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Vídeo da aula: Funções Polinomiais

Neste vídeo, aprenderemos como identificar, escrever e calcular uma função polinomial de uma variável e declarar seu grau e coeficiente principal.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como identificar, escrever e calcular uma função polinomial de uma variável e declarar seu grau e coeficiente principal.

Até esse estágio, você terá trabalhado com funções polinomiais, talvez sem perceber. Essas são funções como funções lineares, funções quadráticas, cúbicas e assim por diante, em outras palavras, funções com apenas potências inteiras positivas de 𝑥. Em geral, dizemos que uma função polinomial é da forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 sub 𝑛 𝑥 elevado a potência 𝑛-ésima mais 𝑎 sub 𝑛 menos um 𝑥 elevado a potência de 𝑛 menos um e assim por diante, até 𝑎 sub um 𝑥 mais 𝑎 sub zero. Aqui, todos os 𝑎 são constantes reais. E dizemos que nosso polinômio tem uma ordem ou um grau de 𝑛, onde o grau é a maior potência ou expoente.

Por exemplo, nossa função quadrática 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 menos três tem um grau de dois. Enquanto a maior potência ou expoente de 𝑥 na função 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro menos três 𝑥 ao cubo é três. E, portanto, isso tem um grau de três. Observe que, se houver termos incomuns, como raízes quadradas ou inversos, como 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 ou 𝑓 de 𝑥 é um sobre 𝑥. Isso não conta mais como uma função polinomial. Lembre-se, 𝑛 deve ser um número inteiro positivo, um número inteiro positivo. É útil também lembrar que 𝑓 de 𝑥 igual a zero é um polinômio, mas dizemos que seu grau é indefinido.

Também precisamos ser capazes de calcular funções polinomiais. Então, é útil ser capaz de lembrar o que queremos dizer com essa parte aqui. Dizemos 𝑓 de 𝑥, onde 𝑓 é como o nome da função e 𝑥 é a entrada. Digamos que queremos calcular 𝑓 de quatro. Nós substituiríamos qualquer uma das variáveis de entrada 𝑥 pelo número quatro e partiríamos daí. Vamos ver como isso pode ser.

Encontre o valor de 𝑓 de oito, dada a função 𝑓 de 𝑥, é igual a três menos sete 𝑥.

Nesta pergunta, recebemos uma função polinomial. A maior potência de 𝑥 aqui é um. Então, dizemos que o grau ou a ordem do nosso polinômio é um. Sua entrada é 𝑥. E vemos que, quando temos essa entrada, a saída é três menos sete vezes 𝑥. Agora, a pergunta quer que trabalhemos 𝑓 de oito. Então, vamos substituir 𝑥 por oito. Então, 𝑓 de oito é três menos sete vezes oito. Agora, tenha cuidado aqui. Um erro comum aqui é pensar que isso significa 78, mas sete 𝑥 é na verdade sete vezes 𝑥.

Então, para calcular 𝑓 de oito, lembramos nossa ordem de operações, às vezes chamada de BIDMAS ou PEMDAS. Isso nos diz que precisamos calcular o termo de multiplicação da soma antes que possamos subtraí-lo de três. Sete multiplicado por oito são 56. Então, 𝑓 de oito será três menos 56. 3 menos 56 são menos 53. Então, 𝑓 de oito, dada a função 𝑓 de 𝑥 é igual a três menos sete 𝑥, é menos 53.

Em nosso próximo exemplo, consideraremos como podemos calcular uma função quadrática. Essa é uma função com o grau dois.

Se 𝑓 de 𝑥 for menos oito 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais quatro, encontre 𝑓 de menos três.

Recebemos uma função polinomial. Lembre-se, essa é uma função polinomial em que as potências de 𝑥 são todos números inteiros positivos reais. A maior potência de 𝑥 em nossa função polinomial é dois. Então, dizemos que o grau ou a ordem da função é dois. Agora, a questão quer que encontremos o valor de 𝑓 de menos três. Em outras palavras, qual é a saída de nossa função 𝑓 quando sua entrada é menos três? E assim, para resolver isso, vamos substituir 𝑥 por menos três em toda a nossa função.

O primeiro termo em nossa função é menos oito 𝑥 ao quadrado. Então, isso se torna menos oito vezes menos três ao quadrado. Então, subtraímos três vezes 𝑥. Então, vamos subtrair três vezes menos três. O termo final é quatro; que é independente de 𝑥, então ainda são quatro. E, claro, para calcular isso, precisaremos lembrar a ordem das operações. Eles nos dizem a ordem em que estamos realizando os cálculos. Às vezes, é abreviada como BIDMAS ou PEMDAS. Em ambos os casos, calculamos os índices ou os expoentes antes de qualquer multiplicação. E assim, vamos começar calculando menos três ao quadrado.

Bem, menos três ao quadrado é menos três vezes menos três. Um negativo multiplicado por outro negativo dá um positivo. Então, menos três ao quadrado são nove positivo. E assim, temos menos oito multiplicado por nove menos três multiplicados por menos três mais quatro. Desta vez, vamos realizar a multiplicação antes de qualquer adição ou subtração. Bem, oito multiplicado por nove são 72. E sabemos que um negativo multiplicado por um positivo é um negativo.

