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Vídeo: A Curva de Hilbert: A Matemática do Infinito é Útil?

A Curva de Hilbert: A Matemática do Infinito é Útil?

18:18

Transcrição do vídeo

Vamos falar sobre curvas que preenchem o espaço. São incrivelmente divertidos de animar e também dão a oportunidade de abordar uma certa questão filosófica. A matemática geralmente lida com quantidades infinitas, às vezes tão intimamente que a própria substância de um resultado só faz sentido num mundo infinito. Então a questão é: como é que estes resultados podem ser úteis num contexto finito?

Como com todo o filosofar, é melhor deixar a discussão para depois de olharmos para o caso concreto da matemática real. Então, vou começar por estabelecer uma aplicação de algo chamado “Curva de Hilbert”, seguido por uma descrição de algumas das suas origens em matemática infinita.

Digamos que queiras escrever alguns softwares que permitam que as pessoas vejam com os seus ouvidos. Levaria os dados de uma câmara e, de alguma forma, traduzi-los-ia para um som de forma significativa. O pensamento aqui é que os cérebros são suficientemente plásticos para construir uma intuição a partir da visão, mesmo quando os dados brutos são baralhados num formato diferente. Deixei alguns links na descrição para estudos sobre este efeito. Para facilitar as experiências iniciais, podes começar por tratar as imagens recebidas com uma baixa resolução, talvez 256 por 256 pixels. E para facilitar meus próprios esforços de animação, vamos representar uma destas imagens com uma grelha de quadrados, cada célula correspondendo a um pixel.

Uma abordagem para este software som-para-imagem seria encontrar uma maneira agradável de associar cada um destes pixels a um valor de frequência exclusivo. Então quando este pixel é mais brilhante, a frequência a ele associada seria tocada mais alto; e se o pixel fosse mais escuro, a frequência seria silenciosa. Ouvir todos os pixels de uma vez soaria como um monte de frequências sobrepostas umas às outras com frequências dominantes correspondentes às regiões mais brilhantes da imagem, soando como uma bagunça cacofónica até que o teu cérebro aprendesse a entender as informações que contém.

Vamos deixar de lado temporariamente as preocupações sobre se isso realmente funcionaria ou não. E, em vez disso, pensa em que função, do espaço do pixel até ao espaço da frequência, dá a este software a melhor hipótese de funcionar. A parte complicada é que o espaço do pixel é bidimensional, mas o espaço da frequência é unidimensional. Poderias, claro, tentar fazer isto com uma correspondência aleatória. Afinal de contas, esperamos que os cérebros das pessoas façam sentido com dados muito complicados de qualquer maneira. No entanto, pode ser bom aproveitar algumas das intuições que um determinado cérebro humano já tem sobre o som. Por exemplo, se pensarmos em termos da correspondência inversa do espaço de frequência para o espaço de pixels, as frequências próximas umas das outras devem ficar juntas no espaço de pixels. Desta forma, mesmo que um ouvido tenha dificuldade em distinguir entre duas frequências próximas, estas referem-se, pelo menos, ao mesmo ponto básico no espaço.

Para garantir que isto aconteça, podes primeiro descrever uma maneira de traçar uma linha em cada um destes pixels. Então, se fixares cada pixel a um ponto nesta linha e desembaraçares a linha para coloca-la a direito, poderias interpretar esta linha como um espaço de frequência e terias uma associação de pixels para frequências, que é o que queremos. Agora, um método de tecer seria ir apenas uma linha de cada vez, alternando entre esquerda e direita à medida que se move para cima neste espaço de píxeis. Isto é como uma ronda bem jogada da Cobra, então vamos chamar a isto de “curva da cobra”.

Quando contas à tua amiga matemática esta ideia, ela diz: “Por que não utilizar uma curva de Hilbert?” Quando perguntas o que é isso, ela tropeça por um momento. ”Então, não é uma curva, mas uma infinita família de curvas”, começa ela. “Bem, não, na verdade é apenas uma coisa, mas eu preciso de falar sobre uma certa família infinita primeiro.” Ela pega num pedaço de papel e começa a explicar o que decide chamar de “Pseudo-Curvas de Hilbert”, por falta de um termo melhor.

Para uma pseudo-curva de Hilbert de ordem um, divides um quadrado numa grelha dois por dois e ligas o centro do quadrante inferior esquerdo ao centro do canto superior esquerdo, para o canto superior direito e depois para baixo o inferior direito.

