Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como determinar a equação de uma reta na forma paramétrica utilizando um ponto na reta e o vetor diretor da reta. Vamos começar por recordar a forma vetorial de uma reta. A forma vetorial de uma reta que passa pelo ponto 𝐴 e paralela ao vetor diretor 𝐝 é 𝐫 igual a 𝐎𝐀 mais 𝑡 multiplicado por 𝐝. Isto pode ser representado no plano de coordenadas bidimensional, como se mostra.
Recordamos que o vetor posição de um ponto é o vetor que começa na origem e termina naquele ponto. A forma vetorial da equação de uma reta descreve cada ponto da reta como seu vetor posição 𝐫. Cada valor do parâmetro 𝑡 dá o vetor posição de um ponto na reta.
Se considerarmos uma reta que passa pelo ponto 𝐴 com coordenadas 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero e paralela ao vetor diretor 𝐝 com coordenadas 𝑎 e 𝑏, então a forma vetorial da equação da reta é dada por 𝐫 igual a 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero mais 𝑡 multiplicado por 𝑎, 𝑏. Simplificando o segundo membro da nossa equação, obtemos as coordenadas 𝑥 índice zero mais 𝑎𝑡 e 𝑦 índice zero mais 𝑏𝑡. Podemos então escrever o vetor posição no primeiro membro em termos das suas coordenadas em 𝑥 e em 𝑦. Isto leva-nos à forma paramétrica da equação de uma reta. A forma paramétrica da equação de uma reta que passa pelo ponto 𝐴 com coordenadas 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero e paralelo ao vetor diretor 𝐝 é 𝑥 é igual a 𝑥 índice zero mais 𝑎𝑡, 𝑦 é igual a 𝑦 índice zero mais 𝑏𝑡. Na nossa primeira questão, veremos um exemplo disto na prática.
A reta 𝐿 passa pelo ponto 𝑁 com coordenadas três, quatro e tem um vetor diretor 𝐮 igual a dois, menos cinco. Então, as equações paramétricas da reta 𝐿 são o quê.
Começamos por recordar que a forma paramétrica da equação de uma reta que passa pelo ponto 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero e paralelo ao vetor diretor 𝑎, 𝑏 é 𝑥 é igual a 𝑥 índice zero mais 𝑎𝑡 e 𝑦 é igual a 𝑦 índice zero mais 𝑏𝑡. É-nos dito na questão que a reta 𝐿 passa pelo ponto com coordenadas três, quatro. Isro significa que o nosso valor de 𝑥 índice zero é três e 𝑦 índice zero é igual a quatro. Também nos é dado um vetor diretor 𝐮 tal que 𝑎 é igual a dois e 𝑏 é menos cinco.
Substituindo os nossos valores de 𝑥 índice zero e 𝑎, obtemos 𝑥 igual a três mais dois 𝑡. E substituindo os valores de 𝑦 índice zero e 𝑏, obtemos 𝑦 igual a quatro menos cinco 𝑡. É importante observar que podemos substituir a letra 𝑡 por qualquer outra letra como parâmetro. Por exemplo, 𝑥 igual a três mais dois 𝑘 e 𝑦 igual a quatro menos cinco 𝑘 também é uma solução válida. Podemos, portanto, concluir que estas são as equações paramétricas da reta 𝐿.
Vamos agora olhar para outro exemplo olhando para o processo de conversão da forma vetorial para a forma paramétrica.
A equação vetorial de uma reta é dada por 𝐫 de 𝑡 igual a 𝑡 multiplicado por cinco, dois mais menos um, três. Qual dos seguintes pares de equações paramétricas representa esta reta? É (A) 𝑥 igual a cinco 𝑡 mais dois, 𝑦 igual a menos 𝑡 mais três? (B) 𝑥 é igual a cinco 𝑡 menos um, 𝑦 é igual a dois 𝑡 mais três. (C) 𝑥 é igual a três 𝑡 mais dois, 𝑦 é igual a menos 𝑡 mais cinco. (D) 𝑥 é igual a menos 𝑡 mais cinco, 𝑦 é igual a três 𝑡 mais dois. Ou (E) 𝑥 é igual a dois 𝑡 mais três, 𝑦 é igual a cinco 𝑡 menos um.
Começamos esta questão lembrando que a forma vetorial da equação de uma reta é 𝐫 igual a 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero mais 𝑡 multiplicado por 𝑎, 𝑏, onde 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero é o vetor posição de um ponto na reta e 𝑎, 𝑏 é um vetor diretor da reta.