Em seguida, vamos subtrair três multiplicado por menos três. Bem, três multiplicado por menos três são menos nove. Então, estaremos subtraindo menos nove. Mas é claro, sabemos que subtrair um negativo é o mesmo que adicionar um positivo. E assim, temos menos 72 mais nove mais quatro. Agora temos adição e subtração no mesmo cálculo. Agora, quando isso acontece, simplesmente nos movemos da esquerda para a direita. Menos 72 mais nove são menos 63.

Quando adicionamos o nove, movemos para cima na reta numérica nove espaços. Vamos adicionar quatro a isso, lembrando mais uma vez que quando adicionamos quatro, subimos na reta numérica quatro casas. Portanto, menos 63 mais quatro são menos 59. E assim, dada a função quadrática 𝑓 de 𝑥 é menos oito 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais quatro, achamos que 𝑓 de menos três é igual a menos 59.

Vamos agora considerar o que acontece se a entrada de nossa função for um binômio.

Considere a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos quatro. Encontre 𝑓 de 𝑥 mais três.

Aqui, temos uma função quadrática. Sua maior potência de 𝑥 é dois. Então, podemos dizer que tem grau ou ordem de dois. Agora, atualmente, a entrada para nossa função é 𝑥. Mas a questão quer que descubramos o que acontece quando a entrada é 𝑥 mais três. Então, passamos pela função em si. E cada vez que vemos a variável 𝑥, vamos substituí-la pela expressão 𝑥 mais três. A primeira parte da nossa função é 𝑥 ao quadrado. Então, quando substituímos 𝑥 por 𝑥 mais três, obtemos 𝑥 mais três ao quadrado.

Então, subtraímos três 𝑥. Mas é claro, estamos substituindo 𝑥 por 𝑥 mais três. Então, subtraímos três vezes 𝑥 mais três. O termo final aqui é menos quatro. Isso é independente de 𝑥. Então, permanece como menos quatro. Agora vamos distribuir os parênteses em nossa função. Vamos começar com o primeiro termo. Isso é 𝑥 mais três ao quadrado. Lembre-se, 𝑥 mais três ao quadrado é 𝑥 mais três vezes ele mesmo.

E para distribuir esses parênteses, começamos multiplicando o primeiro termo em cada expressão. 𝑥 multiplicado por 𝑥 é 𝑥 ao quadrado. Em seguida, multiplicamos os termos externos. 𝑥 multiplicado por três é três 𝑥. Então os termos internos, bem, isso nos dá outros três 𝑥. E, finalmente, multiplicamos os últimos termos para dar nove. Nosso último passo é agrupar termos semelhantes. Bem, três 𝑥 mais três 𝑥 são seis 𝑥. Então, vemos que 𝑥 mais três todos ao quadrado é 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais nove.

Vamos agora distribuir o segundo conjunto de parênteses. Desta vez, vamos multiplicar menos três por tudo dentro de nossos parênteses. Menos três vezes 𝑥 é menos três 𝑥. E menos três vezes três é menos nove. Finalmente, baixamos o menos quatro. Então, 𝑓 de 𝑥 mais três é 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais nove menos três 𝑥 menos nove menos quatro. Vamos simplificar um pouco mais, agrupando termos semelhantes.

Nós temos um 𝑥 ao quadrado. Então, temos seis 𝑥 menos três 𝑥, o que dá três 𝑥. E, finalmente, temos nove menos nove menos quatro, que é menos quatro. E assim, 𝑓 de 𝑥 mais três é 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 menos quatro. Agora, de fato, essa informação pode ser bastante útil. Podemos saber que 𝑓 de 𝑥 mais três é uma translação do gráfico original da função pelo vetor menos três, zero. E assim, o que isso nos diz é que quando realizamos a translação, o gráfico é mapeado de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 menos quatro para 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 menos quatro.

Em nosso próximo exemplo, veremos como combinar os gráficos de funções polinomiais com suas respectivas funções.

Combine os gráficos com suas funções. Em cada caso, indique o grau da função e seu coeficiente principal.

E nós recebemos várias funções. Temos uma função linear. Aquela cuja maior potência de 𝑥 é um. Nós temos uma quadrática que tem um grau ou uma potência mais alta de 𝑥 de dois. E nós temos um cubo. A maior potência de 𝑥 aqui é três. Portanto, os graus de nossas três primeiras funções são um, dois e três, respectivamente.

Mas e as nossas duas últimas? Bem, para a quarta, começaremos pensando sobre o que aconteceria se distribuíssemos os parênteses. Nós, em algum momento, acabaríamos multiplicando cada um desses 𝑥s. Quando o fazemos, chegamos a 𝑥 elevado a quatro. Isso significa que temos uma função de grau quatro. Sua maior potência de 𝑥 seria quatro. E assim, o grau ou ordem dessa função é quatro.