Para uma pseudo-curvas de Hilbert de ordem dois, em vez de apenas irmos diretamente de um quadrante para outro, deixamos a nossa curva fazer um pouco de trabalho para preencher cada quadrante enquanto avança. Especificamente, subdivides o quadrado numa grelha quatro por quatro, e temos a nossa curva a traçar uma miniatura de uma pseudo-curva de Hilbert de ordem um dentro de cada quadrante antes de passar para a próxima. Se deixarmos estas muitas curvas orientadas como estão, indo do final da mini-curva no canto inferior esquerdo até o início da mini-curva no canto superior esquerdo, será necessário este tipo de salto desajeitado. A mesma coisa com ir da parte superior direita para a inferior direita. Então, invertemos as curvas no canto inferior esquerdo e no inferior direito para tornar esta ligação mais curta.

Indo de uma pseudo-curva de Hilbert de ordem dois para uma de ordem três é completamente semelhante. Divides o quadrado numa grelha de oito por oito, em seguida, coloca uma pseudo-curva de Hilbert de ordem dois em cada quadrante, invertes as posições inferior-esquerda e inferior-direita apropriadamente e liga-las de ponta a ponta. E o padrão continua assim para ordens superiores.

Para a matriz de píxeis 256 por 256, a tua amiga matemática explica, utilizarias uma pseudo-curva de Hilbert de ordem oito. E lembra-te, definir uma curva que tece através de cada pixel é basicamente o mesmo que definir uma função do espaço dos píxeis ao espaço das frequências, já que estás a associar cada pixel a um ponto na linha.

Agora, isto é parece bem para uma obra de arte, mas por que é que estas pseudo-curvas de Hilbert seriam melhores do que apenas a curva da cobra? Bem, aqui está uma razão muito importante. Imagina que passas por este projeto, integras o software com câmaras e fones de ouvido reais, e funciona. As pessoas ao redor do mundo estão a utilizar o dispositivo, criando intuições para a visão via som. O que acontece quando fazes um upgrade que aumenta a resolução da imagem da câmara de 256 por 256 para 512 por 512? Se estiveres a utilizar a curva de cobra, à medida que fazes a transição para uma resolução mais alta, muitos pontos nesta linha de frequências teriam que ir para partes completamente diferentes do espaço de píxeis.

Por exemplo, vamos seguir um ponto a meio da linha de frequências. Isto vai acabar a meio no espaço de píxeis, não importa a resolução, mas onde está, da esquerda para a direita, pode variar de 256 a 512. Isto significa que todos os que utilizam o software precisariam de reaprender a ver com os seus ouvidos, já que as intuições originais dos pontos no espaço que correspondem a certas frequências não mais se aplicariam.

No entanto, com a técnica da curva de Hilbert, à medida que aumentas a ordem de uma pseudo-curva de Hilbert, um determinado ponto na linha move-se menos e menos. Apenas se aproxima de um ponto mais específico no espaço. Desta forma, deste aos teus utilizadores a oportunidade de ajustar as suas intuições em vez de reaprender tudo.

Portanto, para esta aplicação som-para-imagem, a abordagem da curva de Hilbert é exatamente o que queres. De facto, dado o quão específico é o objetivo, parece quase estranhamente perfeito. Então, diriges-te à tua amiga matemática e perguntas-lhe: “Ei, qual foi a motivação original para definir uma destas curvas?” Ela explica que perto do final do século 19, na réplica da investigação de Cantor sobre o infinito, os matemáticos estavam interessados em determinar uma correspondência entre uma linha unidimensional e o espaço bidimensional, de forma que a linha percorresse todos os pontos no espaço. Para ser claro, não estamos a falar de uma grelha de pixels finita e limitada, como a que temos na aplicação sompara-imagem. Este é um espaço contínuo, que é infinito, e o objetivo é ter uma linha tão fina quanto a sua espessura possa ser e que tenha área zero de alguma forma a passar por cada um destes infinitos pontos que compõem a área infinita do espaço.

Antes de 1890, muitas pessoas pensavam que isto era obviamente impossível. Mas então Peano descobriu o primeiro do que viria a ser conhecido como “curvas de preenchimento do espaço”. Em 1891, Hilbert seguiu com sua própria curva de preenchimento do espaço um pouco mais simples. Tecnicamente, cada uma preenche um quadrado, não todo o espaço, mas eu mostrarei mais tarde como, pois uma vez que preenchas um quadrado com uma linha, preencher todo o espaço não é um problema. Aliás, os matemáticos utilizam esta palavra “curva” para se referir a uma linha que atravessa o espaço, mesmo que tenha cantos irregulares. Esta é uma terminologia especialmente contra-intuitiva no contexto de uma curva de preenchimento do espaço, que em certo sentido consiste apenas em cantos bicudos. Um nome melhor poderia ser algo como “fractal de preenchimento do espaço”, que algumas pessoas utilizam. Mas ei, é matemática, então vivemos com uma má terminologia!