Comparando isto com a equação dada, vemos que o vetor diretor da nossa reta é cinco, dois. O vetor posição quando 𝑡 é igual a zero é menos um, três. Isto significa que a nossa reta passa pelo ponto um, três e é paralela ao vetor diretor cinco, dois.
Em seguida, recordamos que a forma paramétrica da equação de uma reta é 𝑥 igual a 𝑥 índice zero mais 𝑎𝑡 e 𝑦 igual a 𝑦 índice zero mais 𝑏𝑡. Substituindo os valores desta questão, temos 𝑥 igual a menos um mais cinco 𝑡 e 𝑦 igual a três mais dois 𝑡. Observando a forma como as equações foram escritas nas cinco opções, temos 𝑥 igual a cinco 𝑡 menos um e 𝑦 igual a dois 𝑡 mais três. A resposta correta é a opção (B).
No nosso próximo exemplo, aplicaremos a definição da forma paramétrica para obter o vetor diretor. O vetor diretor da reta cujas equações paramétricas são 𝑥 igual a dois e 𝑦 igual a menos dois 𝑘 mais quatro é o quê.
Começamos por recordar que a forma paramétrica da equação de uma reta que passa pelo ponto com coordenadas 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero e paralela ao vetor diretor com coordenadas 𝑎, 𝑏 é 𝑥 é igual a 𝑥 índice zero mais 𝑎𝑡 e 𝑦 é igual a 𝑦 índice zero mais 𝑏𝑡. Temos as equações paramétricas 𝑥 igual a dois e 𝑦 igual a menos dois 𝑘 mais quatro.
Observando que o parâmetro aqui é 𝑘, podemos reescrever as equações gerais como se mostra. Comparando os termos, vemos que 𝑥 índice zero é igual a dois. 𝑎 é igual a zero, pois não há termo 𝑘 na nossa primeira equação paramétrica. Também temos 𝑦 índice zero igual a quatro e 𝑏 igual a menos dois. Isto significa que a nossa reta passa pelo ponto dois, quatro. Também é paralelo ao vetor diretor zero, menos dois. Podemos, portanto, concluir que o vetor diretor da reta cujas equações paramétricas são 𝑥 igual a dois e 𝑦 igual a menos dois 𝑘 mais quatro é zero, menos dois.
Embora não seja necessário nesta questão, poderemos utilizar estas informações para escrever a equação vetorial da reta. O vetor posição 𝐫 é igual a dois, quatro mais 𝑘 multiplicado por zero, menos dois. Como vimos nesta questão, em vez de dar o vetor diretor diretamente, um problema pode dá-lo indiretamente. De facto, o vetor diretor de uma reta pode ser dado indiretamente de três maneiras possíveis: primeiro, fornecendo dois pontos que estão na reta; em segundo lugar, fornecendo o ângulo entre a reta e o semieixo positivo O𝑥; e em terceiro lugar, fornecendo o declive ou o gradiente da reta. Vamos agora considerar alguns destes cenários.
Determine as equações paramétricas da reta que faz um ângulo de 135 graus com o semieixo positivo O𝑥 e passa pelo ponto um, menos 15. É (A) 𝑥 igual a um mais 𝑘, 𝑦 igual a menos 15 menos 𝑘? (B) 𝑥 é igual a um mais 𝑘, 𝑦 é igual a um menos 15𝑘. É (C) 𝑥 igual a menos 15 menos 𝑘, 𝑦 igual a um mais 𝑘? Ou (D) 𝑥 é igual a um, 𝑦 é igual a menos 15 menos 𝑘.
Vamos começar por esboçar a reta, observando que esta forma um ângulo de 135 graus com o semieixo positivo O𝑥. Foi-nos dito na questão que a reta passa pelo ponto com coordenadas um, menos 15. E recordamos que o declive da reta que faz um ângulo 𝜃 com o semieixo positivo O𝑥 é dado por tan 𝜃. Como já mencionado, este ângulo 𝜃 é de 135 graus. E tan de 135 graus é igual a menos um. Isto significa que o declive da nossa reta é menos um.
Este declive é igual à vertical sobre a horizontal, o que leva a uma vertical de menos um e a uma horizontal de um. Como a horizontal é a variação dos valores de 𝑥 e a vertical é a variação dos valores de 𝑦, isto dá-nos um vetor diretor de um, menos um. A forma paramétrica da equação de uma reta que passa por um ponto com coordenadas 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero e paralelo a qualquer vetor diretor 𝑎, 𝑏 é 𝑥 é igual a 𝑥 índice zero mais 𝑎𝑘 e 𝑦 igual a 𝑦 índice zero mais 𝑏𝑘. Como agora temos estas duas informações, podemos substituí-las nos nossos valores.