E a nossa última função? Bem, à primeira vista, parece que pode não ser um polinômio. Temos esse 𝑥 fracionário, mas podemos manipular a primeira parte de nossa expressão dividindo ambos os termos no numerador por 𝑥. 𝑥 elevado a quatro dividido por 𝑥 é 𝑥 ao cubo, e dois 𝑥 ao cubo dividido por 𝑥 são dois 𝑥 ao quadrado. Então, 𝑓 de 𝑥 é na verdade igual a 𝑥 ao cubo mais dois 𝑥 ao quadrado menos 𝑥. Este é outro cubo; sua maior potência de 𝑥 é três. Então, o grau da nossa terceira função é três.

Declaramos os graus de cada uma de nossas funções. Então, o que acontece com seus coeficientes principais? Bem, o coeficiente principal é o número escrito na frente da variável com o maior expoente. Em nossa primeira função, esse foi esse termo. Vamos chamar o coeficiente l.c. Então, o coeficiente principal aqui é menos um. Em nossa segunda função, é esse termo. O coeficiente principal aqui é dois. Em nossa terceira função, a maior potência de 𝑥 é 𝑥 ao cubo. E assim, o coeficiente principal aqui é menos três. Em nossa quarta função, dissemos que, quando distribuímos os parênteses, obteríamos 𝑥 elevado a quatro. Portanto, o coeficiente principal aqui é um. Da mesma forma, o coeficiente de 𝑥 ao cubo em nossa função final é um. Portanto, o coeficiente principal é um.

Ótimo, agora sabemos o grau e temos o coeficiente principal de cada função. Em seguida, precisamos combinar as funções com seus respectivos gráficos. Então, vamos declarar um fato realmente útil. E isso é que um polinômio de grau 𝑛 pode ter até 𝑛 menos um pontos de inflexão. Isso significa que nossa primeira função, que tem um grau de um, pode ter até um menos um, que é zero pontos de inflexão. Nossa segunda função terá dois menos um; isso é um ponto de inflexão. Nossa próxima função pode ter até três menos um, que são dois pontos de inflexão. E da mesma forma, nossa quarta função terá até três pontos de inflexão. E nossa função final terá até dois.

Bem, o único gráfico que tem três pontos de inflexão é este aqui; eles estão aqui, aqui e aqui. Eles são literalmente os lugares nos quais o gráfico muda de direção. Então, este deve ser o gráfico da nossa função de grau quatro. Há apenas um gráfico com um ponto de inflexão. E então, esta deve ser a nossa quadrática. Agora, de fato, as funções quadráticas sempre parecerão uma parábola. A função linear 𝑓 de 𝑥 é três menos 𝑥 é essa linha reta; não tem pontos de inflexão.

Então, tudo o que resta é decidir entre os dois gráficos finais. Ambos são gráficos de funções cúbicas e podemos identificá-los com base em seu coeficiente principal. Este gráfico aqui embaixo terá um coeficiente principal negativo, enquanto este gráfico terá um coeficiente principal positivo. Este, portanto, deve ser o gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 elevado à quarta potência mais dois 𝑥 ao cubo sobre 𝑥 menos 𝑥. E este deve ser o gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual a oito 𝑥 menos três 𝑥 ao cubo.

Vamos agora considerar um outro exemplo que usa as informações sobre o número de pontos de inflexão com base no grau de uma função.

O gráfico dado é de um polinômio 𝑓. Qual é o grau de 𝑓? É um, dois, três, quatro ou cinco?

Lembre-se, um polinômio de grau ou ordem 𝑛 pode ter até 𝑛 menos um pontos de inflexão. Em outras palavras, se pudermos encontrar o grau do nosso polinômio, podemos saber que ele pode ter até um a menos que esses pontos de inflexão. Então, vamos contar os pontos de inflexão do nosso gráfico. Vemos que o gráfico muda de direção aqui e aqui. Mas o que está acontecendo aqui? Bem, na verdade, o gráfico não parece mudar totalmente de direção, e isso é porque não muda. Este é, de fato, um ponto de inflexão. É um ponto em que a concavidade do gráfico muda.

Agora, outro fato é que um polinômio de grau 𝑛 pode ter até 𝑛 menos dois pontos de inflexão. E podemos pensar nos pontos de inflexão um pouco como o gráfico mudando de direção muito rapidamente duas vezes em um curto espaço de tempo. Podemos considerar isso como dois pontos de inflexão. Isso significa que temos um total de quatro. E assim, o grau do nosso polinômio deve ser cinco.

Neste vídeo, aprendemos que uma função polinomial é da forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 sub 𝑛𝑥 elevado a 𝑛-ésima potência mais 𝑎 sub 𝑛 menos um 𝑥 elevado a 𝑛 menos um e assim por diante. Vimos que os 𝑎 são todos constantes reais e as potências de 𝑥 devem ser números inteiros positivos. Aprendemos que o grau ou ordem da função é a maior potência ou expoente de 𝑥. Então, essa função polinomial geral tem um grau de 𝑛. O coeficiente principal é o coeficiente desse termo, então é 𝑎 sub 𝑛. Finalmente aprendemos que um polinômio desse grau, de grau 𝑛, pode, portanto, ter até 𝑛 menos um pontos de inflexão.

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