Nenhuma das pseudo-curvas de Hilbert que utiliza para preencher o espaço pixelado contaria como uma curva de preenchimento do espaço, não importa o quão elevada a ordem. Basta aumentar o zoom de um dos píxeis. Quando este pixel é considerado parte do espaço contínuo infinito, a curva passa apenas pela menor fatia de área nula do mesmo. E certamente não atinge todos os pontos. A sua amiga matemática explica que uma curva de Hilbert real e de boa-fé não é uma dessas pseudo-curvas de Hilbert; em vez disso, é o limite de todas elas.

Agora, definir este limite rigorosamente é delicado. Primeiro tens que formalizar o que estas curvas são como funções. Especificamente, funções nas quais entra um único número entre zero e um como objeto e sai como imagem um par de números. Este objeto pode ser pensado como um ponto na linha e a imagem pode ser pensada como coordenadas no espaço 2D. Mas, em princípio, é apenas uma correspondência entre um único número e pares de números.

Por exemplo, uma pseudo-curva de ordem dois de Hilbert como uma função faz corresponder o objeto 0.3 à imagem que é o par 0.125, 0.75. Uma pseudo-curva de Hilbert de ordem 3 faz corresponder esse mesmo objeto 0.3 à imagem que é o par 0.0758, 0.6875.

Agora, a propriedade central que torna uma função como esta uma curva, e não apenas uma qualquer correspondência antiga entre números e pares de números, é a continuidade. A intuição por trás da continuidade é que não queres que a imagem da tua função suba repentinamente a qualquer momento quando o objeto está a variar suavemente. E a forma como isso é feito rigorosamente em matemática é, na verdade, é bem inteligente. E apreciar completamente as curvas de preenchimento do espaço realmente requer a digestão da ideia formal de continuidade. Então, definitivamente vale a pena dar um breve passo ao lado para passar por isto agora.

Considera um ponto específico como objeto, 𝐴, e a imagem correspondente da função, 𝐵. Desenha um círculo centrado em torno de 𝐴 e observa todos os outros pontos de objetos dentro desse círculo e, em seguida, considere onde a função recebe todos estes pontos no espaço das imagens. Agora desenha o menor círculo que consigas, centrado em 𝐵, que contenha essas imagens. Diferentes escolhas para o tamanho do círculo dos objetos podem resultar em círculos maiores ou menores no espaço das imagens. Mas observa o que acontece quando passamos por este processo num ponto onde a função salta. Desenhar um círculo à volta de 𝐴 e ver os pontos de objetos dentro do círculo, ver onde correspondem e desenhar o menor círculo possível centrado em 𝐵 contendo estes pontos, não importa quão pequeno seja o círculo 𝐴, o círculo correspondente 𝐵 não pode ser menor do que esse salto.

Por esta razão, dizemos que a função é “descontínua em 𝐴” se houver algum limite inferior ao tamanho deste círculo que circunda 𝐵. Se, por outro lado, o círculo ao redor 𝐵 puder ser feito tão pequeno quanto queiras com escolhas suficientemente pequenas para círculos ao redor de 𝐴, dizes que a função é “contínua em 𝐴”. A função como um todo é dita “contínua”, se é contínua em todos os pontos de objetos possíveis.

Agora, com isto como uma definição formal de curvas, estás pronto para definir o que é uma verdadeira curva de Hilbert. Fazer isso depende de uma propriedade maravilhosa da sequência de pseudo-curvas de Hilbert, que te deve ser familiar. Considera um dado ponto de objeto como 0.3, e aplica cada função de pseudo-curva de Hilbert sucessivaa neste ponto. As imagens correspondentes, à medida que aumentamos a ordem da curva, aproximam-se de um determinado ponto no espaço. Não importa por que objeto começas. Esta sequência de imagens que obténs aplicando cada pseudo-curva de Hilbert sucessiva neste ponto estabiliza-se sempre e aproxima-se de algum ponto particular no espaço 2D. Isto não é absolutamente verdade, a propósito, para curvas de cobra. Ou, na verdade, a maioria das sequências de curvas de preenchimento de espaços pixelados de resoluções cada vez mais altas. As imagens associadas ao objeto considerado tornam-se descontroladamente erráticas conforme a resolução aumenta, saltando sempre da esquerda para a direita e nunca se aproximando de nada.

