilizando a divisão, determine todos os zeros de 𝑓.

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Transcrição do vídeo

Um dos zeros da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado menos 17𝑥 mais 60 pertence ao conjunto dois, três, quatro. Utilizando a divisão, determine todos os zeros de 𝑓.

Então, aqui temos a nossa função na possibilidade dos zeros: dois, três ou quatro. E sabemos que apenas um deles é um dos zeros da função. Um zero de uma função divide completamente a função. Então, precisamos de pegar nestes números e utilizar a divisão para decidir se é um zero da função ou não.

Vamos começar com dois. Então escrevemo-lo aqui fora assim. E então, utilizamos todos os coeficientes e as constantes e certificamo-nos de que estão por ordem decrescente. Então, temos um, menos quatro, menos 17 e depois 60. Assim, para a divisão, trazemos o primeiro número que é um. E agora, nós fazemos um vezes dois. E vamos escrever aqui. E um vezes dois é dois. E agora, adicionamos as colunas. Então, menos quatro e dois é menos dois.

E agora, vamos repetir o processo. Menos dois vezes dois é menos quatro. E menos 17 mais menos quatro é menos 21. E então, menos 21 vezes dois é menos 42 e 60 mais menos 42 seriam 18. Assim, a maneira de ler estes números é tudo para a direita, que é 18 é o nosso resto. Isto é o que sobrou. E então, menos 21 será o número constante, menos dois será o coeficiente com 𝑥 e um será o coeficiente com 𝑥 ao quadrado. E, em seguida, continuaríamos se houvesse mais números.

Então, como há um resto, isto significa que dois não divide completamente a nossa função. Então dois não é um dos nossos zeros. Então, agora, vamos tentar três. Então, utilizando o mesmo processo de divisão, baixamos o nosso um e um vezes três é três. E menos quatro mais três é menos um e menos um vezes três é menos três. E menos 17 mais menos três é menos 20. E agora, menos 20 vezes três é menos 60 e 60 mais menos 60 é zero. Isto significa que temos um resto de zero. Isto é ótimo. Significa que três divide a nossa função completamente. Então, três funciona.

Agora, vamos tentar quatro só para estar seguro, apesar de apenas um deles ter funcionado. Então baixamos o nosso um. E um vezes quatro é quatro e menos quatro mais quatro é zero. E então, zero vezes quatro é zero. E menos 17 mais zero é menos 17. E menos 17 vezes quatro é menos 68. E 60 mais menos 68 é menos oito. Então, haverá um resto de menos oito. Portanto, não se divide completamente. Portanto, três devem ser o nosso zero.

Em seguida, diz para determinar todos os zeros de 𝑓. Então, se sabemos que três é um deles, podemos utilizá-lo para ajudar a deteminar os outros. Assim, sabemos que zero era o nosso resto, menos 20 era constante, menos um era coeficiente com 𝑥 e um era o coeficiente com 𝑥 ao quadrado. Então, nós temos a função 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 menos 20. E podemos igualar isto a zero e fatorizar para determinar os outros zeros.

Então, quais são os dois números que se multiplicaram para dar menos 20 e adicionaram para dar menos um? Será menos cinco e menos quatro. Portanto, para determinar a resposta, os zeros da função, precisamos de igualar cada fator a zero. Então, para começar com 𝑥 menos cinco, para resolver 𝑥, precisamos de adicionar cinco a ambos os membros da equação. E temos que 𝑥 é igual a cinco. No próximo, precisamos de subtrair quatro de ambos os membros da equação e descobrimos que 𝑥 é igual a menos quatro.

Portanto, os nossos zeros para esta função serão quatro, três e menos cinco.

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