Em primeiro lugar, temos 𝑥 igual a um mais 𝑘. E em segundo lugar, temos 𝑦 igual a menos 15 menos 𝑘. A resposta correta é, portanto, a opção (A). Nas equações paramétricas da reta que faz um ângulo de 135 graus com o semieixo positivo O𝑥 e passa pelo ponto um, menos 15 é 𝑥 igual a um mais 𝑘 e 𝑦 igual a menos 15 menos 𝑘.
Na nossa questão final, temos o vetor diretor da reta por meio do declive.
Uma reta passa pelo ponto um, seis e tem declive de um meio. Qual dos seguintes pares de equações paramétricas representa esta reta? É (A) 𝑥 igual a 𝑡 mais um, 𝑦 igual a dois 𝑡 mais seis? (B) 𝑥 é igual a 𝑡 mais dois, 𝑦 é igual a seis 𝑡 mais um. (C) 𝑥 é igual a quatro 𝑡 mais um, 𝑦 é igual a dois 𝑡 mais seis. (D) 𝑥 é igual a seis 𝑡 mais um, 𝑦 é igual a 𝑡 mais dois. Ou (E) 𝑥 é igual a quatro 𝑡 mais um, 𝑦 é igual a 𝑡 mais seis.
Começamos por recordar que a forma paramétrica da equação de uma reta que passa por um ponto com coordenadas 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero e paralela ao vetor diretor com coordenadas 𝑎, 𝑏 é 𝑥 igual a 𝑎𝑡 mais 𝑥 índice zero e 𝑦 é igual a 𝑏𝑡 mais 𝑦 índice zero. Dizem-nos que a reta passa pelo ponto um, seis. Portanto, 𝑥 índice zero é igual a um e 𝑦 índice zero é igual a seis. Também nos é dito que tem um declive de um meio. Podemos utilizar esta informação para determinar o vetor diretor da reta. Uma vez que tenhamos determinado isto, podemos substituir os valores de 𝑎 e 𝑏 para estabelecer as equações paramétricas para 𝑥 e 𝑦.
Lembrando que o declive é igual à vertical sobre a horizontal, pois o declive da nossa reta é um meio, a vertical é igual a um e a horizontal é igual a dois. Isto leva a um vetor diretor de dois, um. Isto pode ser demonstrado no plano 𝑥O𝑦, como se mostra. Como o vetor diretor é igual a dois, um, os valores de 𝑎 e 𝑏 nas nossas equações paramétricas são dois e um, respetivamente.
Utilizando o vetor diretor dois, um e o ponto um, seis, podemos escrever a forma paramétrica como 𝑥 igual a dois 𝑡 mais um e 𝑦 igual a 𝑡 mais seis. Observamos neste ponto que esta forma paramétrica não corresponde a nenhuma das opções dadas.
Vamos agora abrir espaço e ver como podemos superar isto. Precisamos de escolher um vetor diretor alternada que seja paralelo ao vetor dois, um, por exemplo, quatro, dois; seis, três; oito, quatro; e assim por diante. Podemos identificar o vetor diretor utilizado para cada opção, lembrando que as coordenadas em 𝑥 e em 𝑦 do vetor diretor podem ser obtidas a partir dos coeficientes de 𝑡.
Na opção (A), o vetor diretor é um, dois. A opção (B) tem um vetor diretor um, seis. Nenhum destes é paralelo ao vetor diretor dois, um. O vetor diretor da opção (C) é quatro, dois. Isto é paralelo ao vetor diretor dois, um, pois multiplicamos as duas coordenadas por dois. Os vetores diretores nas opções (D) e (E) são seis, um e quatro, um, respetivamente, nenhum dos quais é paralelo a dois, um. Utilizando o vetor diretor quatro, dois junto com o ponto um, seis, temos equações paramétricas 𝑥 igual a quatro 𝑡 mais um e 𝑦 igual a dois 𝑡 mais seis. A resposta correta das opções dadas é (C).
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. A forma paramétrica de uma reta dá coordenadas em 𝑥 e em 𝑦 de cada ponto na reta como uma função do parâmetro. A forma paramétrica da equação de uma reta que passa pelo ponto com coordenadas 𝑥 índice zero, 𝑦 índice zero e paralela ao vetor diretor 𝐝, que é igual a 𝑎, 𝑏, é 𝑥 igual a 𝑥 índice zero mais 𝑎𝑡 e 𝑦 é igual a 𝑦 índice zero mais 𝑏𝑡. Qualquer ponto da reta pode ser utilizado para obter as equações paramétricas da reta. Além disso, o vetor diretor pode ser substituído por qualquer múltiplo escalar do vetor. Isto significa que a forma paramétrica da equação de uma reta não será única.