Agora, devido a esta propriedade, podemos definir uma função de curva de Hilbert desta forma. Para um determinado objeto de valor entre zero e um, considera a sequência de pontos no espaço 2D obtida aplicando cada função de pseudo-curvas de Hilbert sucessivas nesse ponto. A imagem da função da curva de Hilbert calculada nesse objeto é apenas definida como sendo o limite desses pontos. Como a sequência das imagens da pseudo-curva de Hilbert converge sempre, não importa o objeto por que inicias, essa é na verdade uma função bem definida de uma maneira que nunca poderia ter sido, se tivéssemos utilizado curvas de cobra.

Agora, eu não vou passar pela demonstração de porque isto dá uma curva de preenchimento do espaço, mas vamos ver pelo menos o que precisa de ser provado. Primeiro, verifica se esta é uma função bem definida, comprovando que as imagens das funções da pseudo-curva de Hilbert realmente convergem da maneira que estou a dizer que o fazem. Em segundo lugar, mostra que esta função dá uma curva, ou seja, é contínua. Terceiro e mais importante, mostra que preenche o espaço, no sentido em que cada ponto no quadrado unitário é uma imagem desta função. Eu encorajo realmente qualquer um que esteja a assistir a experimentar cada uma delas. Alerta de spoiler: todos os três factos se revelam verdadeiros!

Podes estender isto a uma curva que preenche todo o espaço apenas cobrindo o espaço com quadrados e, em seguida, encadeando um grupo de curvas de Hilbert num padrão de ladrilhos em espiral, ligando o final de um ladrilho ao início de um novo ladrilho com a adição de um trecho de uma linha, se precisares. Podes pensar no primeiro ladrilho como vindo do intervalo de zero a um, o segundo ladrilho como vindo do intervalo de um a dois e assim por diante. Assim, toda a linha de números reais positivos está a fazer correspondência com todo o espaço 2D. Reserva um momento para deixar que este facto assente. Uma linha, a expressão platónica de estreiteza, pode vaguear por um espaço infinitamente extenso e denso e passar por todos os pontos.

Observa que a propriedade central que tornou as pseudo-curvas de Hilbert úteis tanto na aplicação som-para-imagem quanto nas suas origens infinitas, é que os pontos na curva se movem menos e menos à medida que aumentas a ordem dessas curvas. Ao traduzir imagens para sons, isto foi útil porque significa que fazer um upgrade para resoluções mais altas não exige um novo treino dos teus sentidos novamente. Para os matemáticos interessados ​​em preencher espaços contínuos, esta propriedade é o que garante que falar sobre o limite de uma sequência de curvas seja realmente uma coisa significativa a ser feita. E esta ligação aqui entre o infinito e o mundo finito parece ser mais uma regra em matemática do que uma exceção.

Outro exemplo que vários comentadores astutos do vídeo “Inventando Matemática” apontaram, é a ligação entre a soma divergente de todas as potências de dois e a maneira como o número menos um é representado em computadores por bits. Não é tanto que o resultado infinito seja diretamente útil. Mas, ao contrário, os mesmos padrões e construções utilizados ​​para definir e demonstrar factos infinitos têm análogos finitos, e esses análogos finitos são diretamente úteis. Mas a ligação é muitas vezes mais profunda do que uma simples analogia. Muitos teoremas sobre um objeto infinito são frequentemente equivalentes a alguns teoremas relativos a uma família de objetos finitos.

Por exemplo, se durante o teu projeto som-para-imagem, te sentasses e realmente formalizasses o que significa a tua curva permanecer estável à medida que aumentavas a resolução da câmara, acabarias efetivamente por escrever a definição do que significa uma sequência de curvas ter um limite. De facto, uma afirmação sobre algum objeto infinito, seja uma sequência ou um fractal, pode ser vista como um modo particularmente limpo de encapsular uma verdade sobre uma família de objetos finitos.

A lição a ser tirada aqui é que, mesmo quando uma afirmação parece muito distante da realidade, deves estar sempre disposto a dissecar o que realmente está a ser dito. Quem sabe? Podes encontrar insights para representar números de somas divergentes ou para ver com seus ouvidos por preencheres o espaço.