Vídeo: Derivando Funções Exponenciais Utilizando a Regra da Cadeia

Encontre 𝑑𝑦/𝑑𝑥 se 𝑦 = 4^(9𝑥² − 4𝑥 + 8).

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Transcrição do vídeo

Encontre 𝑑𝑦 𝑑𝑥 se 𝑦 for igual a quatro à potência de nove 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais oito.

Agora, para encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥, o que vamos fazer é, na verdade, usar a regra da cadeia. E a regra da cadeia afirma que 𝑑𝑦 𝑑𝑥 é igual a 𝑑𝑦 𝑑𝑢 multiplicado por 𝑑𝑢 𝑑𝑥. E isso é quando 𝑦 é igual a uma função de 𝑢 e 𝑢 é igual a uma função de 𝑥. Ok, agora temos a regra da cadeia. Vamos aplicá-lo ao nosso problema para realmente resolver e encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

Então, primeiro de tudo, precisamos identificar nosso 𝑢. Então, isso vai ser nove 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais oito. E, portanto, nosso 𝑦 será igual a quatro elevado a 𝑢. Ok, esse é o primeiro passo. Agora, o que precisamos fazer é realmente derivar para encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑢 e 𝑑𝑢 𝑑𝑥.

Eu vou começar encontrando 𝑑𝑢 𝑑𝑥 e farei isso derivando a expressão nove 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais oito. E isso vai nos dar 18𝑥 menos quatro. Nós fizemos isso do jeito normal. Então, nós apenas derivamos ou destacamos isso com o primeiro termo. Então o que fizemos foi multiplicar o expoente pelo coeficiente. Então, dois multiplicado por nove são 18 e então reduzimos o expoente em um - de dois para um. Então acabamos de ter 18𝑥.

Ótimo, nós derivamos isso. Agora vamos seguir em frente e encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑢. Então agora para descobrir, o que vamos ter que fazer é derivar quatro elevado a 𝑢. E para fazer isso, vamos usar a regra geral que é que, se vamos derivar 𝑎 elevado a 𝑥, então teremos uma resposta de 𝑎 elevado a 𝑥 multiplicado pelo logaritmo natural de 𝑎. Então, como resultado, vamos ter quatro elevado a 𝑢 porque é o nosso 𝑎 e depois multiplicá-lo pelo logaritmo natural de quatro, porque mais uma vez esse é o nosso 𝑎 porque é 𝑎 elevado a 𝑥 ln 𝑎.

Ótimo, então agora derivamos as duas partes. Podemos usar a regra da cadeia para colocá-las juntas para encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥. Então, agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos diz que 𝑑𝑦 𝑑𝑥 é igual a 𝑑𝑦 𝑑𝑢 multiplicado por 𝑑𝑢 𝑑𝑥. Então, vamos conseguir que 𝑑𝑦 𝑑𝑥 seja igual a quatro elevado a 𝑢 In quatro e isso é porque esse foi o nosso 𝑑𝑦 𝑑𝑢 e depois multiplicado por 18𝑥 menos quatro porque esse era o nosso 𝑑𝑢 𝑑𝑥.

Ok, ótimo, mas esta não é uma resposta final porque podemos ver que na verdade ainda estão incluindo 𝑢. Então, o que precisamos fazer agora é substituir nosso valor por 𝑢. Então nós vamos conseguir - e eu apenas rearranjei um pouco aqui - 18𝑥 menos quatro multiplicado por quatro elevado a nove 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais oito porque esse era o nosso 𝑢 e então isso é multiplicado pelo logaritmo natural de quatro.

Assim, depois de alguma arrumação usando fatoração, podemos dizer que se 𝑦 é igual a quatro à potência de nove 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais oito, portanto 𝑑𝑦 𝑑𝑥 será igual a dois multiplicado por nove 𝑥 menos dois. E nós temos isso porque na verdade nós fatoramos 18𝑥 menos quatro porque dois é um fator de 18𝑥 e menos quatro. E isso é multiplicado por quatro elevado a nove 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais oito ln quatro.

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